一、归纳和类比
1．归纳推理和类比推理是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．
2．从推理形式上看，归纳是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比是两类事物特征间的推理，是由特殊到特殊的推理．
二、数学证明
1．三段论是最常见的一种演绎推理形式，包括大前提、小前提、结论．在前提和推理形式都正确的前提下，结论就一定正确．
2．合情推理是认识世界、发现问题的基础，演绎推理是证明命题、建立理论体系的基础．
三、综合法与分析法
1．综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转换，相互渗透，充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法可以联合运用，转换解题思路，增加解题途径．
2．综合法是“由因导果”；分析法是“执果索因”，书写时要注意格式和语言．
四、反证法
1．反证法是间接证明的一种基本方法，它不去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用正确的推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．在证明一些否定性命题、唯一性命题或含有“至多”“至少”等字句的命题时，正面证明较难，可考虑反证法，即“正难则反”．
2．反证法的步骤
(1)作出否定结论的假设；
(2)进行推理，导出矛盾；
(3)否定假设，肯定结论．
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阶段质量检测（三）推理与证明
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )
A．归纳推理 B．类比推理
C．没有推理 D．演绎推理
答案：B
2．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是( )
A．an＝2n B．an＝2n＋1
C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1
答案：B
3．在△ABC中，sin Asin CA．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：选C 由sin Asin C可得cos(A＋C)>0，即cos B<0，所以B为钝角．
4．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③由菱形的性质，推出正方形的性质；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.
A．①② B．①③④
C．①②④ D．②④
解析：选C 合情推理分为类比推理和归纳推理，①是类比推理，②④是归纳推理，③是演绎推理．
5．用反证法证明：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个偶数”时，下列假设正确的是( )
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a，b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至少有一个偶数
D．假设a，b，c至多有一个偶数
解析：选B “a，b，c中至少有一个偶数”的否定应为“a，b，c中至多有0个偶数”，即“a，b，c都不是偶数”．
6．已知f(x)＝x3＋x，a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值一定( )
A．大于零 B．等于零
C．小于零 D．正负都有可能
解析：选A 因f(x)＝x3＋x是增函数且是奇函数，
由a＋b>0，∴a>－b，
∴f(a)>f(－b)，∴f(a)＋f(b)>0.
7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
解析：选D 依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好．因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.
8．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”过程应用了( )
A．分析法 B．综合法
C．综合法、分析法综合使用 D．间接证明法
解析：选B 从证明的过程来看，符合综合法的证明特点．
9．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )
A.＋＝2
B.＋＝2
C.＋＝2
D.＋＝2
解析：选A 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.
10．用减函数的定义证明函数f(x)＝－x3在R上是减函数的小前提可以是( )
A．减函数的定义
B．对R上的任意x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)
C．对R上的任意x1D．对R上的任意x1f(x2)
解析：选D 小前提可以是“对R上的任意x1f(x2)”或“对R上的任意x1>x2，都有f(x1)11．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足[f(x)]y＝f(xy)”的是( )
A．指数函数 B．对数函数
C．一次函数 D．余弦函数
解析：选A 当函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)时，对任意的x>0，y>0，有[f(x)]y＝(ax)y＝axy＝f(xy)，即指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)满足[f(x)]y＝f(xy)，可以检验，B，C，D选项均不满足要求．
12．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．如图甲，在平行四边形ABCD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，那么在图乙中所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC＋BD＋CA＋DB等于( )
A．2(AB2＋AD2＋AA) B．3(AB2＋AD2＋AA)
C．4(AB2＋AD2＋AA) D．4(AB2＋AD2)
解析：选C AC＋BD＋CA＋DB
＝(AC＋CA)＋(BD＋DB)
＝2(AA＋AC2)＋2(BB＋BD2)
＝4AA＋2(AC2＋BD2)
＝4AA＋4AB2＋4AD2.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
13．用三段论证明f(x)＝x3＋xcos x为奇函数的大前提是__________________________．
答案：若y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)，则y＝f(x)为奇函数
14．用反证法证明命题“若a，b是实数，且|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”时，应作的假设是________．
解析：结论“a＝b＝1”的含义是a＝1且b＝1，故其否定应为“a≠1或b≠1”．
答案：假设a≠1或b≠1
15．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．
解析：类比“面积比等于边长比的平方”可得正四面体的体积比等于棱长比的立方，即1∶8.
答案：1∶8
16.如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC＝2.过点 A作BC 的垂线，垂足为A1 ；过点 A1作 AC的垂线，垂足为 A2；过点A2 作A1C 的垂线，垂足为A3 ；…，依此类推．设BA＝a1 ，AA1＝a2 , A1A2＝a3 ，…， A5A6＝a7 ，则 a7＝________.
解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，A1A2＝a3＝1，…，A5A6＝a7＝a1×6＝.
法二：求通项：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，…，An－1An＝an＋1＝sin·an＝an＝2×n，故a7＝2×6＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，{an}有如下性质：(m，n，p，q∈N＋)
①通项an＝am＋(n－m)d；
②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；
③若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；
④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．
类比上述性质，在等比数列{bn} 中，写出相类似的性质．
解：在等比数列{bn}中，公比为λ(λ≠0)，前n项和为Sn′，{bn}有如下性质：(m，n，p，q∈N＋)
①通项bn＝bm·λn－m；
②若m＋n＝p＋q，则bm·bn＝bp·bq；
③若m＋n＝2p，则bm·bn＝b；
④Sn′，S2n′－Sn′，S3n′－S2n′(Sn ′≠0)构成等比数列．
18．(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝2－Sn(n∈N＋)．
(1)求a1，a2，a3，a4的值并写出其通项公式；
(2)根据(1)的结论用三段论证明数列{an}是等比数列．
解：(1)由an＝2－Sn，得a1＝1；a2＝；a3＝；a4＝，猜想an＝n－1(n∈N＋)．
(2)对于数列{an}，若＝p，p是非零常数，则{an}是等比数列， 大前提
因为数列{an}的通项公式an＝n－1，且＝， 小前提
所以通项公式为an＝n－1的数列{an}是等比数列． 结论
19．(本小题满分12分)如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，E，F分别是AB，BD的中点．求证：
(1)直线EF∥平面ACD；
(2)平面EFC⊥平面BCD.
证明：(1)因为E，F分别是AB，BD的中点，所以EF是△ABD的中位线，
所以EF∥AD，又EF?平面ACD，AD?平面ACD，所以直线EF∥平面ACD.
(2)因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD，
因为CB＝CD，F是BD的中点，所以CF⊥BD，又EF∩CF＝F，
所以BD⊥平面EFC.
因为BD?平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD.
20．(本小题满分12分)已知△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明B为锐角．
证明：法一(分析法)：要证明B为锐角，因为B为三角形的内角，则只需证cos B>0.
又∵cos B＝，
∴只需证明a2＋c2－b2>0.
∴即证a2＋c2>b2.
∵a2＋c2≥2ac，∴只需证明2ac>b2.
由已知＝＋，即2ac＝b(a＋c)，
∴只需证明b(a＋c)>b2，即证a＋c>b成立，在△ABC中，最后一个不等式显然成立．
∴B为锐角．
法二(综合法)由题意：＝＋＝，
则b＝，b(a＋c)＝2ac>b2(∵a＋c>b)．
∵cos B＝≥>0，
又y＝cos x在(0，π)上单调递减，
∴021．(本小题满分12分)在同一平面内，若P，A，B三点共线，则对于平面上任意一点O，有＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.对这个命题证明如下：
证明：因为P，A，B三点共线，所以＝m，即－＝m(－)，整理得＝(1－m) ＋m，因为(1－m)＋m＝1，所以λ＋μ＝1.
请把上述结论和证明过程类比到空间向量．
解：类比到空间向量所得结论为：在空间中，若P，A，B，C四点共面，则对于空间中任意一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1.对这个命题证明如下：
证明：因为P，A，B，C四点共面，所以＝λ＋μ，即－＝λ(－)＋μ(－)，整理得＝(1－λ－μ) ＋λ＋μ，因为(1－λ－μ)＋λ＋μ＝1，所以x＋y＋z＝1.
22．(本小题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)法一：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30° cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin α·cos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
法二：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)
＝1－cos 2α－＋cos 2α＝
