一、复数的基本概念
1．复数a＋bi
2．复数的相等
两个复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，当且仅当a＝c且b＝d时，z1＝z2.特别地，当且仅当a＝b＝0时，a＋bi＝0.
3．复数是实数的充要条件
(1)z＝a＋bi(a，b∈R)∈R?b＝0；
(2)z∈R?z＝；
(3)z∈R?z2≥0.
4．复数是纯虚数的充要条件
(1)z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数?a＝0，且b≠0；
(2)z是纯虚数?z＋＝0(z≠0)；
(3)z是纯虚数?z2<0.
二、复数的运算
复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除的运算，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分子、分母有理化，注意i2＝－1.
在运算的过程中常用来降幂的公式有：
(1)i的乘方：i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i(k∈N＋)．
(2)(1±i)2＝±2i.
(3)作复数除法运算时，有如下技巧：
＝＝＝i，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化．
课件6张PPT。
“阶段质量检测”见“阶段质量检测(四)”
(单击进入电子文档)
阶段质量检测（四）数系的扩充与复数的引入
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知复数z＝2－i，则z· 的值为( )
A．5 B.
C．3 D.
解析：选A ∵z＝2－i，∴z·＝|z|2＝22＋12＝5.
2.复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C z＝i(－2＋i)＝－2i＋i2＝－1－2i，故复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于第三象限．
3．i为虚数单位，＋＋＋＝( )
A．0 B．2i
C．－2i D．4i
解析：选A ∵i2＝－1，
∴＋＋＋＝－＋－＝0.
4．复数z满足iz＝3－4i，则|z|的值为( )
A．1 B．2
C. D．5
解析：选D 由iz＝3－4i，得i2z＝3i＋4，则z＝－4－3i.所以，|z|＝＝5.
5．复数2＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a2－b2的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．－1
解析：选D 2＝＝－i＝a＋bi.
所以a＝0，b＝－1，所以a2－b2＝0－1＝－1.
6．已知z是纯虚数，是实数，那么z＝( )
A．2i B．i
C．－i D．－2i
解析：选D 设纯虚数z＝bi(b∈R且b≠0)，代入
＝＝＝，
由于其为实数，∴b＝－2，∴z＝－2i.
7．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则的值为( )
A．2－i B．2＋i
C．－2－i D．－2＋i
解析：选A 由条件知z＝－1＋2i，
则＝＝＝2－i.
8．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|等于( )
A. B.
C. D．2
解析：选C 因为z＝＝＝i(1－i)＝1＋i，所以|z|＝.
9．若(a－2i)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，复数a＋bi的值为( )
A．1＋2i B．－1＋2i
C．－1－2i D．1－2i
解析：选B 由(a－2i)i＝b－i，可得2＋ai＝b－i，所以所以a＋bi＝－1＋2i.
10．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b等于( )
A．－1 B．1
C．2 D．3
解析：选B 由＝b＋i得a＋2i＝bi－1，所以由复数相等的意义知：a＝－1，b＝2，所以a＋b＝1.
11．已知0
A．(1,5) B．(1,3)
C．(1，) D．(1，)
解析：选C z＝a＋i，∴|z|＝.又∵012．在复平面上，设点A，B，C对应的复数分别为i,1，4＋2i，过A，B，C作平行四边形ABCD，则此平行四边形的对角线BD的长为( )
A. B．2
C．3 D.
解析：选A 由题知平行四边形三顶点坐标为A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，设D点的坐标为(x，y)．
因为＝，得(－1,1)＝(x－4，y－2)，得解得即D(3,3)，所以＝(2,3)，则|BD|＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)
13．已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．
解析：复数z＝(5＋2i)2＝21＋20i，其实部是21.
答案：21
14．复数＝________.
解析：＝＝(1－i)2＝－2i.
答案：－2i
15．若实数m满足等式|log3m＋4i|＝5，则m＝____________.
解析：∵|log3m＋4i|＝＝5，
∴(log3m)2＝9，∴log3m＝±3.
∴m＝27或m＝.
答案：27或
16．若z1＝2－i，z2＝－＋2i，z1，z2在复平面上所对应的点为Z1，Z2，则这两点之间的距离为________．
解析：向量对应的复数是
z2－z1＝－(2－i)＝－＋3i，
∴||＝ ＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算：
(1)；
(2).
解：(1)＝＝＝2.
(2)＝
＝＝
＝
＝－＋i.
18．(本小题满分12分)计算：已知z1＝2＋i且z2＝，求z2·z1.
解：∵z2＝
＝＝
＝
＝＝－2i，
∴z1·z2＝(2＋i)·(－2i)＝－4i＋2＝2－4i.
19．(本小题满分12分)已知x2－(3－2i)x－6i＝0.
(1)若x∈R，求x的值；
(2)若x∈C，求x的值．
解：(1)x∈R时，由方程得(x2－3x)＋(2x－6)i＝0；
则得x＝3.
(2)x∈C时，设x＝a＋bi(a，b∈R)代入方程整理得(a2－b2－3a－2b)＋(2ab－3b＋2a－6)i＝0.
则
得或
故x＝3或x＝－2i.
20．(本小题满分12分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－2|<|z1|，求实数a的取值范围．
解：由题意，得z1＝＝2＋3i，
于是|z1－2|＝|4－a＋2i|＝，
|z1|＝.
因为|z1－2|<|z1|，
所以<，
即a2－8a＋7<0，
解得1∴a的取值范围为(1,7)．
21．(本小题满分12分)已知z＝(a>0)，且复数ω＝z(z＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数ω的模．
解：ω＝z(z＋i)＝＝·
＝＝
＝＋i.
由－＝，
解得a＝2或a＝－2(舍去)，
所以ω＝＋3i.
所以|ω|＝＝.
22．(本小题满分12分)已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i，
＝＝(x＋yi)(2＋i)
＝(2x－y)＋(2y＋x)i.
由题意知∴
∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝[4＋(a－2)i]2
＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
由已知得∴2∴实数a的取值范围是(2,6)．
