备考2019中考数学高频考点剖析
专题二十九 几何三大变换之旋转问题
考点扫描☆聚焦中考
旋转问题，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括旋转的性质、中心对称和旋转作图三方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以作图、计算为主。结合2017、2018年全国各地中考的实例和2019年名校中考模拟试题，我们从三方面进行旋转的宗旨、中心对称和旋转作图问题的探讨：
（1）旋转的性质；
（2）中心对称的性质；
（3）旋转作图．
考点剖析☆典型例题
例1（2018·广西贺州·3分）下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
例2(嘉兴模拟)如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠B=45°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 ．
例3(嘉兴模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，0），C（4，4）．
（1）按下列要求作图：
①将△ABC向左平移4个单位，得到△A1B1C1；
②将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°，得到△A2B2C2．
（2）求点C1在旋转过程中所经过的路径长．
例4如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，将△ABO向左平6个单位长度得到△A1B1O1；将△A1B1O1绕点B1按逆时针方向旋转90°后，得到△A2B2O2，请画出△A1B1O1和△A2B2O2，并直接写出点O2的坐标．
例5如图
如图1，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝AC＝EF＝2，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，DE，DF或它们的延长线分别交BC（或它的延长线）于G，H点，设旋转角为α（0°＜α＜90°）．
（1）问题发现：当0°＜α＜45°时，如图2，可得∠H＝45°﹣∠CAH＝∠GAC．这时与△AGC相似的三角形有________及________；
（2）类比探究：当45°＜α＜90°时，如图3，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请选取一种情况说明理由；
（3）问题解决：当△AGH是等腰三角形时，直接写出CG的长．
考点过关☆专项突破
类型一 旋转的性质
1. 如图，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转，点 B 的对应点为点 E，点 A 的对应点为点 D，当点E 恰好落在边 AC 上时，连接 AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC 的度数是（??? ）
A.?60°?? ??B.?65°??????C.?70°????D.?75°
2. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是（?? ）
A.?25°????B.?30°????C.?35°?????D.?40°
3. （2018·湖北省宜昌·3分）如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，5） D．（﹣2，5）
4. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB'C'（点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C'），连接CC'，若∠B＝78°，则∠CC'B'的大小是（?? ）
A.?23°? ?B.?30°?????C.?33°? ??D.?39°
5. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（2，0），正六边形ABCDEF沿x轴正方向无滑动滚动，每旋转60°为滚动1次，那么当正六边形ABCDEF滚动2017次时，点F的坐标是（ ）
A.?（2017，0） B.?（2017， ） C.?（2018， ）?? D.?（2018，0）
6. 把一副三角板按如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6cm，DC=7cm．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙）．这时AB与CD1相交于点O、与D1E1相交于点F．
（1）求线段AD1的长；
（2）若把三角形D1CE1绕着点C顺时针再旋转30°得△D2CE2，这时点B在△D2CE2的内部、外部、还是边上？说明理由．
7. (2019杭州萧山区模拟)如图，已知△ABC．
（1）AC的长等于 ；
（2）先将△ABC向右平移2个单位得到△A′B′C′，则A点的对应点A′的坐标是 ；
（3）再将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，则A点对应点A1的坐标是 ．
（4）点A到A′所画过痕迹的长 ．
8. （2018?宁波）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．
9. 将一副直角三角尺按如图所示的方式叠放在一起(其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°，直角顶点C保持重合)．
（1）①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为________．
②若∠ACB＝140°，则∠DCE的度数为________．
（2）由(1)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（3）将三角尺BCE绕着点C顺时针转动，当∠ACE<180°，且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值(并写明此时哪两条边平行，但不必说明理由)；若不存在，请说明理由．
10. 如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AB边的中点，以AE为边作正方形AEFG，连接DE，BG．
（1）发现
①线段DE、BG之间的数量关系是________；
②直线DE、BG之间的位置关系是________．
（2）探究
如图2，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）应用
如图3，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，记直线DE与BG的交点为P，若AB=4，请直接写出点P到CD所在直线距离的最大值和最小值．
类型二 中心对称
1. （2018·云南省·4分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．三角形 B．菱形 C．角 D．平行四边形
2．下列四种图案中，不是中心对称图形的为（??? ）
A. 中国移动??B. 中国联通C. 中国网通D. 中国电信
3．（2018?江苏盐城?3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（?? ）?????
A.????B.????C.??D.?
4．如图，正方形网格中，△ABC的顶点及点O都在格点上．
①画出△ABC关于点O中心对称的对称图形△A′B′C′；
②画出△ABC绕点O顺时针旋转90°的图形△A″B″C″．
类型三 旋转作图
1．（2018·山东青岛·3分）如图，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90°，得到线段A'B'，其中点A、B的对应点分别是点A'、B'，则点A'的坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（4，0） C．（3，﹣3） D．（5，﹣1）
2．（2018?黑龙江）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．
3．（2018·辽宁省阜新市）如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B（﹣2，5），C（﹣2，1）．
（1）平移△ABC，使点C移到点C1（﹣2，﹣4），画出平移后的△A1B1C1，并写出点A1，B1的坐标；
（2）将△ABC绕点（0，3）旋转180°，得到△A2B2C2，画出旋转后的△A2B2C2；
（3）求（2）中的点C旋转到点C2时，点C经过的路径长（结果保留π）．
4. 阅读材料，并回答下列问题：
如图1，以AB为轴，把△ABC翻折180°，可以变换到△ABD的位置；如图2，把△ABC沿射线AC平移，可以变换到△DEF的位置．像这样，其中的一个三角形是另一个三角形经翻折、平移等方法变换成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫三角形的全等变换．
（1）请你写出一种全等变换的方法（除翻折、平移外）．________；
（2）如图2，△ABC沿射线AC平移到△DEF，若平移的距离为2，且AC=3，则DC=________；
（3）如图3，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，把△ADE沿DE翻折，当点A落在四边形BCED内部变为F时，则∠F和∠BDF+∠CEF之间的数量关系始终保持不变，请你直接写出它们之间的关系式：________．
5. 菱形ABCD中、∠BAD＝120°，点O为射线CA 上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F．
（1）如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，请直接写出CE，CF，CA三条段段之间的数量关系；
（2）如图②，点O在CA的延长线上，且OA＝AC，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CA三条线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）点O在线段AC上，若AB＝6，BO＝2 ，当CF＝1时，请直接写出BE的长．
备考2019中考数学高频考点剖析
专题二十九 几何三大变换之旋转问题
考点扫描☆聚焦中考
旋转问题，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括旋转的性质、中心对称和旋转作图三方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以作图、计算为主。结合2017、2018年全国各地中考的实例和2019年名校中考模拟试题，我们从三方面进行旋转的宗旨、中心对称和旋转作图问题的探讨：
（1）旋转的性质；
（2）中心对称的性质；
（3）旋转作图．
考点剖析☆典型例题
例1（2018·广西贺州·3分）下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A.不是中心对称图形，故此选项错误；
B.不是中心对称图形，故此选项错误；
C.不是中心对称图形，故此选项错误；
D.是中心对称图形，故此选项正确，
故选：D．
例2(嘉兴模拟)如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠B=45°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 4﹣2 ．
【考点】旋转的性质．
【分析】依据旋转的性质可得到AD=AB，然后结合∠B=45°可证明△ABD为等腰直角三角形，依据勾股定理可求得BD的长，于是可求得CD的长．
【解答】解：∵由旋转的性质可知AD=AB=2，
∴∠B=∠BDA=45°．
∴∠DAB=90°．
∴DB==2．
∴CD=BC﹣DB=4﹣2．
故答案为：4﹣2．
例3(嘉兴模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，0），C（4，4）．
（1）按下列要求作图：
①将△ABC向左平移4个单位，得到△A1B1C1；
②将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°，得到△A2B2C2．
（2）求点C1在旋转过程中所经过的路径长．
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．
【分析】（1）①利用点平移的坐标规律，分别写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点可得△A1B1C1；
②利用网格特点和旋转的性质，分别画出点A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2即可；
（2）根据弧长公式计算．
【解答】解：（1）①如图，△A1B1C1为所作；
②如图，△A2B2C2为所作；
（2）点C1在旋转过程中所经过的路径长==2π．
例4如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，将△ABO向左平6个单位长度得到△A1B1O1；将△A1B1O1绕点B1按逆时针方向旋转90°后，得到△A2B2O2，请画出△A1B1O1和△A2B2O2，并直接写出点O2的坐标．
【分析】分别作出平移变换和旋转变换后的对应点，再顺次连接即可得．
【解答】解：如图所示，△A1B1O1、△A2B2O2即为所求：
其中点O2的坐标为（﹣3，﹣3）．
【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换、平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义、性质．
例5如图
如图1，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝AC＝EF＝2，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，DE，DF或它们的延长线分别交BC（或它的延长线）于G，H点，设旋转角为α（0°＜α＜90°）．
（1）问题发现：当0°＜α＜45°时，如图2，可得∠H＝45°﹣∠CAH＝∠GAC．这时与△AGC相似的三角形有________及________；
（2）类比探究：当45°＜α＜90°时，如图3，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请选取一种情况说明理由；
（3）问题解决：当△AGH是等腰三角形时，直接写出CG的长．
【考点】等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠BHA＝∠ACB﹣∠CAH＝45°﹣∠CAH
∠GAC＝∠GAH﹣∠CAH＝45°﹣∠CAH
∴∠BHA＝∠GAC
又∵∠B＝∠C
∴△AGC∽△HAB；
∵∠ACG＝∠HAG＝45°，∠AGC＝∠HGA，
∴△AGC∽△HGA；
故答案为：△HAB，△HGA
【分析】（1）利用已知易证∠BHA＝∠GAC，由∠B＝∠C，可证△AGC∽△HAB，再由∠ACG＝∠HAG＝45°，∠AGC＝∠HGA，可证得△AGC∽△HGA，即可解答。 （2）利用和（1）类似的方法可证得（1）中的结论成立。 （3）由（1）可知∠GAH=45°，要使△AGH是等腰三角形，再分情况讨论： ①当∠GAH＝45°是等腰三角形的底角时，Ⅰ、∠AHG＝90°，AH⊥BC，此时点G’和点B重合，可证得α＝90° ，不符合题意；Ⅱ、∠AGH＝90°，由AG⊥BC，可证得BG=CG， 然后利用勾股定理求出BC，继而可求出CG的长；②当∠GAH＝45°是等腰三角形的顶角时，利用三角形内角和定理求出∠AHG、∠AGH的度数，再证明∠CAG＝＝∠AGH，可证得CG=AC，就可得到CG的长。
【答案】 （1）△HAB；△HGA （2）解：成立，
∵∠BHA＝∠C+∠CAH＝45°+∠CAH
∠GAC＝∠GAH+∠CAH＝45°+∠CAH
∴∠BHA＝∠GAC? 又∵∠B＝∠C
∴△AGC∽△HAB
∵∠ACG＝∠HAG＝45°，∠AGC＝∠HGA，
∴△AGC∽△HGA
（3）解：由（1）知，∠GAH＝45°，
∵△AGH是等腰三角形，
①当∠GAH＝45°是等腰三角形的底角时，
Ⅰ、∠AHG＝90°，
∴AH⊥BC，此时点G’和点B重合，
即：α＝90°，不符合题意，舍去，
Ⅱ、∠AGH＝90°，
∴AG⊥BC，
∴BG＝CG，
∵AB＝AC＝2，
∴BC＝2 ，
∴CG＝
②当∠GAH＝45°是等腰三角形的顶角时，
∴∠AHG＝∠AGH＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∵∠C＝45°，
∴∠CAG＝67.5°＝∠AGH，
∴CG＝AC＝2
即：当△AGH是等腰三角形时，CG的长为或2
考点过关☆专项突破
类型一 旋转的性质
1. 如图，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转，点 B 的对应点为点 E，点 A 的对应点为点 D，当点E 恰好落在边 AC 上时，连接 AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC 的度数是（??? ）
A.?60°?? ??B.?65°??????C.?70°????D.?75°
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，旋转的性质
【分析】由旋转可知 ∠DCE=∠ACB=30°，AC=DC，所以△ACD是等腰三角形，根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和为180°即可求出 ∠DAC 的度数 .
【解析】【解答】解：由题意知：△ABC≌△DEC，∴∠ACB=∠DCE=30°，AC=DC，∴∠DAC=（180°?∠DCA）÷2=（180°?30°）÷2=75°．故答案为：D．
2. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是（?? ）
A.?25°????B.?30°????C.?35°?????D.?40°
【考点】图形的旋转
【分析】根据旋转的性质，可得出旋转角的度数，计算出结果。
【解析】【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝15°，
∴∠AOB′＝∠A′OA﹣∠A′OB′＝45°﹣15°＝30°.
故答案为：B。
3. （2018·湖北省宜昌·3分）如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，5） D．（﹣2，5）
【分析】依据四边形ABCD是平行四边形，即可得到BD经过点O，依据B的坐标为（﹣2，﹣2），即可得出D的坐标为（2，2）．
【解答】解：∵点A，C的坐标分别为（﹣5，2），（5，﹣2），
∴点O是AC的中点，
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BD经过点O，
∵B的坐标为（﹣2，﹣2），
∴D的坐标为（2，2），
故选：A．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
4. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB'C'（点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C'），连接CC'，若∠B＝78°，则∠CC'B'的大小是（?? ）
A.?23°? ?B.?30°?????C.?33°? ??D.?39°
【考点】旋转的性质
【分析】因为∠B=79°，可又三角形内角和定理得∠BCA=12°，再由旋转的性质可得∠AC′B′=∠ACB，AC=AC′，继而可得∠AC′C=45°，再利用∠CC′B′＝∠AC′C﹣∠AC′B′即可求得。
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝78°，
∴∠ACB＝90°﹣78°＝12°，
∵△AB′C由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到，
∴AC′＝AC，∠C′AB′＝∠CAB＝90°，∠AC′B′＝12°，
∴△ACC′为等腰直角三角形，
∴∠AC′C＝45°，
∴∠CC′B′＝∠AC′C﹣∠AC′B′＝45°﹣12°＝33°．
故答案为：C
5. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（2，0），正六边形ABCDEF沿x轴正方向无滑动滚动，每旋转60°为滚动1次，那么当正六边形ABCDEF滚动2017次时，点F的坐标是（ ）
A.?（2017，0） B.?（2017， ） C.?（2018， ）?? D.?（2018，0）
【答案】 C
【分析】根据正方形每滚动6次就循环一次，2017可滚动336个6余1次，此时，点F的纵坐标和右图中的点F的纵坐标相同，即， 横坐标为2017+1=2018，所以点F滚动2107次时的坐标为（2018， ）.
【考点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】．解：∵正六边形ABCDEF一共有6条边，即6次一循环；
∴2017÷6=336余1，
∴点F滚动1次时的横坐标为2，纵坐标为 ，点F滚动7次时的横坐标为8，纵坐标为 ，
∴点F滚动2107次时的纵坐标与相同，横坐标的次数加1，
∴点F滚动2107次时的横坐标为2017+1=2018，纵坐标为 ，
∴点F滚动2107次时的坐标为（2018， ），
故答案为：C．
6. 把一副三角板按如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6cm，DC=7cm．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙）．这时AB与CD1相交于点O、与D1E1相交于点F．
（1）求线段AD1的长；
（2）若把三角形D1CE1绕着点C顺时针再旋转30°得△D2CE2，这时点B在△D2CE2的内部、外部、还是边上？说明理由．
【考点】旋转的性质．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出AO=CO=AB，再求出OD1，然后利用勾股定理列式计算即可得解；
（2）设直线CB与D2E2相交于P，然后判断出△CPE2是等腰直角三角形，再求出CP，然后与CB相比较即可得解．
【解答】解：（1）∵旋转角为15°，
∴∠OCB=60°﹣15°=45°，
∴∠COB=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴CD1⊥AB，
∴AO=CO=AB=×6=3，
∴OD1=DC﹣CO=7﹣3=4，
在Rt△AD1O中，由勾股定理得，AD1===5；
（2）点B在△D2CE2的内部．
理由如下：设直线CB与D2E2相交于P，
∵△DCE绕着点C顺时针再旋转45°，
∴∠PCE2=15°+30°=45°，
∴△CPE2是等腰直角三角形，
∴CP=CE2=，
∵AB=6，
∴CB=AB=3＜，即CB＜CP，
∴点B在△D2CE2的内部．
7. (2019杭州萧山区模拟)如图，已知△ABC．
（1）AC的长等于 ；
（2）先将△ABC向右平移2个单位得到△A′B′C′，则A点的对应点A′的坐标是 ；
（3）再将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，则A点对应点A1的坐标是 ．
（4）点A到A′所画过痕迹的长 ．
【分析】（1）根据勾股定理求解可得；
（2）△ABC向右平移2个单位，则点A′向右平移两个单位，据此写出点A′的坐标；
（3）画出旋转图形后，直接写出A点对应点A1的坐标；
（4）由平移的定义可得．
【解答】解：（1）AC的长为＝，
故答案为：；
（2）∵点A坐标为（﹣1，2），
∴向右平移2个单位后得到（1，2），
故答案为：（1，2）；
（3）如图所示：
由图可知点A1的坐标为（﹣3，﹣2）；
（4）点A到A′所画过痕迹的长为2，故答案为：2．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
8. （2018?宁波）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．
【分析】（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，由于∠ACB=90°，所以∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，所以∠ACD=∠BCE，从而可证明△ACD≌△BCE（SAS）
（2）由△ACD≌△BCE（SAS）可知：∠A=∠CBE=45°，BE=BF，从而可求出∠BEF的度数．
【解答】解：（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，
∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=45°，
由（1）可知：∠A=∠CBE=45°，
∵AD=BF，
∴BE=BF，
∴∠BEF=67.5°
9. 将一副直角三角尺按如图所示的方式叠放在一起(其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°，直角顶点C保持重合)．
（1）①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为________．
②若∠ACB＝140°，则∠DCE的度数为________．
（2）由(1)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（3）将三角尺BCE绕着点C顺时针转动，当∠ACE<180°，且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值(并写明此时哪两条边平行，但不必说明理由)；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①根据角的和差，由∠DCB＝∠BCE-∠DCE，即可算出∠DCB的度数，进而根据∠ACB＝∠ACD＋∠DCB即可算出答案；②根据角的和差，由∠DCB=∠ACB-∠ACD算出∠DCB的度数，再根据∠DCE＝∠ECB-∠DCB即可算出答案； （2） ∠ACB＋∠DCE＝180°.理由如下： 根据角的和差得出 ∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°＋∠DCB ，故 由∠ACB＋∠DCE＝90°＋∠DCB＋∠DCE ＝90°＋∠ECB 即可算出答案； （3） 存在．当∠ACE＝30°时，根据内错角相等二直线平行得出AD∥BC；当∠ACE＝45°时，内错角相等二直线平行得出AC∥BE；当∠ACE＝120°时，根据同旁内角互补，二直线平行得出AD∥CE；当∠ACE＝135°时，根据内错角相等二直线平行得出CD∥BE；当∠ACE＝165°时，根据同旁内角互补，二直线平行得出AD∥BE.
【答案】 （1）135°；40° （2）∠ACB＋∠DCE＝180°.理由如下：
∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°＋∠DCB，
∴∠ACB＋∠DCE＝90°＋∠DCB＋∠DCE＝90°＋∠ECB＝90°＋90°＝180°.
（3）(3)存在．当∠ACE＝30°时，AD∥BC；当∠ACE＝45°时，AC∥BE；当∠ACE＝120°时，AD∥CE；当∠ACE＝135°时，CD∥BE；当∠ACE＝165°时，AD∥BE.
【考点】角的运算，平行线的判定
【解析】【解答】（1）①∵∠ECB＝90°，∠DCE＝45°，
∴∠DCB＝90°－45°＝45°，
∴∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°＋45°＝135°.
②∵∠ACB＝140°，∠ACD＝90°，
∴∠DCB＝140°－90°＝50°，
∴∠DCE＝90°－50°＝40°.
10. 如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AB边的中点，以AE为边作正方形AEFG，连接DE，BG．
（1）发现
①线段DE、BG之间的数量关系是________；
②直线DE、BG之间的位置关系是________．
（2）探究
如图2，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）应用
如图3，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，记直线DE与BG的交点为P，若AB=4，请直接写出点P到CD所在直线距离的最大值和最小值．
【分析】（1）①根据正方形的性质可得，AB=AD，?∠BAG=∠BAD=90°，AE=AG，根据SAS可△AED≌△AGB进而得出DE=BG；②延长DE交BG于Q，由△AED≌△AGB得：∠ABG=∠ADE，根据对顶角∠AED=∠BEQ，可得∠BQE=90°，即DE⊥BG；（2） （1）中的结论仍然成立 .利用SAS易证△EAD≌△GAB，由全等三角形的性质可得ED=GB；∠GBA=∠EDA，由∠AMD+∠ADM=90°，∠BMH=∠AMD，即可得出 ED⊥GB； （3） 将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，即点E和G在以A为圆心，以2为半径的圆上， ①当P与F重合时，此时PH最小，如图4， 在Rt△AED中，由AD=4，AE=2， 可求∠ADE=30°，DE==2，DF=2﹣2，∠FDH=60°，在Rt△FDH中，选择∠FDH的正弦即可求出答案。因为DE⊥BG，∠BAD=90°，以BD的中点O为圆心，以BD为直径作圆，P、A在圆上，当P在 的中点时，如图5，此时PH的值最大，由 PH⊥CD,根据垂径定理可得CH=DH,进而可得OH是△DBC的中位线，OH=2, OP=BD=2， 即 PH=2+2． 所以 点P到CD所在直线距离的最大值是2+2，最小值是3﹣．
【答案】 （1）DE=BG；DE⊥BG
（1）①线段DE、BG之间的数量关系是：DE=BG，
理由是：如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BDA=90°，
∴∠BAG=∠BAD=90°，
∵四边形AEFG是正方形，
∴AE=AG，
∴△AED≌△AGB（SAS），
∴DE=BG；
②直线DE、BG之间的位置关系是：DE⊥BG，
理由是：如图2，延长DE交BG于Q，
由△AED≌△AGB得：∠ABG=∠ADE，
∵∠AED+∠ADE=90°，∠AED=∠BEQ，
∴∠BEQ+∠ABG=90°，
∴∠BQE=90°，
∴DE⊥BG；
故答案为：①DE=BG；②DE⊥BG；
（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由是：
①如图3，
∵四边形AEFG和四边形ABCD是正方形，
∴AE=AG，AD=AB，∠EAG=∠DAB=90°，
∴∠EAD=∠GAB=90°+∠EAB，
在△EAD和△GAB中，
，
∴△EAD≌△GAB（SAS），
∴ED=GB；
②ED⊥GB，
理由是：∵△EAD≌△GAB，
∴∠GBA=∠EDA，
∵∠AMD+∠ADM=90°，∠BMH=∠AMD，
∴∠BMH+∠GBA=90°，
∴∠DHB=180°﹣90°=90°，
∴ED⊥GB；
（3）将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，即点E和G在以A为圆心，以2为半径的圆上，过P作PH⊥CD于H，
①当P与F重合时，此时PH最小，如图4，
在Rt△AED中，AD=4，AE=2，
∴∠ADE=30°，DE= =2，
∴DF=DE﹣EF=2 ﹣2，
∵AD⊥CD，PH⊥CD，
∴AD∥PH，
∴∠DPH=∠ADE=30°，
∵cos30°= = ，
∴PH= （2﹣2）=3﹣；
②∵DE⊥BG，∠BAD=90°，
∴以BD的中点O为圆心，以BD为直径作圆，P、A在圆上，
当P在 的中点时，如图5，此时PH的值最大，
∵AB=AD=4，
由勾股定理得：BD=4，
则半径OB=OP=2，
∴PH=2+2．
综上所述，点P到CD所在直线距离的最大值是2+2，最小值是3-．
类型二 中心对称
1. （2018·云南省·4分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．三角形 B．菱形 C．角 D．平行四边形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A.三角形不一定是轴对称图形和中心对称图形，故本选项错误；
B.菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；
C.角不一定是轴对称图形和中心对称图形，故本选项错误；
D.平行四边形不一定是轴对称图形和中心对称图形，故本选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．下列四种图案中，不是中心对称图形的为（??? ）
A.中国移动 B.?中国联通C.中国网通 D.?中国电信
【考点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是中心对称图形，故B不符合题意；
C、是中心对称图形，故C不符合题意；
D、不是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】把一个图形绕着某一点旋转180°后能与其自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案。 3．（2018?江苏盐城?3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（?? ）?????
A.????B.????C.??D.?
【答案】D
【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意；B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D符合题意； 故答案为：D 【分析】轴对称图形：沿着一条线折叠能够完全重合的图形；中心对称图形：绕着某一点旋转180°能够与自身重合的图形；根据定义逐个判断即可。
4．如图，正方形网格中，△ABC的顶点及点O都在格点上．
①画出△ABC关于点O中心对称的对称图形△A′B′C′；
②画出△ABC绕点O顺时针旋转90°的图形△A″B″C″．
【答案】 解：①△ABC关于点O中心对称的对称图形△A′B′C′如图所示；
②△ABC绕点O顺时针旋转90°的图形△A″B″C″如图所示；
【考点】旋转的性质，中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据中心对称的性质“关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分”即可画出图形； （2）根据旋转的性质“对应点到旋转中心的距离都相等，对应点与旋转中心连线所成的角度都等于旋转的角度”即可画出图形。
类型三 旋转作图
1．（2018·山东青岛·3分）如图，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90°，得到线段A'B'，其中点A、B的对应点分别是点A'、B'，则点A'的坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（4，0） C．（3，﹣3） D．（5，﹣1）
【分析】画图可得结论．
【解答】解：画图如下：
则A'（5，﹣1），
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握顺时针或逆时针旋转某个点或某直线的位置关系．
2．（2018?黑龙江）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．
【分析】（1）利用轴对称的性质画出图形即可；
（2）利用旋转变换的性质画出图形即可；
（3）BC扫过的面积=﹣，由此计算即可；
【解答】解：（1）△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如图所示；
（2）△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2如图所示；
（3）BC扫过的面积=﹣=﹣=2π．
3．（2018·辽宁省阜新市）如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B（﹣2，5），C（﹣2，1）．
（1）平移△ABC，使点C移到点C1（﹣2，﹣4），画出平移后的△A1B1C1，并写出点A1，B1的坐标；
（2）将△ABC绕点（0，3）旋转180°，得到△A2B2C2，画出旋转后的△A2B2C2；
（3）求（2）中的点C旋转到点C2时，点C经过的路径长（结果保留π）．
【解答】解：（1）如图所示，则△A1B1C1为所求作的三角形，（2分）
∴A1（﹣4，﹣1），B1（﹣2，0）；（4分）
（2）如图所示，则△A2B2C2为所求作的三角形，（6分）
（3）点C经过的路径长：是以（0，3）为圆心，以CC2为直径的半圆，由勾股定理得：CC2==4，∴点C经过的路径长：×2πr=2π．（8分）
4. 阅读材料，并回答下列问题：
如图1，以AB为轴，把△ABC翻折180°，可以变换到△ABD的位置；如图2，把△ABC沿射线AC平移，可以变换到△DEF的位置．像这样，其中的一个三角形是另一个三角形经翻折、平移等方法变换成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫三角形的全等变换．
（1）请你写出一种全等变换的方法（除翻折、平移外）．________；
（2）如图2，△ABC沿射线AC平移到△DEF，若平移的距离为2，且AC=3，则DC=________；
（3）如图3，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，把△ADE沿DE翻折，当点A落在四边形BCED内部变为F时，则∠F和∠BDF+∠CEF之间的数量关系始终保持不变，请你直接写出它们之间的关系式：________．
【答案】 （1）旋转
（2）1
（3）∠BDF+∠CEF=2∠F
【考点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：（1）旋转；
（ 2 ）∵AD=2，
∴DC=AC﹣AD=3﹣2=1；
（ 3 ）∵把△ADE沿DE翻折，得到△FDE，
∴∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED，
在△DEF中，∠F=180°﹣（∠FDE+∠FED）；
由平角定义知，∠BDF=180°﹣∠FDA=180°﹣2∠FDE，
∠CEF=180°﹣∠FEA=180°﹣2∠FED，
∴∠BDF+∠CEF=180°﹣2∠FDE+180°﹣2∠FED=2[180°﹣（∠FDE+∠FED）]
∴∠BDF+∠CEF=2∠F．
【分析】（1）旋转变换是指一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形；于是可由平移得到全等变换；（2）由平移的性质可知，AD=2，所以DC=AC-AD可求解；（3）由轴对称的性质可得∠ADE=∠EDF，∠AED=∠FED，再结合三角形的内角和定理即可求解。
5. 菱形ABCD中、∠BAD＝120°，点O为射线CA 上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F．
（1）如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，请直接写出CE，CF，CA三条段段之间的数量关系；
（2）如图②，点O在CA的延长线上，且OA＝AC，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CA三条线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）点O在线段AC上，若AB＝6，BO＝2 ，当CF＝1时，请直接写出BE的长．
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质及∠BAD=120°，可证得AB=AD=CD=BC，△ABC和△ACD是等边三角形，利用等边三角形的性质，去证明∠DAF=∠EAF，再利用SAS证明△ADF≌△ACE，就可得到DF=CE，然后就可证得结论。 （2）如图②中，如图作OG∥AD交CF于G，则△OGC是等边三角形． 根据已知条件易证△FOG≌△EOC，利用全等三角形的性质，可证得CE=FG，再由OC=OG，CA=CD，就可证得OA=DG，然后由CF-EC=CF-FG，即可证得CE，CF，CA三条线段之间的数量关系。 （3）作BH⊥AC于H，可求出BH的长，再分情况讨论：如图③﹣1中，当点O在线段AH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时； 如图③﹣2中，当点O在线段AH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时； 如图③﹣3中，当点O在线段CH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时； 如图③﹣4中，当点O在线段CH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时，分别求出符合题意的BE的值。
【答案】 （1）解：如图①中，结论：CA＝CE+CF．
理由：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°
∴AB＝AD＝DC＝BC，∠BAC＝∠DAC＝60°
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∵∠DAC＝∠EAF＝60°，
∴∠DAF＝∠CAE，
∵CA＝AD，∠D＝∠ACE＝60°，
∴△ADF≌△ACE（SAS），
∴DF＝CE，
∴CE+CF＝CF+DF＝CD＝AC，
∴CA＝CE+CF
（2）解：结论：CF﹣CE＝AC．
理由：如图②中，如图作OG∥AD交CF于G，则△OGC是等边三角形．
∵∠GOC＝∠FOE＝60°，
∴∠FOG＝∠EOC，
∵OG＝OC，∠OGF＝∠ACE＝120°，
∴△FOG≌△EOC（ASA），
∴CE＝FG，
∵OC＝OG，CA＝CD，
∴OA＝DG，
∴CF﹣EC＝CF﹣FG＝CG＝CD+DG＝AC+AC＝AC
（3）解：作BH⊥AC于H．∵AB＝6，AH＝CH＝3，
∴BH＝3 ，
如图③﹣1中，当点O在线段AH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时．
∵OB＝2 ，
∴OH＝ ＝1，
∴OC＝3+1＝4，
由（1）可知：CO＝CE+CF，
∵OC＝4，CF＝1，
∴CE＝3，
∴BE＝6﹣3＝3．
如图③﹣2中，当点O在线段AH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时．
由（2）可知：CE﹣CF＝OC，
∴CE＝4+1＝5，
∴BE＝1．
如图③﹣3中，当点O在线段CH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时．
同法可证：OC＝CE+CF，
∵OC＝CH﹣OH＝3﹣1＝2，CF＝1，
∴CE＝1，
∴BE＝6﹣1＝5．
如图③﹣4中，当点O在线段CH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时．
同法可知：CE﹣CF＝OC，
∴CE＝2+1＝3，
∴BE＝3，
综上所述，满足条件的BE的值为3或5或1
