江苏省南京市九中2018-2019学年第一学期期中学情调研试卷高一数学（扫描版）含答案

2019年高一下学期数学期中试卷
说明：本试卷分为填空题和解答题两部分，全卷满分 160 分，考试时间 120 分钟
一、填空题：本题包括 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请把答案写在答题纸相应题号后
的横线上。
1、 o585sin 的值为
2、函数 ? ? ?
?
?
?
?
? ??
6
3sin2 ?xxf 的最小正周期 ?T
3、已知等差数列? ?na 中，若 22113 ?? aa ，则 ?7a
4、函数 ? ? ?
?
?
?
?
? ??? xxxf
2
sinsin3 ? 在 Rx? 上的最小值等于
5、已知 tan 2? ? ，则 2 2sin sin cos 2cos? ? ? ?? ? ?
6、．若关于 x 的不等式 2x2－3x+a＜0 的解集为(m，1)，则实数 m＝ ．
7、不等式 0212 ???? xx 的解集为 .
8、公差不为零的等差数列{ }na 的前 n项和为 nS .若 4a 是 3 7a a与 的等比中项, 8 32S ? ,则 10S
等于
9、等比数列? ?na 的前 n 项和为 ns ，且 4 1a ，2 2a ， 3a 成等差数列。若 1a =1，则 4s =
10 ． 已 知 函 数 2( ) , ( [ 2, 2])f x x x? ?= ， 2( ) sin(2 ) 3 , [0, ]
6 2
g x a x a x? ?? ? ? ? ，
1 [ 2, 2]x? ? ? ， 0 0 1[0, ], ( ) ( )2
x g x f x?? ? ?总 使得 成 立 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围
是 ．
11 、 设 1 2a ? ， 1
2
1n n
a
a?
?
?
，
2
1
n
n
n
ab
a
?
?
?
，
*n N? ， 则 数 列 ? ?nb 的 通 项 公 式
nb = ． .
12、有四个关于三角函数的命题：
1p ：? x?R,
2sin
2
x
+ 2cos
2
x
=
1
2 2
p : ? x、y?R, sin(x-y)=sinx-siny
3p : ? x? ? ?0,? ,
1 cos 2
2
x?
=sinx 4p : sinx=cosy? x+y= 2
?
其中假命题的个数是____________
13、在锐角 ABC? 中， 1, 2 ,BC B A? ? 则 AC的取值范围为 ____________
14、已知函数 xxxf tansin)( ?? .项数为 31 的等差数列? ?na 满足 ?
?
?
?
?
???
22
??
，na ，
且公差 0?d .若 0)()()( 3121 ????? afafaf ，则当 k =____________是， 0)( ?kaf .
二、解答题：15、16 题均为 14 分，17、18 题均为 15 分，19、20 题均为 16 分，请在答题
纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程。
15、(本小题满分 14 分)已知
3sin
5
?? ，且? 为第二象限角，计算：
（1） ?
?
?
?
?
? ?
4
cos ?? ；（2） 2 sin 4 cos 2sin
2 1 cos 4
? ? ?
?
?
?
．
16、（本小题满分 15 分）已知等差数列{an}中，首项 a1＝1，公差 d为整数．．，且满足 a1+3＜a3，
a2+5＞a4，数列{bn}满足
1
1
n
n n
b
a a ?
?
?
，其前 n 项和为 Sn．
（1）求数列{an}的通项公式 an；
（2）若 S2为 S1，Sm(m∈N*)的等比中项，求 m 的值．
17、（本小题满分 14 分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上
的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D点的仰角分别为 075 ， 030 ，于水面 C
处测得 B 点和 D 点的仰角均为 060 ，AC=0.1km。试探究图中 B，D 间距离与另外哪两点间距
离相等，然后求 B，D 的距离（计算结果用根号表示）
18（本小题满分 15 分）在数列{ }na 中， 1 1
1 11, (1 )
2n n n
na a a
n?
?
? ? ? ?
（I）设 nn
ab
n
? ，求数列{ }nb 的通项公式
（II）求数列{ }na 的前 n项和 nS
19、（本小题满分 16 分）△ ABC中， , ,A B C所对的边分别为 , ,a b c，
sin sintan
cos cos
A BC
A B
?
?
?
, sin( ) cosB A C? ? .
（1）求 ,A C；
（2）若 3 3ABCS? ? ? ,求 ,a c .
20、（本小题满分 16 分）设数列{ }na 的通项公式为 ( , 0)na pn q n N P
?? ? ? ? . 数列{ }nb 定
义如下：对于正整数 m， mb 是使得不等式 na m? 成立的所有 n 中的最小值.
（Ⅰ）若
1 1,
2 3
p q? ? ? ，求 3b ；
（Ⅱ）若 2, 1p q? ? ? ，求数列{ }mb 的前 2m 项和公式；
（Ⅲ）是否存在 p 和 q，使得 3 2( )mb m m N
?? ? ? ？如果存在，求 p 和 q 的取值范围；
如果不存在，请说明理由.
高一数学答案:
1、
2
2
? ；2、
3
2?
；3、11；4、-2；5、
5
4
；6、
2
1
；7、? ?1,1? ；8、60；9、15；10、? ? ? ??????? ,64, ；
11、 12 ?n ；12、2 个；13、 ( 2, 3)；14、16；
15、（1）
2
10
? ； （2）
3
50
?
16．解：（1）由题意，得 1 1
1 1
3 2 ,
5 3 ,
a a d
a d a d
? ? ??
? ? ? ? ??
解得
3
2
< d <
5
2
． ………………………3 分
又 d∈Z，∴d = 2．∴an=1+(n－1) ? 2=2n－1． ………………………6 分
（2）∵
1
1 1
(2 1)(2 1)n n n
b
a a n n?
? ?
? ? ?
1 1 1( )
2 2 1 2 1n n
? ?
? ?
，
∴
1 1 1 1 1 1[(1 ) ( ) ( )]
2 3 3 5 2 1 2 1n
S
n n
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
1 1(1 )
2 2 1 2 1
n
n n
? ? ?
? ?
．11 分
∵ 1
1
3
S ? ， 2
2
5
S ? ，
2 1m
mS
m
?
?
，S2为 S1，Sm(m∈ ?N )的等比中项，
∴ 22 1mS S S? ，即
22 1
5 3 2 1
m
m
? ? ? ?? ? ?? ?
， ………………………13 分
解得 m=12． ………………………14 分
17、解:
在△ABC 中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,
所以 CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，
故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BD=BA， ……6 分
在△ABC 中， ,ABCsin
C
BCAsin ?
?
?
AAB
即 AB= ,20
623
15sin
ACsin60 ?
?
?
?
因此，BD= 20
623 ?
---------------------------------------------14 分
故 B，D 的距离约为 20
623 ?
km。 ……15 分
18、（I）由已知有 1
1
1 2
n n
n
a a
n n
? ? ?
? 1
1
2n n n
b b?? ? ?
利用累差迭加即可求出数列{ }nb 的通项公式: 1
12
2n n
b ?? ? (
*n N? )----------7 分
（II）由（I）知 12 2n n
na n ?? ? ,
? nS = 1
1
(2 )
2
n
k
k
kk ?
?
?? 1
1 1
(2 )
2
n n
k
k k
kk ?
? ?
? ?? ?
而
1
(2 ) ( 1)
n
k
k n n
?
? ?? ,又 1
1 2
n
k
k
k
?
?
? 是一个典型的错位相减法模型，-------------10 分
易得 1 1
1
24
2 2
n
k n
k
k n
? ?
?
?
? ?? ? nS = ( 1)n n ? 1
2 4
2n
n
?
?
? ?
----------------------------15 分
19、解：(1) 因为
sin sintan
cos cos
A BC
A B
?
?
?
，即
sin sin sin
cos cos cos
C A B
C A B
?
?
?
，
所以 sin cos sin cos cos sin cos sinC A C B C A C B? ? ? ，
即 sin cos cos sin cos sin sin cosC A C A C B C B? ? ? ，
得 sin( ) sin( )C A B C? ? ? . 所以C A B C? ? ? ,或 ( )C A B C?? ? ? ? (不成立).
即 2C A B? ? , 得
3
C ?? ，所以. 2
3
B A ?? ?
又因为
1sin( ) cos
2
B A C? ? ? ，则
6
B A ?? ? ，或 5
6
B A ?? ? （舍去）
得
5,
4 12
A B? ?? ? --------------------------------------------8 分
(2)
1 6 2sin 3 3
2 8ABC
S ac B ac?
?
? ? ? ? ，
又
sin sin
a c
A C
? , 即
2 3
2 2
a c
? ，
得 2 2, 2 3.a c? ? ----------------------------------------------------------------- 16-分
20、（Ⅰ）由题意，得
1 1
2 3n
a n? ? ，解 1 1 3
2 3
n ? ? ，得 20
3
n ? . .
∴
1 1 3
2 3
n ? ? 成立的所有 n 中的最小整数为 7，即 3 7b ? .-----4 分
（Ⅱ）由题意，得 2 1na n? ? ，
对于正整数，由 na m? ，得
1
2
mn ?? .
根据 mb 的定义可知
当 2 1m k? ? 时， ? ?*mb k k N? ? ；当 2m k? 时， ? ?*1mb k k N? ? ? .
∴ ? ? ? ?1 2 2 1 3 2 1 2 4 2m m mb b b b b b b b b?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?1 2 3 2 3 4 1m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?
? ? ? ? 21 3 2
2 2
m m m m
m m
? ?
? ? ? ? .----10 分
（Ⅲ）假设存在 p 和 q 满足条件，由不等式 pn q m? ? 及 0p ? 得 m qn
p
?
? .
∵ 3 2( )mb m m N
?? ? ? ,根据 mb 的定义可知，对于任意的正整数 m 都有
3 1 3 2m qm m
p
?
? ? ? ? ，即 ? ?2 3 1p q p m p q? ? ? ? ? ? ? 对任意的正整数 m 都成立.
当3 1 0p ? ? （或3 1 0p ? ? ）时，得
3 1
p qm
p
?
? ?
?
（或
2
3 1
p qm
p
?
? ?
?
），
这与上述结论矛盾！
当3 1 0p ? ? ，即 1
3
p ? 时，得 2 10
3 3
q q? ? ? ? ? ? ，解得 2 1
3 3
q? ? ? ? .
∴ 存在 p 和 q，使得 3 2( )mb m m N
?? ? ? ；
p 和 q 的取值范围分别是
1
3
p ? ， 2 1
3 3
q? ? ? ? . . --------------------16 分