高一数学参考答案及评分标准
一、选择题：每小题5分，共60分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D B C B A D A B D B D
二、填空题：每小题5分，共20分．
13. 2； 14. ； 15. 150π； 16. .
三、解答题：
17.（1）散点图如下 ……4分
（注：点标错一个扣2分）
（2），， ……6分
，
，
……8分
所以.
故线性回归方程为：， ……10分
当时，故当广告费支出为1千万时销售额为8250万. ……12分
18.解：（1）估计该班学生体育测试的平均成绩为
……2分
（分） ……4分
（2）记“测试成绩为优或良”为事件，“测试成绩为优”为事件，
“测试成绩为良”为事件，则事件，是互斥的. ……6分
由已知，有，．
因为当事件，之一发生时，事件发生，
所以由互斥事件的概率加法公式，得
……8分
答：该班学生体育测试的平均成绩为73.58分，
任意抽取1名学生测试成绩为“优”或“良的概率为. ……10分
（注：不记事件扣2分；不指明互斥事件扣2分，不重复扣分；不写概率公式直接计算的扣2分，不答扣1分．运算结果未化简不扣分）．
19.证明：（1）∵B在以AC为直径的半圆上，∴BC⊥AB，
∵PA⊥底面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥PA， ……2分
∵AB∩PA＝A，AB，PA?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB， ……4分
∵BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAB． ……6分
（2）在三棱锥P－ABC中，∵D，E分别为△PAB的边PA，PB的中点，
∴DE∥AB，∵DE?平面ABF，AB?平面ABF，
∴DE∥平面ABF， ……8分
在△PBC中，∵F为PC的中点，PG＝PC，∴G为PF的中点，
∴EG∥BF，∵EG?平面ABF，BF?平面ABF，
∴EG∥平面ABF， ……10分
∵DE∩EG＝E，DE，EG?平面DEG，
∴平面DEG∥平面ABF． ……12分
（注：线面平行判定定理三个条件一个不能少，其余定理少一个条件扣1分）
20.解（1）在中，由余弦定理得，
设，因为，所以,
因为，，所以，
解得，，所以. ……4分
（2）因为,，，
所以 ……6分
中，由正弦定理得，，
所以 ……8分
因为,所以不为钝角，
所以 ……10分
所以
……12分
(注：涉及到正余弦定理、同角正余弦平方和、两角差的正弦公式的必须把公式写出来，
没有公式直接代入计算的每处扣1分)
21.证明：（1）在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，
侧面和侧面是平行四边形，
所以AA1DD1，AA1BB1， ……2分
∴BB1DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形，∴B1D1∥BD，
又B1D1?平面A1BD，BD?平面A1BD，∴B1D1∥平面A1BD； ……4分
(注：直接利用棱柱的侧棱平行且相等的扣2分)（只有长方体和正方体的侧棱平行相等可以用）
（2）∵底面ABCD为正方形，O为ABCD的中心，所以BD⊥AC，
∵A1O⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥A1O，
∵A1O∩AC＝O，A1O?平面AA1C，AC?平面AA1C，
∴BD⊥平面AA1C，∵A1C?平面AA1C，∴A1C⊥BD； ……6分
∵底面ABCD为正方形，AB＝AA1＝，
∴AC＝2，AO＝OC＝AC＝1，
又∵A1O⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴A1O⊥AC，
∴A1O＝＝1，A1C＝ ＝，
∵A1A2＋A1C2＝AC2，∴∠AA1C＝90°，即A1C⊥A1A，
在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧面是平行四边形，
所以AA1∥BB1，∴A1C⊥BB1； ……10分
∵BB1∩BD＝B，BB1?平面BB1D1D，BD?平面BB1D1D，
∴A1C⊥平面BB1D1D． ……12分
22.解：（1）在中，由余弦定理得
……2分
于是四边形OACB的面积为
=+
= ……4分
（2）在中，由余弦定理得
＝1＋4﹣2×1×2×cosθ＝5﹣4cosθ，
∴AB＝，∴AC＝， ……6分
在中，由正弦定理得，
即sin∠OAB＝＝，
又,所以为锐角，∴cos∠OAB＝， ……8分
∴cos∠OAC＝cos（∠OAB＋）
＝， ……10分
在中，由余弦定理得：
OC2＝
=4＋5﹣4cosθ﹣2×2××()
＝5＋2sinθ﹣2cosθ＝5＋4sin（θ﹣）．
∵θ∈（0，π），
∴当θ＝时，OC的最大值为3． ……12分
0
2
4
6
8
10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
x
y
PAGE
1
江苏省东海县2018-2019 学年第二学期期中考试
高一数学试题
注意事项：
1.本试卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟。
2.答题前，请将学校、班级、姓名、考试号等填写在试卷及答题纸上。
3.请在答题纸指定区域内作答，用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔工整书写。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．请把答案填涂在答题纸相应位置上．
1．采用简单随机抽样的方法，从含有 6 个个体的总体中抽取 1 个容量为 2 的样本，则某个 个体被抽到的概率为（ ）
(
S
高一数学
试题第
1
页（共
4
页）
)
A． 1
2
B． 1
3
C． 1
5
D． 1
6
2．某公司生产甲、乙、丙三种型号的吊车，产量分别为 120 台，600 台和 200 台，为检验该 公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取 46 台进行检验，则抽到乙种型号的吊车有（ ）
A．6 台 B．10 台 C．20 台 D．30 台
3．一个三角形的两个内角分别为 30 和 45 ，如果 45 角所对边的长为 6，那么 30 角所对边 的长为（ ）
A． 3 B． 3 2 C． 3 3 D． 3 6
4．总体由编号为 01，02，…，19，20 的 20 个个体组成．利用下面的随机数表选取 4 个个 体，选取方法从随机数表的第 1 行第 4 列数由左到右由上到下开始读取，则选出来的第 4 个个体的编号为（ ）
第 1 行 78 16 65 71 02 30 60 14 01 02 40 60 90 28 01 98
第 2 行 32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
A．10 B．01 C．09 D．06
5．在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，直线 AD1 与平面 ABCD 所成的角的大小是（ ）
A． 30 B． 45 C． 60 D． 90
6．在 ABC 中，如果 a : b : c 2 : 3 : 4 ，那么 cos B 等于（ ）
A． 11
16
B． 5
16
C． 11
16
D． 7
11
7．在下列关于直线 l ， m 与平面， 的所述中，正确的是( ) A．若 l 且 ，则 l ∥；
B．若 m 且 l ∥ m ，则 l ∥；
C． l ， m 是内两条直线，且 l ∥ ， m ∥ ，则∥ ；
y'
2 B'
A'
D． ， m ， l m ， l ，则 l .
O' 1
2 3 x'
（第 8 题）
8．如图为水平放置的 OAB 的直观图，则原三角形的面积为（ ）
A．3 B． 3 2 C．6 D．12
9．关于异面直线 a, b ，有下列五个命题：
①过直线 a 有且仅有一个平面 ，使 b ∥ ；②过直线 a 有且仅有一个平面 ，使 b ；
③在空间存在平面 ，使 a ∥ ， b ∥ ； ④在空间不存在平面 ，使 a ， b ；
⑤过异面直线 a, b 外一点一定存在一个平面 ，使 a ∥ ， b ∥ .
其中，正确的命题的个数为（ ）
A D
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，E, F 分别为边长是 4 的正方形 ABCD 的边 BC, CD 的中点，沿 F
图中虚线折起，使 B, C, D 三点重合，则围成的几何体的体积是（ ）
4 8 B E C
A． B．4 C．8 D．
3 3
（第 10 题）
11．从 200m 高的电视塔顶 A 测得地面上某两点 B, C 的俯角分别为 30 和 45 ，BAC 45 , 则 B, C 之间的距离为（ ）
A．200m B．200 2 m C． 200 3 m D． 300 m
12．一个四面体的所有棱长都为 4，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A． 3 B． 4 C． 6 D． 24
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案写在答题纸相应位置上．
13．已知一组数据 1，3，2，5，4，那么这组数据的方差为 ▲ ．
14．连续抛掷同一颗骰子 3 次，则 3 次掷得的点数之和为 9 的概率是 ▲ ．
15．已知圆锥的底面半径为 10，高为 30，在它的所有内接圆柱中，侧面积的最大值是 ▲ .
16．已知在 ABC 中，角 A, B, C 的对边为 a, b, c .若 a2 b2 2019c2 ，则 tan C tan C = ▲ .
tan A
tan B
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．请在答．题．纸．指．定．区．域．内．作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 12 分）
某种产品的广告费支出 x （百万元）与销售额 y （百万元）之间有如下对应数据：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
（1）画出散点图；
（2）求出线性回归方程，并预测广告费支出为 1 千万时销售额为多少万.
n n
xi yi n x y
(xi x )( yi y )
b i 1 i 1 ,
n n
(
x
2
n
x
) (
2
)（参考公式：
i i 1
i 1
(xi
x )2 ）
a y b x.
18．（本小题满分 10 分）
体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班 50 名学生参加测试结果如下：
等级 优（86～100 分） 良（75～85 分） 中（60～74 分） 不及格（1～59 分）
人数 5 21 22 2
（1）估计该班学生体育测试的平均成绩；
（2）从该班任意抽取 1 名学生，求这名学生的测试成绩为“优”或“良”的概率.
19．（本小题满分 12 分）
如图，在三棱锥 P－ABC 中，B 在以 AC 为直径的半圆上，PA⊥底面 ABC，D，E，F 分
别为棱 PA，PB，PC 的中点，G 在棱 PC 上，且 PG＝1PC．
4
P
（1）求证：平面 PBC⊥平面 PAB； G
（2）求证：平面 DEG∥平面 ABF．
D E F
A C
（第 19 题 B
）
20．（本小题满分 12 分）
在 △ABC 中， AB 2 ， cos C 7 ， 3 AC 4BC .
8
（1）求 AC , CB 的长；
（2）求 sin( A C) 的值.
21．（本小题满分 12 分）
如图，四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底面 ABCD 为正方形，O 为底面中心，A1O⊥平面 ABCD，
AB＝AA1＝ 2．
（1）求证：B1D1∥平面 A1BD；
（2）求证：A1C⊥平面 BB1D1D．
D1 C1
A1 B1
D
C
A O B
（第 21 题）
22．（本小题满分 12 分）
如图，半圆 O 的直径为 2，A 为直径延长线上的一点，OA＝2，B 为半圆上任意一点， 以 AB 为一边作等边三角形 ABC．设∠AOB＝θ．
(
＝
)（1）当θ 5π
6
C
，求四边形 OACB 的面积；
（2）当θ为何值时，线段 OC 最长并求最长值. B
O （第 22 题） A
