1．2基本不等式
[读教材·填要点]
1．定理1
设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．定理2(基本不等式或平均值不等式)
如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．即：两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．
3．定理3(三个正数的算术—几何平均值不等式)
如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
4．定理4(一般形式的算术—几何平均值不等式)
如果a1，a2，…，an为n个正数，则
≥
并且当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
[小问题·大思维]
1．在基本不等式≥中，为什么要求a，b∈(0，＋∞)?
提示：对于不等式≥，如果a，b中有两个或一个为0，虽然不等式仍成立，但是研究的意义不大，而且a，b至少有一个为0时，不能称为几何平均(或等比中项)，因此规定a，b∈(0，＋∞)．
2．满足不等式≥成立的a，b，c的范围是什么？
提示：a，b，c的范围为a≥0，b≥0，c≥0.
利用基本不等式证明不等式
[例1] 已知a，b，c为正实数，且abc＝1
求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8.
[思路点拨] 本题考查基本不等式在证明不等式中的应用，解答本题需要分析不等式的特点，先对a＋b，b＋c，c＋a分别使用基本不等式，再把它们相乘．
[精解详析] ∵a，b，c为正实数，
∴a＋b≥2＞0，
b＋c≥2＞0，
c＋a≥2＞0，
由上面三式相乘可得
(a＋b)(b＋c)(c＋a)
≥8··＝8abc.
即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8.
(1)用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明．
(2)本题证明过程中多次用到基本不等式，然后利用同向不等式的可加性得出所证的不等式．
1．已知a，b∈(0，＋∞)，求证：(a＋b)≥4.
证明：∵a>0，b>0，∴a＋b≥2>0，①
当且仅当a＝b时取等号．
＋≥2>0，②
当且仅当＝，即a＝b时取等号．
①×②，得(a＋b)≥2·2＝4，
当且仅当a＝b时取等号．
∴(a＋b)≥4.
利用算术—几何平均值不等式证明不等式
[例2] (1)已知a，b，c∈R＋，
求证：a2＋b2＋c2＋2≥6.
(2)设a1，a2，a3均为正数，且a1＋a2＋a3＝m，求证：＋＋≥.
[思路点拨] 本题考查平均不等式的应用．解答(1)题时可重复使用均值不等式，(2)题需要先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用平均不等式证明．
[精解详析] (1)a2＋b2＋c2＋2
≥3＋9
≥2＝6，
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．
(2)∵·m
＝(a1＋a2＋a3)·
≥3·3
＝9·＝9.
当且仅当a1＝a2＝a3＝时等号成立．
又∵m>0，∴＋＋≥.
三个正数的算术—几何平均不等式定理，是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只是在具备条件时，直接应用该定理会更简便．若不直接具备“一正二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明．
连续多次使用平均值不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致．
2．已知a，b，c∈R＋，证明(a＋b＋c)2≥27.
证明：∵a，b，c∈R＋，
∴a＋b＋c≥3>0.
∴(a＋b＋c)2≥9
又＋＋≥3>0，
∴(a＋b＋c)2≥3·9
＝27.
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
∴(a＋b＋c)2≥27.
[对应学生用书P9]
一、选择题
1．设x、y为正实数，且xy－(x＋y)＝1，则( )
A．x＋y≥2(＋1) B．x＋y≤2(＋1)
C．x＋y≤(＋1)2 D．x＋y≥(＋1)2
解析：x＞0，y＞0，xy－(x＋y)＝1?xy＝1＋(x＋y)?1＋(x＋y)≤2?x＋y≥2(＋1)．
答案：A
2．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列关系式总成立的是( )
A．V≥π B．V≤π
C．V≥π D．V≤π
解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，
则由题意得：4r＋2h＝6，即2r＋h＝3，
于是有V＝πr2h≤π·3＝π3＝π，
当且仅当r＝h时取等号．
答案：B
3．设x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是( )
A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2]
C．[lg 6，＋∞) D．[3lg 2，＋∞)
解析：∵lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)，
而xyz≤3，∴lg(xyz)≤lg 8＝3lg 2
(当且仅当x＝y＝z＝2时，等号成立)．
答案：B
4．设a，b，c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，令x＝，则x的取值范围为( )
A. B.
C．[1,8) D．[8，＋∞)
解析：∵x＝
＝··＝
≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，∴x≥8.
答案：D
二、填空题
5．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
解析：因为x＞0，y＞0，
所以＋≥2＝ ，即 ≤1，解得xy≤3，所以其最大值为3.
答案：3
6．设a>1，t>0，则logat与loga的大小关系为logat________loga(填“<”“≥”或“≤”)．
解析：因为logat＝loga，又t>0
又≥ .
而a>1，∴loga≥loga，故填“≤”．
答案：≤
7．函数y＝(x≠0)有最大值________，此时x＝________.
解析：∵x≠0，∴x2>0.
∴y＝＝≤＝，
当且仅当x2＝，即x4＝9，x＝±时取等号，
即当x＝±时，ymax＝.
答案： ±
8．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，则abc的最大值是________．
解析：∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴1＝a＋b＋c≥3.
0＜abc≤3＝，
当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
答案：
三、解答题
9．求函数y＝2x2＋(x>0)的最小值．
解：由x>0知2x2>0，>0，则
y＝2x2＋＝2x2＋＋
≥3＝3.
当且仅当2x2＝，即x＝时，
ymin＝3＝.
10．已知a，b为正实数，a＋b＝1.
求证：2＋2≥.
证明：∵a>0，b>0，a＋b＝1.
∴1＝a＋b≥2，≤.∴≥4.
∵≤ ，∴≥2.
∴2＋2≥22＝≥≥.
∴2＋2≥.
当且仅当a＝b＝时等号成立．
11．设a，b，c为正实数，
求证：＋＋＋abc≥2.
证明：因为a，b，c为正实数，由算术—几何平均不等式可得
＋＋≥3，
即＋＋≥(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．
所以＋＋＋abc≥＋abc.
而＋abc≥2＝2(当且仅当a2b2c2＝3时，等号成立)，
所以＋＋＋abc≥2(当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立)．
课件27张PPT。第一章把握热点考向考点一理解教材新知考点二应用创新演练1．2 基本不等式读教材·填要点小问题·大思维
