1．3/绝对值不等式的解法
[读教材·填要点]
1．含绝对值的不等式|x|≤a与|x|≥a的解集
不等式
a＞0
a＜0
|x|≤a
[－a，a]
?
|x|≥a
(－∞，－a]∪[a，＋∞]
R
2．|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法
(1)|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；
(2)|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
3．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
(1)分区间讨论法：以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负进而去掉绝对值符号是解题关键．
(2)图象法：构造函数，结合函数的图象求解．
(3)几何法：利用绝对值不等式的几何意义求解．
[小问题·大思维]
1．|x|以及|x－a|±|x－b|表示的几何意义是什么？
提示：|x|的几何意义是数轴上表示数x的点到原点O的距离；|x－a|±|x－b|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a，b的点的距离之和(差)．
2．如何解|x－a|＜|x－b|、|x－a|＞|x－b|(a≠b)型的不等式的解集？
提示：可通过两边平方去绝对值符号的方法求解．
/
含一个绝对值不等式的解法
[例1] 解下列不等式：
(1)1＜|x－2|≤3；
(2)|2x＋5|＞7＋x；
(3)≤.
[思路点拨] 本题考查较简单的绝对值不等式的解法．解答本题(1)可利用公式转化为|ax＋b|＞c(c＞0)或|ax＋b|＜c(c＞0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式．
(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式．
(3)可分类讨论去掉分母和绝对值．
[精解详析] (1)法一：原不等式等价于不等式组
即
解得－1≤x＜1或3＜x≤5，
所以原不等式的解集为{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}．
法二：原不等式可转化为：
①或②
由①得3＜x≤5，由②得－1≤x＜1，
所以原不等式的解集是{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}．
(2)由不等式|2x＋5|＞7＋x，
可得2x＋5＞7＋x或2x＋5＜－(7＋x)，
整理得x＞2或x＜－4.
∴原不等式的解集是{x|x＜－4或x＞2}．
(3)①当x2－2＜0且x≠0，即当－＜x＜，
且x≠0时，原不等式显然成立．
②当x2－2＞0时，
原不等式与不等式组等价，
x2－2≥|x|即|x|2－|x|－2≥0，
∴|x|≥2，∴不等式组的解为|x|≥2，
即x≤－2或x≥2.
∴原不等式的解集为
(－∞，－2]∪(－，0)∪(0，)∪[2，＋∞)．
/
含一个绝对值不等式的常见类型及其解法：
(1)形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)型不等式
此类不等式的简单解法是等价命题法，即
①当a＞0时，|f(x)|＜a?－a＜f(x)＜a.
|f(x)|＞a?f(x)＞a或f(x)＜－a.
②当a＝0时，|f(x)|＜a无解．
|f(x)|＞a?f(x)≠0.
③当a＜0时，|f(x)|＜a无解．
|f(x)|＞a?f(x)有意义．
(2)形如|f(x)|＜g(x)，|f(x)|＞g(x)型不等式
此类不等式的简单解法是等价命题法，即
①|f(x)|＜g(x)?－g(x)＜f(x)＜g(x)，
②|f(x)|＞g(x)?f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)可正也可负)．
若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂．
(3)形如a＜|f(x)|＜b(b＞a＞0)型不等式
此类问题的简单解法是利用等价命题法，即
a＜|f(x)|＜b(0＜a＜b)
?a＜f(x)＜b或－b＜f(x)＜－a.
(4)形如|f(x)|＜f(x)，|f(x)|＞f(x)型不等式
此类题的简单解法是利用绝对值的定义，即
|f(x)|＞f(x)?f(x)＜0，
|f(x)|＜f(x)?x∈?.
/
1．设函数f(x)＝|2x－a|＋5x，其中a>0.
(1)当a＝3时，求不等式f(x)≥5x＋1的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
解：(1)当a＝3时，
不等式f(x)≥5x＋1可化为|2x－3|≥1，
由此可得x≥2或x≤1.
故不等式f(x)≥5x＋1的解集为{x|x≤1或x≥2}．
(2)由f(x)≤0得|2x－a|＋5x≤0，此不等式可化为不等式组或
即或
因为a>0，所以不等式组的解集为.
由题设可得－＝－1，故a＝3.
/
含两个绝对值不等式的解法
[例2] 解不等式|x＋7|－|3x－4|＋>0.
[思路点拨] 先求出零点即x＝－7，，再分段讨论．
[精解详析] 原不等式化为
|x＋7|－|3x－4|＋－1>0，
当x>时，原不等式为x＋7－(3x－4)＋－1>0，
得x<5＋，即当－7≤x≤时，原不等式为
x＋7＋(3x－4)＋－1>0，
得x>－－，
即－－当x<－7时，原不等式为
－(x＋7)＋(3x－4)＋－1>0，
得x>6－，与x<－7矛盾；
综上，不等式的解为－－/
(1)|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．
(2)|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的图象解法和画出函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|－c的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象的关键是写出f(x)的分段表达式．不妨设
a＜b，于是f(x)＝
这种图象法的关键是合理构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点，体现了函数与方程结合、数形结合的思想．
(3)形如|f(x)|＜|g(x)|型不等式
此类问题的简单解法是利用平方法，即
|f(x)|＜|g(x)|?[f(x)]2＜[g(x)]2
?[f(x)＋g(x)][f(x)－g(x)]＜0.
/
2．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－3|.
(1)解不等式f(x)≥4；
(2)求函数y＝f(x)的最小值．
解：(1)由题意得，f(x)＝|2x＋1|－|x－3|
＝
所以不等式f(x)≥4，
等价于或或
解得x≤－8或x≥2.
所以原不等式的解集为{x|x≤－8或x≥2}．
(2)由(1)知，当x<－时，f(x)＝－x－4，
所以f(x)在上单调递减；
当－≤x≤3时，f(x)＝3x－2，所以f(x)在上单调递增；
当x>3时，f(x)＝x＋4，所以f(x)在(3，＋∞)上单调递增．
故当x＝－时，y＝f(x)取得最小值，
此时f(x)min＝－.
/
含参数的绝对值不等式的解法
[例3] 设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.
如果?x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．
[思路点拨] 本题考查绝对值不等式的解法．解答本题应先对a进行分类讨论，求出函数f(x)的最小值，然后求a的取值范围．
[精解详析] 若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件．
若a＜1，f(x)＝
f(x)的最小值为1－a.
若a＞1，f(x)＝
f(x)的最小值为a－1.
所以?x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，从而a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
/
含有参数的不等式的求解问题分两类，一类不需要对参数进行讨论，另一类如本例，对参数a进行讨论，得到关于参数a的不等式(组)，进而求出参数的取值范围．
/
3．(辽宁高考)已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．
解：(1)当a＝2时，
f(x)＋|x－4|＝
当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|，得－2x＋6≥4，
解得x≤1；
当2当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|，得2x－6≥4，
解得x≥5.
所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．
(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，
则h(x)＝
由|h(x)|≤2，解得≤x≤.
又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，
所以于是a＝3.
[对应学生用书P12]
一、选择题
1．若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a的取值为( )
A．8 B．2
C．－4 D．－8
解析：原不等式化为－6＜ax＋2＜6，
即－8＜ax＜4.
又∵－1＜x＜2，
∴验证选项易知a＝－4适合．
答案：C
2．如果<2和|x|>同时成立，那么x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：解不等式<2得x<0或x>；
解不等式|x|>得x>或x<－.
如图所示：
/
∴x的取值范围为.
答案：B
3．如果关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，3]∪[5，＋∞)
B．[－5，－3]
C．[3,5]
D．(－∞，－5]∪[－3，＋∞)
解析：在数轴上，结合绝对值的几何意义可知a≤－5或a≥－3.
答案：D
4．若关于x的不等式|x＋1|≥kx恒成立，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[0，＋∞)
解析：作出y＝|x＋1|与l1；y＝kx的图象如图，当k＜0时，直线一定经过第二、四象限，从图看出明显不恒成立；当k＝0时，直线为x轴，符合题意；当k>0时，要使|x＋1|≥kx恒成立，只需k≤1.
综上可知k∈[0,1]．
答案：C
二、填空题
5．不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0的解集为________．
解析：原不等式即|2x＋1|＞2|x－1|，两端平方后解得12x＞3，即x＞.
答案：
6．不等式≥1的实数解集为________．
解析：≥1?|x＋1|≥|x＋2|，x＋2≠0
?(x＋1)2≥(x＋2)2，x≠－2?x≤－，x≠－2.
答案：(－∞，－2)∪
7．若不等式x＋＞|a－2|＋1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是________．
解析：∵|x＋|≥2，∴|a－2|＋1＜2，即|a－2|＜1，解得1＜a＜3.
答案：1＜a＜3
8．若关于x的不等式|x－1|＋|x－a|≥a的解集为R(其中R是实数集)，则实数a的取值范围是________．
解析：不等式|x－1|＋|x－a|≥a恒成立，
a不大于|x－1|＋|x－a|的最小值，
∵|x－1|＋|x－a|≥|1－a|，
∴|1－a|≥a,1－a≥a或1－a≤－a，解得a≤.
答案：
三、解答题
9．解不等式|2x－4|－|3x＋9|＜1.
解：(1)当x＞2时，原不等式可化为
解得x＞2.
(2)当－3≤x≤2时，原不等式可化为
解得－＜x≤2.
(3)当x＜－3时，原不等式可化为
解得x＜－12.
综上所述，原不等式的解集为.
10．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x－2a|.
(1)当a＝1时，求f(x)≤3的解集；
(2)当x∈[1,2]时，f(x)≤3恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，
原不等式可化为|2x－1|＋|x－2|≤3，
当x>2时，得3x－3≤3，则x≤2，无解；
当≤x≤2时，得x＋1≤3，则x≤2，所以≤x≤2；
当x<时，得3－3x≤3，则x≥0，所以0≤x<.
综上所述，原不等式的解集为[0,2]．
(2)原不等式可化为|x－2a|≤3－|2x－1|，
因为x∈[1,2]，所以|x－2a|≤4－2x，
即2x－4≤2a－x≤4－2x，
故3x－4≤2a≤4－x对x∈[1,2]恒成立．
当1≤x≤2时，3x－4的最大值为2,4－x的最小值为2，
所以a的取值范围为1.
11．已知函数f(x)＝|x＋3|＋|x－a|(a>0)．
(1)当a＝4时，已知f(x)＝7，求x的取值范围；
(2)若f(x)≥6的解集为{x|x≤－4或x≥2}，求a的值．
解：(1)因为|x＋3|＋|x－4|≥|x＋3－x＋4|＝7，当且仅当(x＋3)(x－4)≤0时等号成立．
所以f(x)＝7时，－3≤x≤4，故x∈[－3,4]．
(2)由题知f(x)＝
当a＋3≥6时，不等式f(x)≥6的解集为R，不合题意；
当a＋3<6时，不等式f(x)≥6的解为或
即或
又因为f(x)≥6的解集为{x|x≤－4或x≥2}，
所以a＝1.
课件40张PPT。第一章把握热点考向考点一理解教材新知考点二应用创新演练1．3 绝对值不等式的解法读教材·填要点小问题·大思维考点三
