1．4/绝对值的三角不等式
[读教材·填要点]
绝对值的三角不等式
(1)定理1：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|.
当且仅当ab≥0时，等号成立．
(2)定理2：设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，等号成立?(a－b)(b－c)≥0，即b落在a，c之间．
①推论1：||a|－|b||≤|a＋b|
②推论2：||a|－|b||≤|a－b|
[小问题·大思维]
1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？
提示：|a|－|b|≤|a＋b|，|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.
2．不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中“＝”成立的条件分别是什么？
提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0，且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.
3．绝对值不等式|a－c|≤|a－b|＋|b－c|的几何解释是什么？
提示：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|AC|＝|AB|＋|BC|；当点B不在点A，C之间时，|AC|<|AB|＋|BC|.
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绝对值的三角不等式的应用
[例1] (1)以下四个命题：
①若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；
②若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；
③若|x|＜2，|y|＞3，则||＜；
④若AB≠0，则lg≥( lg|A|＋lg|B|)．
其中正确的命题有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
(2)不等式≥1成立的充要条件是________．
[思路点拨] 本题考查绝对值的三角不等式定理的应用及充要条件等问题．解答问题(1)可利用绝对值的三角不等式定理，结合不等式的性质、基本定理等一一验证；解答问题(2)应分|a|＞|b|与|a|<|b|两类讨论．
[精解详析] (1)|a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a|
＝|a－b|＋2|a|，∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|，①正确；
1＞|a－b|≥|a|－|b|，∴|a|＜|b|＋1，②正确；
|y|＞3，∴＜.
又∵|x|＜2，∴＜.③正确；
2＝(|A|2＋|B|2＋2|A||B|)，
≥(2|A||B|＋2|A||B|)＝|A||B|，
∴2lg≥lg|A||B|.
∴lg≥(lg|A|＋lg|B|)，④正确．
(2)当|a|>|b|时，有|a|－|b|>0，
∴|a＋b|≥||a|－|b||＝|a|－|b|.
∴必有≥1.
即|a|>|b|是≥1成立的充分条件．
当≥1时，由|a＋b|>0，
必有|a|－|b|>0.
即|a|>|b|，故|a|>|b|是≥1成立的必要条件．
故所求为：|a|>|b|.
[答案] (1)A (2)|a|＞|b|
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(1)绝对值的三角不等式：|a|－|b|＜|a±b|＜|a|＋|b|的几何意义是：三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边．
(2)对|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|的诠释：
定理的构
成部分
特征
大小
关系
等号成立的条件
左端|a|－|b|
可能是负的
≤中间部分
中间部分为|a＋b|时，ab≤0，且|a|≥|b|时，左边的等号成立；中间部分为|a－b|时，ab≥0，且|a|≥|b|时，左边等号成立．
中间部分|a±b|
肯定是非负的
≥左端
≤右端
用“＋”连接时，ab≥0，右端取等号，ab≤0，且|a|≥|b|时，左端取等号；用“－”连接时，ab≥0，且|a|≥|b|时，左端取等号，ab≤0，右端取等号．
右端|a|＋|b|
是非负的
≥中间部分
中间部分为|a＋b|时，ab≥0，等号成立；中间部分为|a－b|时，ab≤0，等号成立.
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1．(1)若x＜5，n∈N＋，则下列不等式：
①|xlg|＜5|lg|；
②|x|lg＜5lg；
③xlg＜5|lg|；
④|x|lg＜5|lg|.
其中，能够成立的有________．
(2)已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是( )
A．m＞n B．m＜n
C．m＝n D．m≤n
解析：(1)∵0＜＜1.
∴lg＜0.
由x＜5，并不能确定|x|与5的关系，
∴可以否定①②③，而|x|lg＜0，④成立．
(2)∵|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，
∴m＝≤＝1，
n＝≥＝1.∴m≤1≤n.
答案：(1)④ (2)D
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利用绝对值的三角不等式证明不等式
[例2] 已知a，b∈R且a≠0，
求证：≥－.
[思路点拨] 本题的特点是绝对值符号较多，直接去掉绝对值符号较困难．从所证的不等式可以看出，不等式的左边为非负值，而不等式右边的符号不定．如果不等式右边非正，这时不等式显然成立；当不等式右边为正值时，有|a|＞|b|.所以本题应从讨论|a|与|b|的大小入手，结合作差比较法，可以使问题得以解决．
[精解详析] ①若|a|＞|b|，
左边＝
＝≥
＝.
∵≤，≤，
∴＋≤.
∴左边≥＝右边．
②若|a|<|b|，
左边>0，右边<0，∴原不等式显然成立．
③若|a|＝|b|，原不等式显然成立．
综上可知原不等式成立．
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含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．
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2．(1)已知ε>0，|x－a|<ε，|y－b|<ε，
求证：|(x＋y)－(a＋b)|<2ε.
(2)设f(x)＝x2－x＋13，实数a满足|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．
证明：(1)|(x＋y)－(a＋b)|＝|(x－a)＋(y－b)|≤|x－a|＋|y－b|.①
∵|x－a|<ε，|y－b|<ε，
∴|x－a|＋|y－b|<ε＋ε＝2ε.②
由①②得：|(x＋y)－(a＋b)|<2ε.
(2)∵f(x)＝x2－x＋13，
∴|f(x)－f(a)|＝|x2－x－a2＋a|
＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|.
又∵|x＋a－1|＝|x－a＋2a－1|
≤|x－a|＋|2a－1|<1＋|2a|＋1
＝2(|a|＋1)，
∴|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1).
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利用绝对值的三角不等式求最值
[例3] 已知a，b∈R，且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4.
求|a|＋|b|的最大值．
[思路点拨] 本题考查绝对值三角不等式的应用．解答本题可先求出|a＋b|，|a－b|的最值，再通过|a|＋|b|与它们相等时进行讨论求出最大值．
[精解详析] |a＋b|＝|(a＋b＋1)－1|
≤|a＋b＋1|＋|－1|≤2，
|a－b|＝|3(a＋b＋1)－2(a＋2b＋4)＋5|
≤3|a＋b＋1|＋2|a＋2b＋4|＋5
≤3＋2×4＋5＝16.
①若ab≥0，则|a|＋|b|＝|a＋b|≤2；
②若ab＜0，则|a|＋|b|＝|a－b|≤16.
而当即a＝8，b＝－8时，
|a|＋|b|取得最大值，且|a|＋|b|＝|a－b|＝16.
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(1)求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，本题直接求|a|＋|b|的最大值比较困难，可采用|a＋b|，|a－b|的最值，及ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，ab＜0时，|a|＋|b|＝|a－b|的定理，达到目的，其巧妙之处令人赞叹不已．
(2)求y＝|x＋m|＋|x＋n|和y＝|x＋m|－|x＋n|的最值，其主要方法有：
①借助绝对值的定义，即零点分段；
②利用绝对值几何意义；
③利用绝对值不等式性质定理．
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3．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为( )
A．5 B．4
C．8 D．7
解析：由题易得，|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，
即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：A
[对应学生用书P15]
一、选择题
1．已知实数a，b满足ab<0，则下列不等式成立的是( )
A．|a＋b|>|a－b| B．|a＋b|<|a－b|
C．|a－b|<||a|－|b|| D．|a－b|<|a|＋|b|
解析：∵ab<0，
∴|a－b|＝|a|＋|b|，
又|a＋b|<|a|＋|b|，
∴|a＋b|<|a|＋|b|＝|a－b|.
答案：B
2．“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的( )
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件
解析：∵|x－a|＜m，|y－a|＜m，
∴|x－a|＋|y－a|＜2m.
又∵|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|，
∴|x－y|＜2m.但反过来不一定成立，
如取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，|3－1|＜2×2.5，
但|3－(－2)|＞2.5，|1－(－2)|＞2.5，
∴|x－y|＜2m不一定有|x－a|＜m且|y－a|＜m，故“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的充分非必要条件．
答案：A
3．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( )
A．|a＋b|＋|a－b|>2 B．|a＋b|＋|a－b|<2
C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小
解析：当(a＋b)(a－b)≥0时，
|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2，
当(a＋b)(a－b)<0时，
|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|<2.
答案：B
4．若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是( )
A．|a|＜|b|＋|c| B．|c|＜|a|＋|b|
C．b＞|c|－|a| D．b＜||a|－|c||
解析：∵|a－c|＜b，令a＝1，c＝2，b＝3.
则|a|＝1，|b|＋|c|＝5，∴|a|＜|b|＋|c|成立．
|c|＝2，|a|＋|b|＝4，∴|c|＜|a|＋|b|成立．
||c|－|a||＝||2|－|1||＝1，∴b＞||c|－|a||成立．
故b＜||a|－|c||不成立．
答案：D
二、填空题
5．已知p，q，x∈R，pq≥0，x≠0，则________2.(填不等关系符号)
解析：当p，q至少有一个为0时，≥2，
当pq>0时，p，q同号，则px与同号，
∴＝|px|＋≥2，
故≥2.
答案：≥
6．(重庆高考)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：|2x－1|＋|x＋2|＝＋≥0＋＝，当且仅当x＝时取等号，因此函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值是.所以a2＋a＋2≤，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤，即实数a的取值范围是.
答案：
7．不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，
则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2，
所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.
答案：(－∞，2)
8．设函数f(x)的定义域为R，若存在常数m＞0，使|f(x)|≤m|x|对一切实数x均成立，则称f(x)为F函数．给出下列函数：
①f(x)＝0；②f(x)＝x2；③f(x)＝(sin x＋cos x)；
④f(x)＝；⑤f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1，x2均有|f(x1)－f(x2)|≤2|x1－x2|.
其中是F函数的序号是________．
解析：由|f(x)|≤m|x|，当x≠0时，知m≥，
对于①，有＝0，x≠0，故取m＞0即可；
对于②，由|x2|＝|x|2，∴＝|x|，无最大值；
对于③，由f(x)＝2sin，
而＝无最大值；
对于④，由＝≤，x≠0，只要取
m＝即可；
对于⑤，令x2＝0，x1＝x ，由f(0)＝0，知|f(x)|≤2|x|.
答案：①④⑤
三、解答题
9．已知实数x，y满足：|x＋y|＜，|2x－y|＜，求证：|y|＜.
证明：因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知|x＋y|＜，|2x－y|＜，
从而3|y|＜＋＝，所以|y|＜.
10．设a，b∈R，求证：＋≥.
证明：法一：①若ab＝0或a＋b＝0，不等式显然成立．②若ab≠0且a＋b≠0，∵|a＋b|≤|a|＋|b|，
∴＝
≥＝(*)
又＞，＞，
∴＋＞.
又由(*)式可知＋＞.
综上①②可知＋≥.
法二：若ab＝0或a＋b＝0，不等式显然成立．
若ab≠0且a＋b≠0，∵|a＋b|≤|a|＋|b|，
∴0＜1＋≤1＋.
即0＜≤.
取倒数得≥，
又由法一知，原不等式成立．
法三：∵|a|＋|b|≥|a＋b|，
∴|a|＋|b|＋(|a|＋|b|)·|a＋b|≥|a＋b|＋
(|a|＋|b|)·|a＋b|，
即(|a|＋|b|)(1＋|a＋b|)≥|a＋b|(1＋|a|＋|b|)．
两边同除以(1＋|a＋b|)(1＋|a|＋|b|)得
≥.又由法一知，原不等式成立．
法四：构造函数f(x)＝，
任取x1，x2∈[0，＋∞)且x1＜x2，有
f(x1)－f(x2)＝－
＝＜0.
∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数．
又|a|＋|b|≥|a＋b|，∴f(|a|＋|b|)≥f(|a＋b|)，
即≥.
又由法一知，所证不等式成立．
11．已知|x1－2|<1，|x2－2|<1.
(1)求证：2(2)若f(x)＝x2－x＋1，x1≠x2，求证：
|x1－x2|<|f(x1)－f(x2)|<5|x1－x2|.
证明：(1)∵|x1－2|<1，|x2－2|<1，
∴2－1即1|x1－x2|＝|(x1－2)－(x2－2)|
≤|x1－2|＋|x2－2|<1＋1＝2，
即|x1－x2|<2.
(2)∵f(x)＝x2－x＋1，
∴|f(x1)－f(x2)|＝|x－x1－x＋x2|
＝|(x1－x2)(x1＋x2－1)|＝|x1－x2||x1＋x2－1|.
由(1)知20，
∴|x1－x2|<|x1－x2||x1＋x2－1|<5|x1－x2|，
即|x1－x2|<|f(x1)－f(x2)|<5|x1－x2|.
课件43张PPT。第一章把握热点考向考点一理解教材新知考点二应用创新演练1．4 绝对值的三角不等式读教材·填要点小问题·大思维考点三
