1．5.3 反证法和放缩法
[读教材·填要点]
1．反证法
首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来结论是正确的，这种方法称为反证法．
2．放缩法
在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁化简，达到证明目的，这种方法称为放缩法．
[小问题·大思维]
1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？
提示：用反证法证明不等式要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．
(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．
2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？
提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式．
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用反证法证明否定性结论
[例1] 设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.
[思路点拨] 本题考查反证法的应用．解答本题若采用直接法证明将非常困难，因此可考虑采用反证法从反面入手解决．
[精解详析] 假设4a(1－b)＞1,4b(1－c)＞1,4c(1－d)＞1，4d(1－a)＞1，则有
a(1－b)＞，b(1－c)＞，
c(1－d)＞，d(1－a)＞.
∴＞，＞，
＞，＞.
又∵≤，≤，
≤，≤，
∴＞，＞，
＞，＞.
将上面各式相加得2＞2，矛盾．
∴4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.
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(1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体．
(2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式①与已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相矛盾．
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1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．
解：(1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.
又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，
两式相减得an＋1＝an，
所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，
所以an＝.
(2)反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p则2·＝＋，所以2·2r－q＝2r－p＋1.①
又因为p所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证.
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用反证法证明“至多”、“至少”型命题
[例2] 若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a，b，c中至少有一个大于0.
[思路点拨] 由于问题是“至少型”命题，故可用反证法证明．
[精解详析] 假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，
而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3
∴π－3>0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)≥0
∴a＋b＋c>0这与a＋b＋c≤0矛盾．
因此，a，b，c中至少有一个大于0.
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(1)在证明中含有“至少”、“至多”、“最多”等字眼时，或证明否定性命题、惟一性命题时，可使用反证法证明．在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显然的事实矛盾，也可以自相矛盾．
(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．
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2．实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
证明：假设a，b，c，d都是非负数，
即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，
则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd.
这与已知中ac＋bd>1矛盾，
∴原假设错误，
故a，b，c，d中至少有一个是负数.
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用放缩法证明不等式
[例3] 求证：－＜1＋＋…＋＜2－(n∈N*且n≥2)．
[思路点拨] 本题考查放缩法在证明不等式中的应用，解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式．
[精解详析] ∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)，
∴＜＜.
即－＜＜－(k∈N＋且k≥2)．
分别令k＝2,3，…，n得
－＜＜1－，－＜＜－，
…
－＜＜－，将这些不等式相加得
－＋－＋…＋－＜＋＋…＋＜1－＋－＋…＋－，
即－＜＋＋…＋＜1－.
∴1＋－＜1＋＋＋…＋＜1＋1－.
即－＜1＋＋＋…＋＜2－(n∈N＋且n≥2)成立．
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(1)放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换，即欲证a>b，可换成证a>c且c>b，欲证a(2)放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标．而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察．常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：
舍去或加上一些项：2＋＞2；
将分子或分母放大(缩小)：＜，＞
，＜，＞(k∈R，k＞1)等．
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3．设n是正整数，求证：≤＋＋…＋<1.
证明：由2n≥n＋k≥n(k＝1,2…，n)，得≤<.
当k＝1时，≤<；
当k＝2时，≤<；
…
当k＝n时，≤<，
∴＝≤＋＋…＋<＝1.
[对应学生用书P23]
一、选择题
1．否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时正确的反设为( )
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c都是偶数
C．a、b、c中至少有两个偶数
D．a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数
解析：三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a、b、c中恰有一个为偶数包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合．
答案：D
2．设M＝＋＋＋…＋，则( )
A．M＝1 B．M<1
C．M>1 D．M与1大小关系不定
解析：∵210＋1>210,210＋2>210，…，211－1>210，
∴M＝＋＋＋…＋
<＝1.
答案：B
3．设a，b，c∈(－∞，0)，则三数a＋，b＋，c＋的值( )
A．都不大于－2
B．都不小于－2
C．至少有一个不大于－2
D．至少有一个不小于－2
解析：假设都大于－2，
则a＋＋b＋＋c＋＞－6，∵a，b，c＜0，
∴a＋≤－2，b＋≤－2，c＋≤－2，
∴a＋＋b＋＋c＋≤－6，这与假设矛盾，则选C.
答案：C
4．已知p＝a＋，q＝－a2＋4a(a>2)，则( )
A．p>q B．pC．p≥q D．p≤q
解析：∵p＝(a－2)＋＋2，又a－2>0，
∴p≥2＋2＝4，而q＝－(a－2)2＋4，
由a>2，可得q<4，∴p>q.
答案：A
二、填空题
5．给出下列两种说法：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以上两种说法正确的是________．
解析：反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q>2，所以①错误；对于②，其假设正确．
答案：②
6．用反证法证明“已知平面上有n(n≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d，距离为d的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n条”时，假设的内容为________．
解析：对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n＋1条”．
答案：直径的数目至少为n＋1条
7．A＝1＋＋＋…＋与(n∈N＋)的大小关系是________．
解析：A＝＋＋＋…＋≥＝＝.
答案：A≥
8．设a>0，b>0，M＝，N＝＋，则M与N的大小关系是________．
解析：∵a>0，b>0，
∴N＝＋>＋
＝＝M.
∴M答案：M三、解答题
9．已知0证明：法一：假设x(2－y)>1且y(2－z)>1且z(2－x)>1均成立，
则三式相乘有：xyz(2－x)(2－y)(2－z)>1. ①
由于0∴0＜x(2－x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1.
同理：0＜y(2－y)≤1，且0＜z(2－z)≤1，
∴三式相乘得：0②与①矛盾，故假设不成立．
∴x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于1.
法二：假设x(2－y)＞1且y(2－z)＞1且z(2－x)＞1.
∴＋＋＞3. ③
又＋＋
≤＋＋＝3 ④
④与③矛盾，故假设不成立，
∴原题设结论成立．
10．已知实数x、y、z不全为零，求证： ＋ ＋ >(x＋y＋z)．
证明：
＝ ≥
＝|x＋|≥x＋.
同理可得：≥y＋，
≥z＋.
由于x、y、z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式累加得：
＋＋>＋＋＝(x＋y＋z)．
11．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝nan－2n(n－1)．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)设数列的前n项和为Tn，
求证：≤Tn<.
解：(1)由Sn＝nan－2n(n－1)得
an＋1＝Sn＋1－Sn＝(n＋1)an＋1－nan－4n，
即an＋1－an＝4.
∴数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列，
∴an＝4n－3.
(2)证明：Tn＝＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝
＝<.
又易知Tn单调递增，故Tn≥T1＝，
得≤Tn<.
课件35张PPT。第一章把握热点考向考点一理解教材新知考点二应用创新演练1．5不等式证明的基本方法读教材·填要点小问题·大思维1．5.3 反证法和放缩法考点三
