2019年数学人教B版选修4-5新设计同步（讲义+课件+课时跟踪检测）：模块综合检测

阶段质量检测(四)　模块综合检测
(时间：90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．已知a，b为非零实数，且aA．a2C.< D.<
2．t，s∈R＋，A＝，B＝＋，则A与B的关系为(　　)
A．A>B B．AC．A＝B 　D．不确定
3．已知函数f(x)、g(x)，设不等式|f(x)|＋|g(x)|0)的解集是M，不等式|f(x)＋g(x)|0)的解集为N，则集合M与N的关系是(　　)
A．N?M B．M＝N
C．M?N 　D．M?N
4．已知θ∈R，则4＋cos θ的最大值是(　　)
A．2 B．3
C. D.
5．不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为(　　)
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
B．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[3，＋∞)
D．(－∞，－3]∪[2，＋∞)
6．已知θ为锐角，a，b均为正实数．则下列不等式成立的是(　　)
A．(a＋b)2≤＋
B．(a＋b)2≥＋
C．a2＋b2＝＋
D．(a＋b)2<＋
7．(安徽高考)若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为(　　)
A．5或8 B．－1或5
C．－1或－4 　D．－4或8
8．当x>1时，不等式a≤x＋恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2) B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞) 　D．(－∞，3]
9．若实数x、y满足＋＝1，则x2＋2y2有(　　)
A．最大值3＋2 B．最小值3＋2
C．最大值6 　D．最小值6
10．若x>1，则函数y＝x＋＋的最小值为(　　)
A．16 B．8
C．4 　D．非上述情况
二、填空题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分)
11．若x，y，z是正数，且满足xyz(x＋y＋z)＝1，则(x＋y)·(y＋z)的最小值为________．
12．(广东高考)不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________________．
13．若不等式|x－a|＋|x－2|≥1对任意实数x均成立，则实数a的取值范围为________________．
14．设正数a，b，c的乘积abc＝1，＋＋的最小值为________．
三、解答题(本大题共有4小题，共50分)
15．(本小题满分12分)已知a，b是不相等的正实数．
求证：(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.
16．(本小题满分12分)若a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，求证：≥·.
17．(本小题满分12分)(新课标全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝＋|x－a|(a>0)．
(1)证明：f(x)≥2；
(2)若f(3)<5，求a的取值范围．
18.(本小题满分14分)数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N＋)．
(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an.
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
答 案
1．选C　A项中a2－b2＝(a＋b)(a－b)，
由a但a＋b的符号不确定，故A项错误．
B项中，ab2－a2b＝ab(b－a)，
由a0，
但ab的符号不确定，故B项错误．
C项中，－＝＝，
由a∴－<0，即<.
D项中，－＝＝，
由于的符号不确定，故D项错误．
2．选B　B＝＋>＋＝＝A.
3．选C　由绝对值不等式的性质知|f(x)＋g(x)|≤|f(x)|＋|g(x)|，
∴集合N与集合M成M?N关系．
4．选B　由4＋cos θ≤·＝3.当且仅当4cos θ＝，即sin θ＝±，cos θ＝时，等号成立，故选B.
5．选D　由题意不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的几何意义为数轴上到1，－2两个点的距离之和大于等于5的点组成的集合，而－2,1两个端点之间的距离为3，由于分布在－2,1以外的点到－2,1的距离要计算两次，而在－2,1内部的距离则只计算一次，因此只要找出－2左边到－2的距离等于＝1的点－3，以及1右边到1的距离等于＝1的点2，这样就得到原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
6．选A　设m＝，n＝(cos θ，sin θ)，
则|a＋b|＝
≤ ·＝，
所以(a＋b)2≤＋.
7．选D　当a≥2时，f(x)＝
如图1可知，当x＝－时，f(x)min＝f＝－1
＝3，可得a＝8；
当a<2时，f(x)＝
如图2可知，当x＝－时，f(x)min＝f＝－＋1＝3，可得a＝－4.综上可知，答案为D.
8．选D　a≤x＋，
由x＋＝x－1＋＋1≥3，即x＋的最小值为3.
9．选B　由题知，x2＋2y2＝(x2＋2y2)·＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝时，等号成立．
10．选B　y＝x＋＋＝x＋＋≥2＝8，当且仅当x＝2＋时等号成立．
11．解析：(x＋y)(y＋z)＝xy＋y2＋yz＋zx
＝y(x＋y＋z)＋zx≥2
＝2.
答案：2
12．解析：当x<－2时，原不等式即1－x－x－2≥5?x≤－3，此时得到x≤－3；当－2≤x≤1时，原不等式即1－x＋x＋2≥5，此时无解；当x>1时，原不等式即x－1＋x＋2≥5?x≥2，此时得到x≥2.于是原不等式的解集为{x≤－3或x≥2}．
答案：{x|x≤－3或x≥2}
13．解析：由题得|x－a|＋|x－2|≥|(x－a)－(x－2)|＝|a－2|，∴|a－2|≥1，解得a∈(－∞，1]∪[3，＋∞)．
答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)
14．解析：设a＝，b＝，c＝，则xyz＝1，则＋＋可化为＋＋，不妨设x≥y≥z，则≥≥，
据排序不等式得
＋＋≥z·＋x·＋y·，
＋＋≥y·＋z·＋x·，
两式相加并化简可得2≥3.
即＋＋≥.
即＋＋≥.
所以＋＋的最小值为.
答案：
15．证明：因为a，b是正实数，
所以a2b＋a＋b2≥3＝3ab>0，
当且仅当a2b＝a＝b2，即a＝b＝1时，等号成立；
同理：ab2＋a2＋b≥3＝3ab>0，
当且仅当a＝b＝1时，等号成立．
所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)≥9a2b2，
当且仅当a＝b＝1时，等号成立．
因为a≠b，所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.
16．证明：由题设和排序不等式，可知有以下n组式子成立：
a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，
a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥a1b2＋a2b3＋…＋anb1，
……
a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥a1bn＋a2b1＋…＋anbn－1.
将上述n个不等式叠加后，两边同除以n2，即得欲证的不等式．
17．解：(1)证明：由a>0，有f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2.当且仅当“a＝1”时等号成立．
所以f(x)≥2.
(2)f(3)＝＋|3－a|.
当a>3时，f(3)＝a＋，
由f(3)<5得3当0＜a≤3时，f(3)＝6－a＋，
由f(3)<5得综上，a的取值范围是.
18．解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，所以a1＝1；
当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，所以a2＝；
当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，所以a3＝；
当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，
所以a4＝.
由此猜想an＝(n∈N＋)．
(2)当n＝1时，a1＝1，结论成立．
假设n＝k(k≥1且k∈N＋)时，结论成立，即ak＝，
那么n＝k＋1(k≥1且k∈N＋)时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak
＝2＋ak－ak＋1.
所以2ak＋1＝2＋ak，
所以ak＋1＝＝＝，
这就是说当n＝k＋1时，结论也成立，
综上可得an＝(n∈N＋)．