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2．1/柯西不等式
[读教材·填要点]
1．平面上的柯西不等式的代数和向量形式
(1)定理1(柯西不等式的代数形式)
设a1，a2，b1，b2均为实数，则
(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2.
上式等号成立?a1b2＝a2b1.
(2)定理2(柯西不等式的向量形式)
设α，β为平面上的两个向量，则
|α||β|≥|α·β|
上式中等号成立?向量α和β共线(平行)?存在实数λ≠0，使得α＝λβ.
(3)定理3：设a1，a2，b1，b2为实数，则
＋≥
等号成立?存在非负实数μ及λ，使得
μa1＝λb1，μa2＝λb2.
(4)定理4(平面三角不等式)
设a1，a2，b1，b2，c1，c2为实数，则
＋≥ .
等号成立?存在非负实数λ及μ使得：
μ(a1－b1)＝λ(b1－c1)，μ(a2－b2)＝λ(b2－c2)．
(5)定理5：设α，β，γ为平面向量，则
|α－β|＋|β－γ|≥|α－γ|
当α－β，β－γ为非零向量时，上面不等式中等号成立?存在正常数λ，使得α－β＝λ(β－γ)?向量α－β与β－γ同向，即夹角为零．
2．柯西不等式的一般形式
定理 设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn为实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|，
其中等号成立?＝＝…＝(当某bj＝0时，认为aj＝0，j＝1,2，…，n)
[小问题·大思维]
1．在平面上的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成＝吗？
提示：不可以．当a2·b2＝0时，柯西不等式成立，
但＝不成立．
2．在一般形式的柯西不等式的右端中，表达式写成ai·bi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？
提示：不可以，ai·bi的顺序要与左侧ai，bi的顺序一致．
3．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？
提示：不可以．若bi＝0而ai≠0，则k不存在．
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利用平面上的柯西不等式证明有关不等式
[例1] 已知a，b，c为正数，且满足acos2θ＋bsin2 θ[思路点拨] 由柯西不等式直接证明即可．
[精解详析] 由柯西不等式，
得cos2θ＋sin2θ
≤[(cos θ)2＋(sin θ)2](cos2θ＋sin2θ)
＝(acos2θ＋bsin2θ)<.
∴cos θ＋sin2θ<.
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利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式适当的变形．这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．
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1．设a，b均为正实数，且a＋b＝2.
求证：＋≥2.
证明：根据柯西不等式，有
[(2－a)＋(2－b)]
＝[()2＋()2]
≥2
＝(a＋b)2＝4.
∴＋≥＝2.
∴原不等式成立.
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利用一般形式的柯西不等式证明不等式
[例2] 设a，b，c为正数，且不全相等．
求证：＋＋>.
[思路点拨] 本题考查三维形式的柯西不等式的应用．解答本题需要构造两组数据，，；，，，然后利用柯西不等式解决．
[精解详析] 构造两组数，，；，，，则由柯西不等式得
(a＋b＋b＋c＋c＋a)≥(1＋1＋1)2，①
即2(a＋b＋c)≥9，
于是＋＋≥.
由柯西不等式知，①中有等号成立?＝＝?a＋b＝b＋c＝c＋a?a＝b＝c.
因题设，a，b，c不全相等，故①中等号不成立，
于是＋＋>.
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柯西不等式的结构特征可以记为(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(＋＋…＋)2，其中ai，bi均为正实数(i＝1,2，…，n)，在使用柯西不等式时(要注意从整体上把握柯西不等式的结构特征)，准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键．
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2．设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明：∵(a＋b＋c)
＝·[()2＋()2＋()2]
≥2＝(a＋b＋c)2，
即(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2，
又a，b，c为正实数，∴a＋b＋c>0.
∴＋＋≥a＋b＋c.
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利用柯西不等式求最值
[例3] 设2x＋3y＋5z＝29，求函数u＝＋＋ 的最大值．
[思路点拨] 本题考查三维柯西不等式的应用，解答本题需要利用好特定条件，设法去掉根号．
[精解详析] 根据柯西不等式
120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]
≥(1×＋1×＋1×)2，
故＋＋≤2.
当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，
即x＝，y＝，z＝时等号成立，
此时umax＝2.
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利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．
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3．设x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝，则x＋y＋z＝________.
解析：根据柯西不等式可得，(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2＝14，所以要取到等号，必须满足＝＝，结合x＋2y＋3z＝，可得x＋y＋z＝.
答案：
[对应学生用书P30]
一、选择题
1．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a＋b的取值范围是( )
A．[－2，2] B．[－2，2]
C．[－，] D．(－，]
解析：∵a2＋b2＝10，
∴(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2，
即20≥(a＋b)2，
∴－2≤a＋b≤2.
答案：A
2．已知x，y∈R＋，且xy＝1，则的最小值为( )
A．4 B．2
C．1 D．
解析：≥2＝4，故选A.
答案：A
3．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋y的最大值是( )
A. B．1
C．3 D．9
解析：∵2x＋y＝2x·1＋y·1≤·＝·＝.
∴2x＋y的最大值为.
答案：A
4．设a1，a2，…，an为实数，P＝，Q＝，则P与Q的大小关系为( )
A．P>Q B．P≥Q
C．P解析：由柯西不等式知
(a＋a＋…＋a)·
≥a1＋a2＋…＋an，
∴ ·≥a1＋a2＋…＋an.
即得 ≥，∴P≥Q.
答案：B
二、填空题
5．设a，b，c，d，m，n都是正实数，P＝＋，Q＝·，则P与Q的大小________．
解析：由柯西不等式，得
P＝＋≤×＝× ＝Q.
答案：P≤Q
6．(陕西高考)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则 的最小值为________．
解析：由柯西不等式得(ma＋nb)2≤(m2＋n2)(a2＋b2)，即m2＋n2≥5，当且仅当＝时等号成立，∴≥，∴所求最小值为.
答案：
7．函数y＝2cos x＋3的最大值为________．
解析：y＝2cos x＋3＝2cos x＋3≤＝.
当且仅当＝，即tan x＝±时，函数有最大值.
答案：
8．已知x，y，z均为正实数，且x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为________．
解析：利用柯西不等式．
由于(x＋y＋z)≥
2＝36，
所以＋＋≥36.
当且仅当x2＝y2＝z2，即x＝，y＝，z＝时，等号成立．∴＋＋的最小值为36.
答案：36
三、解答题
9．已知实数a、b、c满足a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1.
求证：－≤c≤1.
证明：因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，
所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2.
由柯西不等式得：
(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2，
5(1－c2)≥(1－c)2，
整理得，3c2－c－2≤0，
解得－≤c≤1.∴－≤c≤1.
10．已知x，y，z∈R，且x－2y－3z＝4，求x2＋y2＋z2的最小值．
解：由柯西不等式，得
[x＋(－2)y＋(－3)z]2≤[12＋(－2)2＋(－3)2](x2＋y2＋z2)，
即(x－2y－3z)2≤14(x2＋y2＋z2)，
即16≤14(x2＋y2＋z2)．
所以x2＋y2＋z2≥，当且仅当x＝＝，即当x＝，y＝－，z＝－时，x2＋y2＋z2的最小值为.
11．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，求a的最值．
解：由柯西不等式，有
(2b2＋3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2，
即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2，
由条件可得，5－a2≥(3－a)2，
解得1≤a≤2，当且仅当＝＝时等号成立，
代入b＝，c＝，d＝时，amax＝2，
代入b＝1，c＝，d＝时，amin＝1.
课件32张PPT。第二章把握热点考向考点一理解教材新知考点二应用创新演练读教材·填要点小问题·大思维2．1 柯西不等式考点三
