2．3～2.4/平均值不等式(选学) 最大值与最小值问题，优化的数学模型
[读教材·填要点]
1．平均值不等式
(1)定理1(平均值不等式)：
设a1，a2，…，an为n个正数，则
≥ ，
等号成立?a1＝a2＝…＝an.
①推论1：设a1，a2，…，an为n个正数，且a1a2…an＝1，则a1＋a2＋…＋an≥n.
且等号成立?a1＝a2＝…＝an＝1.
②推论2：设C为常数，且a1，a2，…，an为n个正数；则当a1＋a2＋…＋an＝nC时，
a1a2…an≤Cn，
且等号成立?a1＝a2＝…＝an.
(2)定理2：
设a1，a2，…，an为n个正数，则
≥，
等号成立?a1＝a2＝…＝an.
(3)定理3：
设a1，a2，…，an为正数，则
≥≥，
等号成立?a1＝a2＝…＝an.
推论：设a1，a2，…，an为n个正数，则
(a1＋a2＋…＋an)(＋＋…＋)≥n2.
2．最值问题
设D为f(x)的定义域，如果存在x0∈D，使得f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，x∈D，
则称f(x0)为f(x)在D上的最大(小)值，x0称为f(x)在D上的最大(小)值点，寻求函数的最大(小)值及最大(小)值问题统称为最值问题．
[小问题·大思维]
1．利用基本不等式≥求最值的条件是什么？
提示：“一正、二定、三相等”，即：(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．
2．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意什么？
提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得.
/
利用基本不等式求最值
[例1] 已知x＞0，y＞0，且＋＝1，
求x＋y的最小值．
[思路点拨] 本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，然后再利用基本不等式求得和的最小值．
[精解详析] 法一：∵x＞0，y＞0，＋＝1，
∴x＋y＝(＋)(x＋y)＝＋＋10
≥6＋10＝16.
当且仅当＝，又＋＝1，
即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
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(1)运用不等式求最大值、最小值，用到两个结论，简述为：“和定积最大”与“积定和最小”．
(2)运用定理求最值时：必须做到“一正，二定，三相等”．
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1．求函数f(x)＝(x＞0)的最大值及此时x的值．
解：f(x)＝1－.
因为x＞0，所以2x＋≥2，
得－≤－2，
因此f(x)≤1－2，
当且仅当2x＝，即x2＝时，式子中的等号成立．
由于x＞0，因而x＝时，等号成立．
因此f(x)max＝1－2，此时x＝.
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利用平均值不等式求最值
[例2] 已知x为正实数，求函数y＝x(1－x2)的最大值．
[思路点拨] 本题考查三个正数的算术—几何平均不等式在求最值中的应用．解答本题要根据需要拼凑出利用其算术—几何平均不等式的条件，然后再求解．
[精解详析] ∵y＝x(1－x2)，
∴y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)·.
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
∴y2≤3＝.
当且仅当2x2＝1－x2＝1－x2，即x＝时取“＝”号．
∴y≤.
∴y的最大值为.
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(1)利用三个正数的算术—几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．
(2)应用算术—几何平均不等式定理，要注意三个条件即“一正二定三相等”同时具备时，函数方可取得最值．其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．
(3)当不具备使用平均不等式定理的条件时，求函数的最值可考虑利用函数的单调性．
/
2．已知x为正实数，求函数y＝x2·(1－x)的最大值．
解：y＝x2(1－x)＝x·x(1－x)
＝x·x·(2－2x)×
≤3＝×＝.
当且仅当x＝2－2x，即x＝时取等号．
此时，ymax＝.
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利用平均值不等式解应用题
[例3] 已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积．
[思路点拨] 本题考查算术—几何平均不等式在实际问题中的应用，解答本题需要作出圆锥、圆柱的轴截面，利用相似三角形建立各元素之间的关系，然后利用算术—几何平均不等式求最大值．
[精解详析]
设圆柱体的底面半径为r，如图，由相似三角形的性质可得
＝，
∴r＝(H－h)．
∴V圆柱＝πr2h＝(H－h)2h(0＜h＜H)．
根据平均不等式可得
V圆柱＝···h≤3
＝πR2H.
当且仅当＝h，即h＝H时，V圆柱最大＝πR2H.
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(1)在解求最值应用题时，先必须确定好目标函数，再用“平均值不等式”求最值．
(2)在确定目标函数时，必须使函数成为一元函数，即只能含一个变量，否则是无法求最值的．
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3．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．
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解：设正六棱柱容器底面边长为x(x>0)，高为h，
如图可知2h＋x＝，
/
即h＝(1－x)，
所以V＝S底·h＝6×x2·h
＝x2··(1－x)＝2××××(1－x)≤9×3
＝.
当且仅当＝1－x，即x＝时，等号成立．
所以当底面边长为时，正六棱柱容器容积最大值为.
[对应学生用书P35]
一、选择题
1．函数y＝3x＋(x>0)的最小值是( )
A．6 B．6
C．9 D．12
解析：y＝3x＋＝＋＋≥3＝9，
当且仅当＝，即x＝2时取等号．
答案：C
2．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为( )
A．3 B．2
C．12 D．12
解析：∵2x>0,4y>0,8z>0，
∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3
＝3＝3×4＝12.
当且仅当2x＝22y＝23z，
即x＝2y＝3z，即x＝2，y＝1，z＝时取等号．
答案：C
3．设x，y为正实数，且满足x＋4y＝40，则lg x＋lg y的最大值是( )
A．40 B．10
C．4 D．2
解析：因为x，y为正实数，∴≤.
∴≤＝10.∴xy≤100.
∴lg x＋lg y＝lg xy≤lg100＝2.
答案：D
4．已知x∈R＋，有不等式：x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，….启发我们可以推广结论为：x＋≥n＋1(n∈N＋)，则a的值为( )
A．nn B．2n
C．n2 D．2n＋1
解析：x＋＝
≥(n＋1)
＝(n＋1)，
由推广结论知＝1，∴a＝nn.
答案：A
二、填空题
5．设x，y∈R，且xy≠0，则·的最小值为______．
解析：＝1＋4＋4x2y2＋≥1＋4＋2·＝9，当且仅当4x2y2＝时等号成立，即|xy|＝时等号成立．
答案：9
6．若x，y∈R＋且xy＝1，则的最小值是________．
解析：∵x>0，y>0，xy＝1，
∴＝1＋＋＋xy
≥1＋3＝4，
当且仅当＝＝xy，
即x＝y＝1时取等号．
答案：4
7．对于x∈，不等式＋≥16恒成立，则正数p的取值范围为________．
解析：令t＝sin2x，则cos2x＝1－t.
又x∈，∴t∈(0,1)．
不等式＋≥16可化为
p≥(1－t)，
而y＝(1－t)
＝17－≤17－2 ＝9，
当＝16t，即t＝时取等号，
因此原不等式恒成立，只需p≥9.
答案： [9，＋∞)
8．设三角形三边长为3,4,5，P是三角形内的一点，则P到这三角形三边距离乘积的最大值是________．
解析：设P到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x，y，z，三角形的面积为S.
则S＝(3x＋4y＋5z)，又∵32＋42＝52，
∴这个直角三角形的面积S＝×3×4＝6.
∴3x＋4y＋5z＝2×6＝12.
∴3≤3x＋4y＋5z＝12.
∴(xyz)max＝.
当且仅当x＝，y＝1，z＝时等号成立．
答案：
三、解答题
9．已知a，b，x，y均为正实数，x，y为变数，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.
解：∵x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，
当且仅当＝时取等号．
又(x＋y)min＝(＋)2＝18，
即a＋b＋2＝18 ①
又a＋b＝10 ②
由①②可得或
10．已知某轮船速度为每小时10千米，燃料费为每小时30元，其余费用(不随速度变化)为每小时480元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和为最小．
解：设船速为V千米/小时，燃料费为A元/小时．则依题意有 A＝k·V3，且有30＝k·103，∴k＝.
∴A＝V3.
设每千米的航行费用为R，需时间为小时，
∴R＝＝V2＋＝V2＋＋≥3＝36.
当且仅当V2＝，即V＝20时取最小值．
答：轮船航行速度为20千米/小时时，每千米航行费用总和最小．
11.如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比．即E＝k.
这里k是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？
解：∵r＝，
∴E＝k·(0<θ<)，
∴E2＝·sin2θ·cos4θ
＝·(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ
≤·3＝，
当且仅当2sin2θ＝cos2θ即tan2θ＝，tan θ＝时取等号，
∴h＝2tan θ＝，即h＝米时，E最大．
课件37张PPT。第二章把握热点考向考点一理解教材新知考点二应用创新演练读教材·填要点小问题·大思维2．3～2.4 平均值不等式 （选学）最大值与最小值问题，优化的数学模型考点三
