知识整合与阶段检测
/[对应学生用书P36]
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/[对应学生用书P36]
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利用柯西不等式证明不等式
(1)柯西不等式取等号的条件实质上是：＝＝…＝.这里某一个bi为零时，规定相应的ai为零．
(2)利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组．
(3)可以利用向量中的|α||β|≥|α·β|的几何意义来帮助理解柯西不等式的几何意义．
[例1] 若n是不小于2的正整数，求证：
＜1－＋－＋…＋－＜.
[证明] 1－＋－＋…＋－
＝－2
＝＋＋…＋，
所以求证式等价于
＜＋＋…＋＜.
由柯西不等式，有
[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]≥n2，
于是＋＋…＋≥＝＝≥＝，
又由柯西不等式，有＋＋…＋＜
＜ ＝.
[例2] 设a，b，c∈R＋，且满足abc＝1，试证明：＋＋≥.
[证明] ∵abc＝1，则所求证的不等式变为
＋＋≥.
又(ab＋bc＋ca)2＝
2
≤[(ac＋bc)＋(ab＋ac)＋(ba＋bc)]，
∴＋＋≥(ac＋bc＋ab)≥
·3＝，
当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．
原不等式得证.
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利用柯西不等式求最值
利用不等式解决最值，尤其是含多个变量的问题，是一种常用方法．特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足．
[例3] 若5x1＋6x2－7x3＋4x4＝1，则3x＋2x＋5x＋x的最小值是( )
A． B．
C．3 D．
[解析] ∵(3x＋2x＋5x＋x)
≥2
＝(5x1＋6x2－7x3＋4x4)2
＝1，
∴3x＋2x＋5x＋x≥.
[答案] B
[例4] 等腰直角三角形AOB的直角边长为1.如图，在此三角形中任取点P，过P分别引三边的平行线，与各边围成以P为顶点的三个三角形(图中阴影部分)，求这三个三角形的面积和的最小值，以及达到最小值时P的位置．
[解] 分别取OA，OB所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．
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则AB的方程为x＋y＝1，
记P点坐标为P(xP，yP)，则以P为公共顶点的三个三角形的面积和S为S＝x＋y＋(1－xP－yP)2，
2S＝x＋y＋(1－xP－yP)2.
由柯西不等式，得
[x＋y＋(1－xP－yP)2](12＋12＋12)
≥[xP＋yP＋(1－xP－yP)]2，
即2S×3＝6S≥1，所以S≥.
当且仅当＝＝时，等号成立，
即xP＝yP＝时，面积和S最小，且最小值为.
从而P点坐标为时，这三个三角形的面积和取最小值.
[例5] 已知实数x、y、z满足x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，且x＋y＋z的最大值是7，求a的值．
[解] 由柯西不等式：
[x2＋(2y)2＋(3z)2]≥
2.
因为x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，
所以a≥(x＋y＋z)2，即－≤x＋y＋z≤.
因为x＋y＋z的最大值是7，所以＝7，得a＝36，
当x＝，y＝，z＝时，x＋y＋z取最大值，
所以a＝36.
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排序不等式的应用
(1)用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在．
(2)注意等号成立的条件．
[例6] 在△ABC中，试证：≤＜.
[证明] 不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C.
由排序不等式，得
aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，
aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，
aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.
相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)．
得≥，①
又由0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋c－b，有
0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b)
＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C)
＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C)
＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)．
得＜.②
由①、②得原不等式成立.
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利用平均值不等式求最值
1．求函数的最值
在利用平均值不等式求函数最值时，一定要满足下列三个条件：(1)各项均为正数．(2)“和”或“积”为定值．(3)等号一定能取到，这三个条件缺一不可．
2．解决实际问题
由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形．对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常采用分离变量(或常数)的方法，拼凑出和的形式，若积为定值则可用平均值不等式求解．
[例7] 已知0＜x＜，求函数y＝x(1－3x)的最大值．
[解] y＝x(1－3x)＝×3x×(1－3x)，
∵0＜x＜，
∴1－3x＞0，x＞0.
∴y＝x(1－3x)
＝×3x×(1－3x)≤×2＝.
当且仅当3x＝1－3x即x＝，y有最大值.
[例8] 若a>b>0，则代数式a2＋的最小值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] 依题意得a－b>0，所以代数式a2＋≥a2＋＝a2＋≥2＝4，当且仅当即a＝，b＝时取等号，因此a2＋的最小值是4，选C.
[答案] C
[例9] 某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
[解] (1)设每件定价为t元，
依题意，有t≥25×8，
整理得t2－65t＋1 000≤0，
解得25≤t≤40.
∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
(2)依题意，x>25时，
不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，
等价于x>25时，a≥＋x＋有解．
∵＋x≥2＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10.2.
当该商品明年的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
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一、选择题
1．若α为锐角，则的最小值为( )
A．2＋3 B．3＋2
C．2 D．3
解析：≥2＝2≥(1＋)2＝3＋2.
答案：B
2．已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是( )
A． B．
C． D．
解析：2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)·≥·2＝(x＋y)2＝.
答案：B
3．设x、y、z，满足x2＋2y2＋3z2＝3，则x＋2y＋3z的最大值是( )
A．3 B．4
C. D．6
解析：构造两组数：x，y，z和1，，，
由柯西不等式得[x2＋(y)2＋(z)2][12＋()2＋()2]≥(x＋2y＋3z)2，
∴(x＋2y＋3z)2≤18，
∴x＋2y＋3z≤3，当且仅当x＝y＝z＝时取等号．
答案：A
4．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品3件、5件及2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，则至少要花( )
A．17元 B．19元
C．21元 D．25元
解析：由排序原理可知：
花钱最少为：1×5＋2×3＋3×2＝17(元)．
答案：A
二、填空题
5．n个正数与这n个正数的倒数的乘积的和的最小值为________．
解析：设0
则0<≤≤…≤，
∵反序和≤乱序和≤顺序和，
∴最小值为反序和a1·＋a2·＋…＋an·＝n.
答案：n
6．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s，每个人接完水后就离开，则他们等候的总时间最短为________s.
解析：由题意知，等候的总时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7×1＝41.
答案：41
7．函数y＝＋的最小值为________．
解析：y＝＋＝＋
＝[2x＋(1－2x)]
≥2＝25，
当且仅当x＝时取等号．
答案：25
8．已知a，b，x，y＞0，且 ab＝4，x＋y＝1，则(ax＋by)·(bx＋ay)的最小值为________．
解析：[()2＋()2]·[()2＋()2]≥(·＋·)2＝(·x＋·y)2＝ab(x＋y)2＝ab＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号．
答案：4
三、解答题
9．求实数x，y的值使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2取到最小值．
解：由柯西不等式得
(12＋22＋12)×[(y－1)2＋(3－x－y)2＋(2x＋y－6)2]
≥[1×(y－1)＋2×(3－x－y)＋1×(2x＋y－6)]2＝1，
即(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2≥，
当且仅当＝＝，
即x＝，y＝时等号成立，此时最小值为.
10．设a、b、c为正数，且a＋2b＋3c＝13，求＋＋的最大值．
解：(a＋2b＋3c)
≥2
＝(＋＋)2.
∴(＋＋)2≤.
∴＋＋≤.
当且仅当＝＝时取等号．
又a＋2b＋3c＝13，∴a＝9，b＝，c＝.
∴＋＋有最大值.
11．若不等式|a－1|≥x＋2y＋3z对满足x2＋y2＋z2＝1的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．
解：根据柯西不等式，有
(x2＋y2＋z2)(1＋4＋9)≥(x＋2y＋3z)2，
∴(x＋2y＋3z)2≤1×14＝14，
则－≤x＋2y＋3z≤.
又∵|a－1|≥x＋2y＋3z恒成立，
∴|a－1|≥.
则a－1≥或a－1≤－，
即a≥1＋或a≤1－.
所以a的取值范围为
(－∞，1－]∪[1＋，＋∞)．
/[对应学生用书P51]
(时间90分钟，总分120分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)
1．已知a，b均为正实数，且a＋2b＝10，则a2＋b2的最小值为( )
A．5 B．10
C．20 D．30
解析：根据柯西不等式有
(a2＋b2)(1＋22)≥(a＋2b)2＝100.
∴a2＋b2≥20，当且仅当a＝＝2时取等号．
答案：C
2．已知x>0，y>0，且4x＋3y＝12，则xy的最大值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由4x＋3y≥2，∴≤6，∴xy≤3，故选C.
答案：C
3．函数y＝log2(x＞1)的最小值为( )
A．－3 B．3
C．4 D．－4
解析：x＞1?x－1＞0，y＝log2＝
log2≥log2(2＋6)＝log28＝3.
答案：B
4．设x1，x2，x3取不同的正整数，则m＝＋＋的最小值是( )
A．1 B．2
C． D．
解析：设a1，a2，a3是x1，x2，x3的一个排列且满足
a1＜a2＜a3.∴a1≥1，a2≥2，a3≥3，又∵1＞＞，
∴x1＋＋≥1＋＋＝当且仅当x1＝1，x2＝2，x2＝3时取等号．
答案：C
5．已知(x－1)2＋(y－2)2＝4.则3x＋4y的最大值为( )
A．1 B．10
C．11 D．21
解析：∵[(x－1)2＋(y－2)2](32＋42)≥[3(x－1)＋4(y－2)]2，
即(3x＋4y－11)2≤100.
∴3x＋4y－11≤10,3x＋4y≤21.
当且仅当＝时取等号．
答案：D
6．已知不等式(x＋y)≥a对任意正实数x，y恒成立，则实数a的最大值为( )
A．2 B．4
C． D．16
解析：因为(x＋y)≥(1＋1)2＝4，当且仅当x＝y＝1时等号成立，
因此若不等式(x＋y)≥a对任意正实数x，y恒成立，则a≤4，故应选B.
答案：B
7．已知x＋3y＋5z＝6，则x2＋y2＋z2的最小值是( )
A． B．
C． D．6
解析：由柯西不等式，得x2＋y2＋z2＝(12＋32＋52)·(x2＋y2＋z2)·≥(1×x＋3×y＋5×z)2×＝62×＝当且仅当x＝＝＝时取等号．
答案：C
8．已知3x2＋2y2≤2，则3x＋2y的取值范围是( )
A．[0，] B．[－，0]
C．[－，] D．[－5,5]
解析：|3x＋2y|≤·≤
∴－≤3x＋2y≤.
答案：C
9．设a，b，c为正数，a＋b＋4c＝1，则＋＋2的最大值是( )
A． B．
C．2 D．
解析：1＝a＋b＋4c＝()2＋()2＋(2)2
＝[()2＋()2＋(2)2]·(12＋12＋12)
≥(＋＋2)2·，
∴(＋＋2)2≤3，
即所求最大值为.
答案：B
10．若a>0，b>0，c>0，且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值为( )
A．－1 B．＋1
C．2＋2 D．2－2
解析：∵a(a＋b＋c)＋bc＝(a＋b)(a＋c)＝4－2，
且a＋b>0，a＋c>0，
∴2a＋b＋c＝(a＋b)＋(a＋c)≥2
＝2＝2＝2(－1)(当且仅当a＋b＝a＋c，即b＝c时等号成立)，
∴2a＋b＋c的最小值为2－2，故选D.
答案：D
二、填空题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分)
11．函数y＝2＋的最大值是________．
解析：y＝×＋
≤ ＝，
当且仅当x＝时取等号．
答案：
12．(湖南高考)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．
解析：由柯西不等式，得(a2＋4b2＋9c2)·(12＋12＋12)≥(a·1＋2b·1＋3c·1)2＝36，故a2＋4b2＋9c2≥12，从而a2＋4b2＋9c2的最小值为12.
答案：12
13．已知x2＋2y2＝1，则x2y4－1的最大值是________．
解析：∵x2＋2y2＝1，∴x2＋y2＋y2＝1.
又x2·y4－1＝x2·y2·y2－1，
∵x2·y2·y2≤3＝，
∴x2y4－1≤－1＝－.
即x2y4－1≤－当且仅当x2＝y2＝时取等号．
∴x2y4－1的最大值是－.
答案：－
14．函数y＝＋2的最大值是________．
解析：根据柯西不等式，知y＝1×＋2×≤ ×＝.
答案：
三、解答题(本大题共有4小题，共50分)
15．(本小题满分12分)设a，b，c∈R＋，求证：
＋＋≤.
证明：设a≥b≥c>0，则a3≥b3，
∴a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2b＋b2a＝ab(a＋b)，
同理：b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)，
∴＋＋≤＋＋
＝·＝.
16．(本小题满分12分)已知x2＋2y2＋3z2＝，求3x＋2y＋z的最小值．
解：(x2＋2y2＋3z2)
≥2＝(3x＋2y＋z)2，
∴(3x＋2y＋z)2
≤(x2＋2y2＋3z2)＝12.
∴－2≤3x＋2y＋z≤2.
当且仅当x＝－，y＝－，z＝－时3x＋2y＋z取最小值，最小值为－2.
17．(本小题满分12分)(福建高考)已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.
(1)求a的值；
(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，
求证：p2＋q2＋r2≥3.
解：(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.
(2)由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，
所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，
即p2＋q2＋r2≥3.
18．(本小题满分14分)设非负实数α1，α2，…，αn满足α1＋α2＋…＋αn＝1，求y＝＋＋…＋－n的最小值．
解：为了利用柯西不等式，注意到
(2－α1)＋(2－α2)＋…＋(2－αn)
＝2n－(α1＋α2＋…＋αn)＝2n－1，
所以(2n－1)
＝[(2－α1)＋(2－α2)＋…＋(2－αn)]·
≥
2＝n2，
所以y＋n≥，y≥－n＝.
当且仅当α1＝α2＝…＝αn＝时等号成立，从而y有最小值.
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(时间：90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)
1．已知a，b均为正实数，且a＋2b＝10，则a2＋b2的最小值为( )
A．5 B．10
C．20 D．30
2．已知x>0，y>0，且4x＋3y＝12，则xy的最大值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．函数y＝log2(x＞1)的最小值为( )
A．－3 B．3
C．4 D．－4
4．设x1，x2，x3取不同的正整数，则m＝＋＋的最小值是( )
A．1 B．2
C. D.
5．已知(x－1)2＋(y－2)2＝4.则3x＋4y的最大值为( )
A．1 B．10
C．11 D．21
6．已知不等式(x＋y)≥a对任意正实数x，y恒成立，则实数a的最大值为( )
A．2 B．4
C. D．16
7．已知x＋3y＋5z＝6，则x2＋y2＋z2的最小值是( )
A. B.
C. D．6
8．已知3x2＋2y2≤2，则3x＋2y的取值范围是( )
A．[0，] B．[－，0]
C．[－，] D．[－5,5]
9．设a，b，c为正数，a＋b＋4c＝1，则＋＋2的最大值是( )
A. B.
C．2 D.
10．若a>0，b>0，c>0，且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值为( )
A.－1 B.＋1
C．2＋2 D．2－2
二、填空题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分)
11．函数y＝2＋的最大值是________．
12．(湖南高考)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．
13．已知x2＋2y2＝1，则x2y4－1的最大值是________．
14．函数y＝＋2的最大值是________．
三、解答题(本大题共有4小题，共50分)
15．(本小题满分12分)设a，b，c∈R＋，求证：
＋＋≤.
16．(本小题满分12分)已知x2＋2y2＋3z2＝，求3x＋2y＋z的最小值．
17．(本小题满分12分)(福建高考)已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.
(1)求a的值；
(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，
求证：p2＋q2＋r2≥3.
18.(本小题满分14分)设非负实数α1，α2，…，αn满足α1＋α2＋…＋αn＝1，求y＝＋＋…＋－n的最小值．
答 案
1．选C 根据柯西不等式有
(a2＋b2)(1＋22)≥(a＋2b)2＝100.
∴a2＋b2≥20，当且仅当a＝＝2时取等号．
2．选C 由4x＋3y≥2，∴≤6，
∴xy≤3，故选C.
3．选B x＞1?x－1＞0，y＝log2＝
log2≥log2(2＋6)＝log28＝3.
4．选C 设a1，a2，a3是x1，x2，x3的一个排列且满足
a1＜a2＜a3.∴a1≥1，a2≥2，a3≥3，又∵1＞＞，
∴x1＋＋≥1＋＋＝当且仅当x1＝1，x2＝2，x2＝3时取等号．
5．选D ∵[(x－1)2＋(y－2)2](32＋42)≥[3(x－1)＋4(y－2)]2，
即(3x＋4y－11)2≤100.
∴3x＋4y－11≤10,3x＋4y≤21.
当且仅当＝时取等号．
6．选B 因为(x＋y)≥(1＋1)2＝4，当且仅当x＝y＝1时等号成立，
因此若不等式(x＋y)≥a对任意正实数x，y恒成立，则a≤4，故应选B.
7．选C 由柯西不等式，得x2＋y2＋z2＝(12＋32＋52)·(x2＋y2＋z2)·≥(1×x＋3×y＋5×z)2×＝62×＝当且仅当x＝＝＝时取等号．
8．选C |3x＋2y|≤·≤
∴－≤3x＋2y≤.
9．选B 1＝a＋b＋4c＝()2＋()2＋(2)2
＝[()2＋()2＋(2)2]·(12＋12＋12)
≥(＋＋2)2·，
∴(＋＋2)2≤3，
即所求最大值为.
10．选D ∵a(a＋b＋c)＋bc＝(a＋b)(a＋c)＝4－2，
且a＋b>0，a＋c>0，
∴2a＋b＋c＝(a＋b)＋(a＋c)≥2
＝2＝2＝2(－1)(当且仅当a＋b＝a＋c，即b＝c时等号成立)，
∴2a＋b＋c的最小值为2－2，故选D.
11．解析：y＝×＋
≤ ＝，
当且仅当x＝时取等号．
答案：
12．解析：由柯西不等式，得(a2＋4b2＋9c2)·(12＋12＋12)≥(a·1＋2b·1＋3c·1)2＝36，故a2＋4b2＋9c2≥12，从而a2＋4b2＋9c2的最小值为12.
答案：12
13．解析：∵x2＋2y2＝1，∴x2＋y2＋y2＝1.
又x2·y4－1＝x2·y2·y2－1，
∵x2·y2·y2≤3＝，
∴x2y4－1≤－1＝－.
即x2y4－1≤－当且仅当x2＝y2＝时取等号．
∴x2y4－1的最大值是－.
答案：－
14．解析：根据柯西不等式，知y＝1×＋2×≤ ×＝.
答案：
15．证明：设a≥b≥c>0，则a3≥b3，
∴a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2b＋b2a＝ab(a＋b)，
同理：b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)，
∴＋＋≤＋＋
＝·＝.
16．解：(x2＋2y2＋3z2)
≥2＝(3x＋2y＋z)2，
∴(3x＋2y＋z)2
≤(x2＋2y2＋3z2)＝12.
∴－2≤3x＋2y＋z≤2.
当且仅当x＝－，y＝－，z＝－时3x＋2y＋z取最小值，最小值为－2.
17．解：(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.
(2)由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，
所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，
即p2＋q2＋r2≥3.
18．解：为了利用柯西不等式，注意到
(2－α1)＋(2－α2)＋…＋(2－αn)
＝2n－(α1＋α2＋…＋αn)＝2n－1，
所以(2n－1)
＝[(2－α1)＋(2－α2)＋…＋(2－αn)]·
≥
2＝n2，
所以y＋n≥，y≥－n＝.
当且仅当α1＝α2＝…＝αn＝时等号成立，从而y有最小值.
