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3．1/数学归纳法原理
[读教材·填要点]
1．数学归纳法原理
对于由归纳法得到的某些与自然数有关的命题p(n)，可以用以下两个步骤来证明它的正确性：
(1)证明当n取初始值n0(例如n0＝0，n0＝1等)时命题成立；
(2)假设当n＝k(k为自然数，且k≥n0)时命题正确，证明当n＝k＋1时命题也正确．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确．
2．数学归纳法的基本过程
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[小问题·大思维]
1．在数学归纳法中，n0一定等于0吗？
提示：不一定．n0是适合命题的自然数中的最小值，有时是n0＝0或n0＝1，有时n0值也比较大，而不一定是从0开始取值．
2．数学归纳法的适用范围是什么？
提示：数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的数学命题的证明．
3．数学归纳法中的两步的作用是什么？
提示：在数学归纳法中的第一步“验证n＝n0时，命题成立”，是归纳奠基、是推理证明的基础．第二步是归纳递推，保证了推理的延续性，证明了这一步，就可以断定这个命题对于n取第一个值n0后面的所有自然数也都成立．
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用数学归纳法证明恒等式
[例1] 用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)．
[思路点拨] 本题考查数学归纳法在证明恒等式中的应用，解答本题需要注意等式的左边有2n项，右边有n项，由k到k＋1时，左边增加两项，右边增加一项，而且左、右两边的首项不同，因此由“n＝k”到“n＝k＋1”时，要注意项的合并．
[精解详析] (1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，且k∈N＋)时命题成立，即有
1－＋－＋…＋－
＝＋＋…＋.
则当n＝k＋1时，
左边＝1－＋－＋…＋－＋－
＝＋＋…＋＋－
＝＋＋…＋＋，
从而可知，当n＝k＋1时，命题亦成立．
由(1)(2)可知，命题对一切正整数n均成立．
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(1)用数学归纳法证明代数恒等式的关键有两点：一是准确表述n＝n0时命题的形式，二是准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．
(2)应用数学归纳法时的常见问题
①第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n＝0，有时需验证n＝1，n＝2.
②对n＝k＋1时式子的项数以及n＝k与n＝k＋1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障．
③“假设n＝k时命题成立，利用这一假设证明n＝k＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范．
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1．用数学归纳法证明：对任意的n∈N＋，
＋＋…＋＝.
证明：(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋且k≥1)时等式成立，
即有＋＋…＋＝，
则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋
＝
＝＝＝，
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，对一切n∈N＋等式都成立．
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用数学归纳法证明整除问题
[例2] 求证：二项式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．
[思路点拨] 本题考查数学归纳法在证明整除问题中的应用，解答本题需要设法将x2n－y2n进行分解因式得出x＋y，由于直接分解有困难，故采用数学归纳法证明．
[精解详析] (1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，
∴能被x＋y整除．
(2)假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，
x2k－y2k能被x＋y整除，
当n＝k＋1时，
即x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－x2y2k＋x2y2k－y2·y2k
＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)．
∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，
∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．
即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．
由(1)(2)可知，对任意的正整数n命题均成立．
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利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式，这就往往要涉及到“添项”与“减项”等变形技巧，例如，在本例中，对x2k＋2－y2k＋2进行拼凑，即减去x2y2k再加上x2y2k，然后重新组合，目的是拼凑出n＝k时的归纳假设，剩余部分仍能被x＋y整除．
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2．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除．
证明：(1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36，能被9整除，命题成立．
(2)假设n＝k时，命题成立，即
k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．
当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3
＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2·3＋3k·32＋33
＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋9(k2＋3k＋3)．
由归纳假设，上式中k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，又9(k2＋3k＋3)也能被9整除．
故n＝k＋1时命题也成立．
由(1)(2)可知，对任意n∈N*命题成立.
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用数学归纳法证明几何命题
[例3] 平面上有n(n≥2，且n∈N＋)条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条不过同一点，
求证：这n条直线被分成f(n)＝n2.
[思路点拨] 本题考查数学归纳法在证明几何命题中的应用，解答本题应搞清交点随n的变化而变化的规律，然后采用数学归纳法证明．
[精解详析] (1)当n＝2时，
∵符合条件的两直线被分成4段，
又f(2)＝22＝4.∴当n＝2时，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥2且k∈N＋)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线被分成f(k)＝k2段，则当n＝k＋1时，任取其中一条直线记为l，如图，剩下的k条直线为l1，l2，…，lk.由归纳假设知，它们被分为f(k)＝k2段．
由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点，所以直线l被l1，l2，l3，…，lk分为k＋1段，同时l把l1，l2，…，lk中每条直线上的某一段一分为二，其增加k段．
∴f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＋k
＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
∴当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)(2)可知，命题对一切n∈N＋且n≥2成立．
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对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳出一般变化规律，或者说体会出是怎么变化的，然后再去证明，也可以采用递推的办法．利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律．
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3．证明：凸n边形的对角线的条数f(n)＝n·(n－3)(n≥4)．
证明：(1)n＝4时，f(4)＝·4·(4－3)＝2，四边形有两条对角线，命题成立．
(2)假设n＝k时命题成立，即凸k边形的对角线的条数f(k)＝k(k－3)(k≥4)．
当n＝k＋1时，凸k＋1边形是在k边形基础上增加了一边，增加了一个顶点Ak＋1，增加的对角线条数是顶点Ak＋1与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边A1Ak，共增加的对角线条数为(k＋1－3)＋1＝k－1.
f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝(k2－k－2)
＝(k＋1)(k－2)＝(k＋1)[(k＋1)－3]．
故n＝k＋1时由(1)、(2)可知，对于n≥4，n∈N＋公式成立．
[对应学生用书P42]
一、选择题
1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到( )
A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1
B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1
C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1
D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
解析：由条件知，左边是从20,21一直到2n－1都是连续的，因此当n＝k＋1时，左边应为1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k，而右边应为2k＋1－1.
答案：D
2．用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)… ·(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)时，从“k到k＋1”左边需增乘的代数式是( )
A．2k＋1 B．
C．2(2k＋1) D．
解析：当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)… ·(k＋1＋k＋1)＝(k＋1)·(k＋2)·(k＋3)…(k＋k)·＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)·2(2k＋1)．
答案：C
3．某个命题与正整数n有关，如果当n＝k(k∈N＋)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时，命题也成立．现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得( )
A．当n＝6时该命题不成立
B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝4时该命题不成立
D．当n＝4时该命题成立
解析：与“如果当n＝k(k∈N＋)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时命题也成立”等价的命题为“如果当n＝k＋1时命题不成立，则当n＝k(k∈N＋)时，命题也不成立”．
故知当n＝5时，该命题不成立，可推得当n＝4时该命题不成立．
答案：C
4．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N＋)成立，其初始值至少应取( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，
代入验证可知n的最小值是8.
答案：B
二、填空题
5．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于________．
解析：因为f(n)＝1＋＋＋…＋，所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋.所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.
答案：＋＋
6．设平面内有n条直线(n≥2)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n>4时，f(n)＝________(用n表示)．
解析：f(2)＝0，f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．
所以f(3)－f(2)＝2，f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，…，f(n)－f(n－1)＝n－1.
累加，得f(n)－f(2)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)
＝(n－2)．
所以f(n)＝(n＋1)(n－2)．
答案：5 (n＋1)(n－2)
7．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋＝2时，若已假设n＝k(k≥2，且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立．
解析：n＝k(k≥2，且k为偶数)的下一个偶数为k＋2，根据数学归纳法的步骤可知．再证n＝k＋2.
答案：k＋2
8．用数学归纳法证明＋cos α＋cos 3α＋…＋cos(2n－1)α＝·sin α·cos α(α≠nπ，n∈N)，在验证n＝1等式成立时，左边计算所得的项是________．
解析：由等式的特点知：
当n＝1时，左边从第一项起，一直加到cos(2n－1)α，故左边计算所得的项是＋cos α.
答案：＋cos α
三、解答题
9．用数学归纳法证明：
＋＋…＋＝＋＋…＋.
证明：(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝，等式成立．
(2)假设当n＝k时，等式成立，即
＋＋…＋＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋
＝＋＋…＋＋
＝＋＋…＋＋＋
＝＋＋…＋＋＋
＝＋＋…＋＋
，
即当n＝k＋1时，等式成立．
根据(1)(2)可知，对一切n∈N＋，等式成立．
10．用数学归纳法证明对于整数n≥0，An＝11n＋2＋122n＋1能被133整除．
证明：(1)当n＝0时，A0＝112＋12＝133能被133整除．
(2)假设n＝k时，Ak＝11k＋2＋122k＋1能被133整除．
当n＝k＋1时，
Ak＋1＝11k＋3＋122k＋3＝11·11k＋2＋122·122k＋1
＝11·11k＋2＋11·122k＋1＋(122－11)·122k＋1
＝11·(11k＋2＋122k＋1)＋133·122k＋1.
∴n＝k＋1时，命题也成立．
根据(1)、(2)，对于任意整数n≥0，命题都成立．
11．将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明．
S1＝1，
S2＝2＋3＝5，
S3＝4＋5＋6＝15，
S4＝7＋8＋9＋10＝34，
S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
解：由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；
当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；
当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＋34；
当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44.
猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4，
那么，当n＝k＋1时，
S1＋S3＋S5＋…＋S2k＋1
＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]
＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)
＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1
＝(k＋1)4，
这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)，可知对于任意的n∈(N＋，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立．
课件39张PPT。第三章把握热点考向考点一理解教材新知考点二应用创新演练读教材·填要点小问题·大思维3．1数学归纳法原理考点三
