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1．1/不等式的基本性质和一元二次不等式的解法
1．1.1 不等式的基本性质
[读教材·填要点]
1．实数的大小的几何意义和代数意义之间的联系
设a，b∈R，则
①a＞b?a－b＞0；
②a＝b?a－b＝0；
③a＜b?a－b＜0.
2．不等式的基本性质
(1)对称性
a＞b?b＜a
(2)传递性
a＞b，b＞c?a＞c
(3)加(减)
a＞b?a＋c＞b＋c
(4)乘(除)
a＞b，c＞0?ac＞bc；
a＞b，c＜0?ac＜bc
(5)乘方
a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥2)
(6)开方
a＞b＞0?＞(n∈N，n≥2)
(7)加法法测
a>b，c>a?a＋c>b＋d
(8)乘法法测
a>b>0，c>d>0?ac>bd
[小问题·大思维]
1．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a，⑤＞这五个不等式中，恒成立的不等式有哪些？
提示：令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，
符合题设条件x＞y，a＞b，
则∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，
∴a－x＝b－y，因此①不成立．
又∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不正确．
又∵＝＝－1，＝＝－1，
∴＝，因此⑤不正确．
由不等式的性质可推出②④恒成立．
即恒成立的不等式有②④.
2．若a
吗？
提示：不一定．如a＝－1，b＝2.事实上，
当ab>0时，若a；
当ab<0时，若a当ab＝0时，若a
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作差法比较大小
[例1] x∈R，比较x3－1与2x2－2x的大小．
[思路点拨] 本题考查利用作差法比较两个代数式的大小．解答本题需要将作差后的代数式分解因式，然后根据各因式的符号判断x3－1与2x2－2x的大小．
[精解详析] (x3－1)－(2x2－2x)
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)
＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)
∵x2－x＋1＝2＋≥＞0，
∴当x＞1时，(x－1)(x2－x＋1)＞0.
即x3－1＞2x2－2x；
当x＝1时，(x－1)(x2－x＋1)＝0，
即x3－1＝2x2－2x.
当x＜1时，(x－1)(x2－x＋1)＜0，
即x3－1＜2x2－2x.
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(1)用作差法比较两个数(式)的大小时，要按照“三步一结论”的程序进行，即：→→→，其中变形是关键，定号是目的．
(2)在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．
(3)在定号中，若为几个因式的积，需每个因式均先定号，当符号不确定时，需进行分类讨论．
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1．当a≠0时，比较(a2＋a＋1)(a2－a＋1)与(a2＋a＋1)(a2－a＋1)的大小．
解：两式作差得
(a2＋a＋1)(a2－a＋1)－(a2＋a＋1)(a2－a＋1)
＝[(a2＋1)2－(a)2]－[(a2＋1)2－a2]＝－a2.
∵a≠0，∴－a2<0.
∴(a2＋a＋1)(a2－a＋1)<(a2＋a＋1)(a2－a＋1).
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不等式性质的简单应用
[例2] 下列命题中正确的是( )
(1)若a＞b，c＞b，则a＞c；
(2)若a＞b，则lg＞0；
(3)若a＞b，c＞d，则ac＞bd；
(4)若a＞b＞0，则<；
(5)若＞，则ad＞bc；
(6)若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c.
A．(1)(2) B．(4)(6)
C．(3)(6) D．(3)(4)(5)
[思路点拨] 本题考查对不等式的性质的理解，解答本题需要利用不等式的性质或利用特殊值逐项判断．
[精解详析] (1)错误．因为当取a＝4，b＝2，c＝6时，有a＞b，c＞b成立，但a＞c不成立．
(2)错误．因为a、b符号不确定，所以无法确定＞1是否成立，从而无法确定lg＞0是否成立．
(3)错误．此命题当a、b、c、d均为正数时才正确．
(4)正确．因为a＞b，且a、b同号，所以ab＞0，两边同乘以，得＜.
(5)错误．只有当cd＞0时，结论才成立．
(6)正确．因为c＞d，所以－d＞－c，又a＞b，
所以a－d＞b－c.
综上可知(4)(6)正确．
[答案] B
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运用不等式的性质时要注意条件，如倒数法则要求两数同号；两边同乘一个数，不等号方向是否改变要视此数的正负而定；同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．
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2．若m，n∈R，则>成立的一个充要条件是( )
A．m>0>n B．n>m>0
C．m解析：>?－>0?>0?mn(n－m)>0?mn(m－n)<0.
答案：D
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利用不等式的性质求取值范围
[例3] 已知π<α＋β<，－π<α－β<－，求2α－β的取值范围．
[思路点拨] 解答本题时，将α＋β，α－β看作整体，再求出2α－β的取值范围．
[精解详析] 设2α－β＝A(α＋β)＋B(α－β)，
则2α－β＝(A＋B)α＋(A－B)β.
比较两边系数得?
∴2α－β＝(α＋β)＋(α－β)．
∵<(α＋β)<π，
－<(α－β)<－，
∴－π<2α－β<.
故2α－β∈.
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(1)若已知某两个代数式的取值范围，求另一个代数式的取值范围时，应利用待定系数法把所求代数式用已知的两代数式表示，进而利用同向不等式的可加性求其范围，否则可能导致所求代数式范围变大．
(2)同一问题中应用同向不等式相加性质时，不能多次使用，否则可能导致范围扩大．
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3．若已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4.求f(－2)的范围．
解：法一：∵f(x)过原点，∴可设f(x)＝ax2＋bx.
∴
∴
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
∵1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4.
∴6≤f(－2)≤10.
法二：设f(x)＝ax2＋bx，
则f(1)＝a＋b，f(－1)＝a－b.
令m(a＋b)＋n(a－b)＝f(－2)＝4a－2b，
∴∴
∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)．
∵1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，
∴6≤f(－2)≤10.
[对应学生用书P3]
一、选择题
1．已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由?a>b；而当a＝c＝2，b＝d＝1时，满足但a－c>b－d不成立，所以“a>b”是“a－c>b－d”的必要而不充分条件．
答案：B
2．已知a，b，c∈R，且ab＞0，则下面推理中正确的是( )
A．a＞b?am2＞bm2 B．＞?a＞b
C．a3＞b3?＜ D．a2＞b2?a＞b
解析：对于A，若m＝0，则不成立；对于B，若c＜0，则不成立；对于C，a3－b3＞0?(a－b)(a2＋ab＋b2)＞0，
∵a2＋ab＋b2＝(a＋)2＋b2＞0恒成立，
∴a－b＞0.∴a＞b.又∵ab＞0，∴＜.∴C成立．
对于D，a2＞b2?(a－b)(a＋b)＞0，不能说a＞b.
答案：C
3．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式正确的是( )
A．b－a>0 B．a3＋b3<0
C．a2－b2<0 D．b＋a>0
解析：∵a－|b|>0，∴a>|b|>0.
∴不论b取任何实数不等式a＋b>0都成立．
答案：D
4．如果a∈R，且a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( )
A．a2＞a＞－a2＞－a B．－a＞a2＞－a2＞a
C．－a＞a2＞a＞－a2 D．a2＞－a＞a＞－a2
解析：∵a2＋a＜0，即a(a＋1)＜0，可得，－1＜a＜0，
∴－a＞a2＞0，∴0＞－a2＞a.
综上有－a＞a2＞－a2＞a.
答案：B
二、填空题
5．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)________g(x)．
解析：f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，∴f(x)＞g(x)．
答案：＞
6．已知12解析：∵12∴－24答案：(－24,45)
7．给出下列条件：①1＜a＜b；②0＜a＜b＜1；③0＜a＜1＜b.其中能推出logb＜loga＜logab成立的条件的序号是________．(填所有可能的条件的序号)
解析：∵logb＝－1，
若1＜a＜b，则＜＜1＜b，
∴loga＜loga＝－1，故条件①不可以；
若0＜a＜b＜1，则b＜1＜＜.
∴logab＞loga＞loga＝－1＝logb，
故条件②可以；
若0＜a＜1＜b，则0＜＜1，
∴loga＞0，
logab＜0，条件③不可以．故应填②.
答案：②
8．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x>y，则实数a，b满足的条件是________________．
解析：∵x>y，∴a2b2＋5－2ab＋a2＋4a
＝a2＋4a＋4＋a2b2－2ab＋1
＝(a＋2)2＋(ab－1)2>0.
∴ab≠1或a≠－2.
答案：ab≠1或a≠－2.
三、解答题
9．已知－≤α<β≤，求，的范围．
解：∵－≤α<β≤，
∴－≤＜，
－＜≤.
因而两式相加得－＜<.
又∵－＜≤，∴－≤－＜.
∴－≤<.
又∵α＜β，∴＜0.∴－≤＜0.
即∈，∈.
10．已知a，b∈{正实数}且a≠b，比较＋与a＋b的大小．
解：∵－(a＋b)＝－b＋－a
＝＋＝(a2－b2)
＝，
＝，
又∵a>0，b>0，且a≠b，
∴(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0，
∴＋>a＋b.
11．已知α，β满足试求α＋3β的取值范围．
解：设α＋3β＝λ(α＋β)＋u(α＋2β)
＝(λ＋u)α＋(λ＋2u)β.
比较α，β的系数，得?
由题意得－1≤－α－β≤1,2≤2α＋4β≤6，
两式相加，得1≤α＋3β≤7.
故α＋3β的取值范围是[1,7]．
课件35张PPT。第一章把握热点考向考点一理解教材新知考点二应用创新演练1.1
不等式的基本性质和一元二次不等式的解法读教材·填要点小问题·大思维1.1.1
不等式的基本性质考点三