1．1.2 一元一次不等式和一元二次不等式的解法
[读教材·填要点]
1．一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2．二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2
＋bx＋c
(a>0)
的图象
/
/
/
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
x1，x2
x0＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0
(a>0)的解集
{x|x>x2或x
R
ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集
{x|x1?
?
[小问题·大思维]
1．“若ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集是空集，则a、b、c满足的关系是b2－4ac<0且a>0”是否正确？
提示：当Δ＝0时，易知ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集也是?，从而满足的条件应为“a>0且b2－4ac≤0”．
2．当a<0时，若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根α，β且α<β，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是什么？
提示：借助函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，不等式的解集为{x|α3．一元二次不等式与二次函数有什么关系？
提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合．
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可化为一元二次不等式的分式不等式的解法
[例1] 不等式<0的解集为( )
A．{x|1B．{x|x<2且x≠1}
C．{x|－1D．{x|x<－1或1[思路点拨] 根据不等式性质把<0转化为ab<0，再求解．
[精解详析] 因为不等式<0，
等价于(x＋1)(x－1)(x－2)<0，
所以该不等式的解集是{x|x<－1或1[答案] D
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解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为整式不等式(组)求解．即≥0??f(x)·g(x)＞0或f(x)＝0.
＞0?或?f(x)·g(x)＞0.
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1．解不等式：≤2.
解：∵≤2，∴－2≤0.即≤0.
∴≥0.∴∴x<2或x≥5.
即原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}.
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含参数的一元二次不等式的解法
[例2] 解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0.
[思路点拨] 由于a∈R，故分a＝0，a>0，a<0讨论．
[精解详析] 若a＝0，原不等式可化为－x＋1<0，
即x>1.
若a<0，原不等式可化为(x－1)>0，
即x<或x>1.
若a>0，原不等式可化为(x－1)<0 (*)
其解的情况应由与1的大小关系决定，故
(1)当a＝1时，由(*)式可得x∈?；
(2)当a>1时，由(*)式可得(3)当0综上所述：当a<0时，解集为；
当a＝0时，解集为{x|x>1}；
当0当a＝1时，解集为?；
当a>1时，解集为.
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解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式Δ>0，Δ＝0，Δ<0；第三层次是根的大小的讨论．
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2．若k∈R，求解关于x的不等式：<.
解：不等式<可化为<0，即(x－2)(x－1)(x－k)>0.
当k<1时，x∈(k,1)∪(2，＋∞)；
当k＝1时，x∈(2，＋∞)；
当1当k≥2时，x∈(1,2)∪(k，＋∞).
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一元二次不等式的实际应用
[例3] 国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策，现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元(叫做税率R%)，则每年的销售将减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元，问R应怎样确定？
[思路点拨] 由题意求出在此项经营中所收附加税金，建立不等关系转化为不等式问题求解．
[精解详析] 设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，
从中征收的税金为70x·R%万元，其中x＝100－10R，
由题意得70(100－10R)R%≥112，
整理，得R2－10R＋16≤0.
∵Δ＝36＞0，方程R2－10R＋16＝0的两个实数根为x1＝2，x2＝8.
然后画出二次函数y＝R2－10R＋16的图象，由图象得不等式的解集为{R|2≤R≤8}．
答：当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元．
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解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，即分析题目中有哪些未知量，然后选择其中起关键作用的未知量，设此未知量为x，用x来表示其他未知量，再根据题目中的不等关系列不等式．
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3．据调查，湖南某地区有100万从事传统农业的农民，人均年收入3 000元．为了增加农民的收入，当地政府积极引资建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作．据估计，如果有x(x>0)万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民人均年收入为3 000a元(a>0为常数)．
(1)在建立加工企业后，要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入，求x的取值范围；
(2)在(1)的条件下，当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作，才能使这100万农民的人均年收入达到最大？
解：(1)根据题意，得
(100－x)·3 000·(1＋2x%)≥100×3 000，
即x2－50x≤0，解得0≤x≤50.
又x>0，故x的取值范围是(0,50]．
(2)设这100万农民的人均年收入为y元，则
y＝
＝
＝－[x－25(a＋1)]2＋3 000＋375(a＋1)2
(0①若0<25(a＋1)≤50，即0则当x＝25(a＋1)时，y取最大值；
②若25(a＋1)>50，即a>1，
则当x＝50时，y取最大值．
答：当01时，安排50万人进入加工企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大．
[对应学生用书P6]
一、选择题
1．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－2x－3≤0}，则?UM＝( )
A．{x|－1≤x≤3} B．{x|－3≤x≤1}
C．{x|x<－3或x>1} D．{x|x<－1或x>3}
解析：因为M＝{x|－1≤x≤3}，全集U＝R，
所以?UM＝{x|x<－1或x>3}．
答案：D
2．关于x的不等式x2－ax－20a2<0任意两个解的差不超过9，则a的最大值与最小值的和是( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
解析：方程x2－ax－20a2＝0的两根是x1＝－4a，x2＝5a，由关于x的不等式x2－ax－20a2<0任意两个解的差不超过9，得|x1－x2|＝|9a|≤9，
即－1≤a≤1.
答案：C
3．不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2/
解析：由题意得
解得a＝－1，c＝－2，
则函数y＝f(－x)＝－x2＋x＋2.
答案：C
4．已知a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为( )
A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1,3)
解析：把不等式的左端看成关于a的一次函数，
记f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，
则f(a)>0对于任意的a∈[－1,1]恒成立，
有f(－1)＝x2－5x＋6>0，①
且f(1)＝x2－3x＋2>0，②
联立①②解得x<1或x>3.故选C.
答案：C
二、填空题
5．若不等式－x2＋2x－m>0在x∈[－1,0]上恒成立，则m的取值范围是________．
解析：由m<－x2＋2x知m只需小于u＝－x2＋2x，x∈[－1,0]的最小值即可．
又∵u在[－1,0]上递增，
∴umin＝－1－2＝－3.
∴m<－3.
答案：(－∞，－3)
6．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0(k≠0)的解，则k的取值范围是______________．
解析：由题意知，k2－6k＋8≥0，
即(k－2)(k－4)≥0，
∴k≥4或k≤2，又∵k≠0，
∴k的取值范围是(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)．
答案：(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)
7．若不等式2x－1>m(x2－1)对满足－2≤m≤2的所有m都成立，则x的取值范围为________________．
解析：(等价转化法)将原不等式化为：
m(x2－1)－(2x－1)<0.
令f(m)＝m(x2－1)－(2x－1)，
则原问题转化为当－2≤m≤2时，f(m)<0恒成立，
只需即可，即
解得答案：
8．已知方程x2＋(2m－3)x＋m2－15＝0的两个根一个大于－2，一个小于－2，则实数m的取值范围为________．
解析：设函数f(x)＝x2＋(2m－3)x＋m2－15，
则由题意：
即
∴－1＜m＜5.
答案：(－1,5)
三、解答题
9．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R?
解：(1)由题意知1－a<0，
且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，
∴解得a＝3.
∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，
即为2x2－x－3>0，
解得x<－1或x>.
∴所求不等式的解集为.
(2)ax2＋bx＋3≥0，即为3x2＋bx＋3≥0.
若此不等式解集为R，则b2－4×3×3≤0，
∴－6≤b≤6.
10．一个服装厂生产风衣，日销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p＝160－2x，生产x件的成本R＝500＋30x元．
(1)该厂日产量多大时，日利润不少于1 300元？
(2)当日产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？
解：(1)由题意知，日利润y＝px－R，
即y＝(160－2x)x－(500＋30x)
＝－2x2＋130x－500，
由日利润不少于1 300元，
得－2x2＋130x－500≥1 300，
即x2－65x＋900≤0，解得20≤x≤45.
故当该厂日产量在20～45件时，日利润不少于1 300元．
(2)由(1)得，y＝－2x2＋130x－500
＝－22＋，
由题意知，x为正整数．
故当x＝32或33时，y最大为1 612.
所以当日产量为32或33件时，可获得最大利润，最大利润为1 612元．
11．已知二次函数f(x)＝ax2＋x，若对任意x1，x2∈R，恒有2f≤f(x1)＋f(x2)成立，不等式f(x)<0的解集为A.
(1)求集合A；
(2)设集合B＝{x||x＋4|解：(1)对任意的x1，x2∈R，
f(x1)＋f(x2)－2f＝a(x1－x2)2≥0，要使上式恒成立，所以a≥0.
由f(x)＝ax2＋x是二次函数知a≠0，故a>0.
由f(x)＝ax2＋x＝ax<0，
解得A＝.
(2)解得B＝(－a－4，a－4)，因为集合B是集合A的子集，所以a－4≤0，且－a－4≥－.
解得0即a的取值范围是(0，－2＋]．
课件36张PPT。第一章把握热点考向考点一理解教材新知考点二应用创新演练1.1
不等式的基本性质和一元二次不等式的解法读教材·填要点小问题·大思维1．1.2 一元一次不等式和一元二次不等式的解法考点三