第二课时 基本计数原理的应用
/
组 数 问 题
[例1] (1)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取三个不同数字组成三位数，则三位数的个数为
( )
A．120 B．80
C．90 D．100
(2)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)
[思路点拨] (1)分三步，即分百位、十位、个位；(2)此题可利用间接法，即先求出不受限制条件的个数，再减去不符合要求的个数即得解．
[精解详析] (1)分三步：第一步，取1个数字排在百位上，不能取0，有5种方法；第二步，从余下的五个数字中取1个作十位，有5种方法；第三步，从余下的4个数字中取1个作个位，有4种方法．根据分步乘法计数原理，共有5×5×4＝100种方法，即得100个三位数．
(2)若不考虑数字2,3至少都出现一次的限制，则个位、十位、百位、千位每个“位置”都有两种选择，所以共有24＝16个四位数，然后再减去“2222,3333”这两个数，故共有16－2＝14个满足要求的四位数．
[答案] (1)D (2)14
[一点通]
对于组数问题的计数，一般按特殊位置由谁占领分类，每类中再分步来计数．当分类较多时，可先求出总个数，再减去不符合条件的数的个数．
/
1．由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为( )
A．15 B．12
C．10 D．5
解析：分三类，第一类组成一位整数，偶数有1个；第二类组成两位整数，其中偶数有2个；第三类组成3位整数，其中偶数有2个．由分类加法计数原理知共有偶数5个．
答案：D
2．由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数中，且能被5整除的数共有________个．
解析：能被5整除的数个位为5或0，若个位为0，千位有5种排法，百位有4种排法，十位有3种排法，共有5×4×3＝60个；若个位为5，千位有4种排法，百位有4种排法，十位有3种排法，共有4×4×3＝48个．故能被5整除的且没有重复数字的四位数共有60＋48＝108个．
答案：108
/
种植与涂色问题
[例2] 如图所示，要给三、维、设、计四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法？
[思路点拨] 从“三”或“计”区域开始涂色，分四步完成．
[精解详析] 三、维、设、计四个区域依次涂色，分四步完成．
第一步，涂三区域，有3种选择；
第二步，涂维区域，有2种选择；
第三步，涂设区域，由于它与三、维区域颜色不同，有1种选择；
第四步，涂计区域，由于它与维、设区域颜色不同，有1种选择．
所以根据分步乘法计数原理，得到不同的涂色方法共有3×2×1×1＝6种．
[一点通]
涂色(种植)问题的一般思路：①为便于分析问题，先给区域(种植品种)标上相应序号；②按涂色(种植)的顺序分步或按颜色(种植品种)恰当选取情况分类；③选择适当的计数原理求解．
/
3．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有( )
A．24种 B．18种
C．12种 D．6种
解析：法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2＝6种不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18种．
法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4×3×2＝24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有不同的种植方法24－6＝18种．
答案：B
操
场
宿舍区
餐
厅
教学区
4.如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，则有________种不同的着色方法．
解析：法一：操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×4＝480种着色方法．
法二：分两类：第一类，操场与教学区用同一种颜色，有6×5×4＝120种着色方法；第二类，操场与教学区不同色，有6×5×4×3＝360种着色方法．根据分类加法计数原理，共有120＋360＝480种不同的着色方法．
答案：480
/
两个计数原理的综合应用
[例3] (10分)有一项活动，需在3名老师、8名男同学和5名女同学中选部分人员参加．
(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？
(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？
(3)若需一名老师、一名同学参加，有多少种不同选法？
[思路点拨] 第(1)问属于分类问题，用分类加法计数原理；第(2)问属于分步问题，用分步乘法计数原理；第(3)问是综合类问题，需先分类再分步．
[精解详析] (1)有三类：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．
由分类加法计数原理知，有3＋8＋5＝16种选法．
(2)分三步：第一步选老师，有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法．由分步乘法计数原理，共有3×8×5＝120种选法．
(3)可分两类，每一类又分两步．
第一类，选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24种选法；
第二类，选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝15种选法．
由分类加法计数原理，共有24＋15＝39种选法．
[一点通]
应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的关键是分清“分类”与“分步”．使用分类加法计数原理时必须做到不重不漏，各类中的每一种方法都能独立完成；使用分步乘法计数原理时，分步必须做到每步均是完成事件必须的、缺一不可的步骤．
/
5．a，b，c，d排成一行，其中a不排第一、b不排第二、c不排第三、d不排第四的不同排法有( )
A．9种 B．18种
C．23种 D．24种
解析：依题意，符合要求的排法可分为三类，即第一个可排b，c，d中的一个．把第一个排b的不同排法逐一列出如下：
b
a
d
c
b
c
d
a
b
d
a
c
共3种不同的排法．
同理可得，第一个排c，d各有3种不同的排法，故符合题意的不同排法共有9种．
答案：A
6．有红、黄、蓝旗各3面，每次升一面、二面或三面在旗杆上纵向排列表示不同的信号，顺序不同则表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？
解：每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号．根据分类加法计数原理，共可组成3＋9＋27＝39种不同的信号．
/
1．使用两个原理解题的本质：
→→
→→
2．利用两个计数原理解决实际问题的常用方法：
/
1．由0,1,2三个数字组成的三位数(允许数字重复)的个数为( )
A．27 B．18
C．12 D．6
解析：分三步，分别取个位、十位、百位上的数字，分别有3种、3种、2种取法，故共可得3×3×2＝18个不同的三位数．
答案：B
2．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有( )
A．4种 B．5种
C．6种 D．12种
解析：若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法．
答案：C
3．某市汽车牌照号码(由4个数字和1个字母组成)可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)．某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码所有可能的情况有( )
A．180种 B．360种
C．720种 D．960种
解析：分五步完成，第i步取第i个号码(i＝1,2,3,4,5)．由分步乘法计数原理，可得车牌号码共有5×3×4×4×4＝960种．
答案：D
4．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A．40 B．16
C．13 D．10
解析：分两类：第1类，直线a与直线b上8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b与直线a上5个点可以确定5个不同的平面．故可以确定8＋5＝13个不同的平面．
答案：C
5．如图，从A→C有________种不同的走法．
/
解析：分为两类，不过B点有2种方法，过B点有2×2＝4种方法，共有4＋2＝6种方法．
答案：6
6．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄．为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有________种．(用数字作答)
解析：分两步：第一步，先选垄，如图，共有6种选法.
/
第二步，种植A，B两种作物，有2种选法．
因此，由分步乘法计数原理知，不同的选垄种植方法有6×2＝12种．
答案：12
7．由数字1,2,3,4.
(1)可组成多少个三位数？
(2)可组成多少个没有重复数字的三位数？
(3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字？
解：(1)百位数字共有4种选法；十位数字共有4种选法；个位数字共有4种选法．根据分步乘法计数原理，共可组成43＝64个三位数．
(2)百位数字共有4种选法；十位数字共有3种选法；个位数字共有2种选法．由分步乘法计数原理知，共可组成4×3×2＝24个没有重复数字的三位数．
(3)组成的三位数分别是432,431,421,321，共4个.
8．把一个圆分成3个扇形，现在用5种不同的颜色给3个扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问
(1)有多少种不同的涂法？
(2)若分割成4个扇形呢？
解：(1)不同的涂色方法是5×4×3＝60种．
(2)如图所示，分别用a，b，c，d记这四个扇形．先考虑给a，c涂色，分两类：第一类给a，c涂同种颜色，共5种涂法；再给b涂色，有4种涂法；最后给d涂色，也有4种涂法．由分步乘法计数原理知，此时共有5×4×4种涂法．
第二类给a，c涂不同颜色，共有5×4种涂法；再给b涂色，有3种方法；最后给d涂色，也有3种方法．此时共有5×4×3×3种涂法．由分类加法计数原理知，共有5×4×4＋5×4×3×3＝260种涂法．
课件21张PPT。第一章把握热点考向考点一考点二应用创新演练1.1
基本计数原理第二课时
基本计数原理的应用考点三应用创新演练见课时跟踪训练(二)课时跟踪训练(二) 基本计数原理的应用
1．由0,1,2三个数字组成的三位数(允许数字重复)的个数为( )
A．27 B．18
C．12 D．6
2．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有( )
A．4种 B．5种
C．6种 D．12种
3．某市汽车牌照号码(由4个数字和1个字母组成)可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)．某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码所有可能的情况有( )
A．180种 B．360种
C．720种 D．960种
4．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A．40 B．16
C．13 D．10
5．如图，从A→C有________种不同的走法．
6．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄．为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有________种．(用数字作答)
7．由数字1,2,3,4.
(1)可组成多少个三位数？
(2)可组成多少个没有重复数字的三位数？
(3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字？
8．把一个圆分成3个扇形，现在用5种不同的颜色给3个扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问
(1)有多少种不同的涂法？
(2)若分割成4个扇形呢？
答 案
1．选B 分三步，分别取个位、十位、百位上的数字，分别有3种、3种、2种取法，故共可得3×3×2＝18个不同的三位数．
2．选C 若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法．
3．选D 分五步完成，第i步取第i个号码(i＝1,2,3,4,5)．由分步乘法计数原理，可得车牌号码共有5×3×4×4×4＝960种．
4．选C 分两类：第1类，直线a与直线b上8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b与直线a上5个点可以确定5个不同的平面．故可以确定8＋5＝13个不同的平面．
5．解析：分为两类，不过B点有2种方法，过B点有2×2＝4种方法，共有4＋2＝6种方法．
答案：6
6．解析：分两步：第一步，先选垄，如图，共有6种选法.
第二步，种植A，B两种作物，有2种选法．
因此，由分步乘法计数原理知，不同的选垄种植方法有6×2＝12种．
答案：12
7．解：(1)百位数字共有4种选法；十位数字共有4种选法；个位数字共有4种选法．根据分步乘法计数原理，共可组成43＝64个三位数．
(2)百位数字共有4种选法；十位数字共有3种选法；个位数字共有2种选法．由分步乘法计数原理知，共可组成4×3×2＝24个没有重复数字的三位数．
(3)组成的三位数分别是432,431,421,321，共4个.
8．解：(1)不同的涂色方法是5×4×3＝60种．
(2)如图所示，分别用a，b，c，d记这四个扇形．先考虑给a，c涂色，分两类：第一类给a，c涂同种颜色，共5种涂法；再给b涂色，有4种涂法；最后给d涂色，也有4种涂法．由分步乘法计数原理知，此时共有5×4×4种涂法．
第二类给a，c涂不同颜色，共有5×4种涂法；再给b涂色，有3种方法；最后给d涂色，也有3种方法．此时共有5×4×3×3种涂法．由分类加法计数原理知，共有5×4×4＋5×4×3×3＝260种涂法．
