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_1.1/基本计数原理
第一课时 基本计数原理
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分类加法计数原理
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2014年6月，第20届世界杯足球赛在巴西召开，这是国际体坛的一大盛事．一名志愿者从里约热内卢赶赴圣保罗为游客提供导游服务，每天有7个航班，6列火车．
问题1：该志愿者从里约热内卢到圣保罗的方案可分几类？
提示：两类，即乘飞机、坐火车．
问题2：这几类方案中各有几种方法？
提示：第一类方案(乘飞机)有7种方法，第二类方案(坐火车)有6种方法．
问题3：该志愿者从里约热内卢到圣保罗共有多少种不同的方法？
提示：共有7＋6＝13种不同的方法．
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做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.
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分步乘法计数原理
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2014年6月，第20届世界杯足球赛在巴西召开，这是国际体坛的一大盛事．一名志愿者从里约热内卢赶赴库里奇巴为游客提供导游服务，但需在圣保罗停留，已知从里约热内卢到圣保罗每天有7个航班，从圣保罗到库里奇巴每天有6列火车．
问题1：该志愿者从里约热内卢到库里奇巴需要经历几个步骤？
提示：两个，即先乘飞机到圣保罗，再坐火车到库里奇巴．
问题2：完成每一步各有几种方法？
提示：第一个步骤有7种方法，第二个有6种方法．
问题3：该志愿者从里约热内卢到库里奇巴共有多少种不同的方法？
提示：共有7×6＝42种不同方法．
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做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
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两个基本原理的区别：前者——分类加法计数原理每次得到的是最后结果；后者——分步乘法计数原理每次得到的是中间结果.
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
区别一
每类方案中的每种方法都能独立完成这件事
每一步完成的只是其中的一个环节，只有各步骤都完成了才能完成这件事
区别二
各类办法之间是互斥的、并列的、独立的
各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏
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分类加法计数原理
[例1] 若x，y∈N＋，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数．
[思路点拨] 解答本题可按x(或y)的取值分类解决．
[精解详析] 按x的取值进行分类：
x＝1时，y＝1,2,3,4,5，共构成5个有序自然数对；
x＝2时，y＝1,2,3,4，共构成4个有序自然数对；
x＝3时，y＝1,2,3，共构成3个有序自然数对；
x＝4时，y＝1,2，共构成2个有序自然数对；
x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．
根据分类加法计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对．
[一点通]
利用分类加法计数原理时要注意：
(1)要准确理解题意，确定分类的标准．
(2)分类时要做到“不重不漏”，即类与类之间要保证相互间的独立性．
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1．一项工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成．从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是( )
A．8 B．15
C．16 D．30
解析：第一类：会第1种方法的选1人，有3种选法；第二类：会第2种方法的选1人，有5种选法，共有5＋3＝8种选法．
答案：A
2．若x，y∈N＋，且x，y所满足的不等式组为试求满足条件的点M(x，y)共有多少个？
解：结合图像可知
当x＝1时，y取1,2；
当x＝2时，y取1,2,3,4；
当x＝3时，y取1,2,3；
当x＝4时，y取1,2；
当x＝5时，y取1，共有2＋4＋3＋2＋1＝12(个)．
3．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
解：法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成八类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个．
法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个．所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36个．
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分步乘法计数原理
[例2] 张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余的钱分为两部分，其中一部分用来定期储蓄，另一部分用来购买国债．人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可以从一年期、二年期和三年期中选择一种．问：张涛共有多少种不同的理财方式？
[思路点拨] 张涛要完成人民币定期储蓄和购买国债这两项投资，他的理财目标才算完成，所以用分步乘法计数原理解决．
[精解详析] 由题意知，张涛要完成理财目标应分步完成．
第一步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方式；
第二步，用另一部分钱购买国债，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种理财方式．
由分步乘法计数原理，知张涛共有2×3＝6种不同的理财方式．
[一点通]
利用分步乘法计数原理时要注意：
(1)仔细审题，抓住关键点确立分步标准，有特殊要求的先行安排；
(2)分步要保证各步之间的连续性和相对独立性．
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4．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )
A．7 B．12
C．64 D．81
解析：要完成配套需分两步，第一步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同的配法．
答案：B
5．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有( )
A．30个 B．42个
C．36个 D．35个
解析：第一步取数b，有6种方法；第二步取数a，也有6种方法．根据分步乘法计数原理，共有6×6＝36种方法．
答案：C
6．火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有多少种？
解：以“乘客”来考虑：10名乘客下车可看作10步，每人下车有5种方式，根据分步乘法计数原理，10名乘客不同的下车方式有510种.
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两个计数原理的初步应用
[例3] (10分)有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑．从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有多少种？
[思路点拨] 从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，首先将问题分类，可分为四类，然后每一类再分步完成．即解答本题可“先分类，后分步”．
[精解详析] 第一类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作电脑，有2×2＝4种方法；
第二类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人操作电脑，有2种方法；
第三类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作电脑只有1种方法；
第四类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法．
根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法．
[一点通]
在处理比较复杂的有关两个原理的综合题目时，要挖掘条件，先分类，后分步．分类要全，分步要精，确保解题的条理性，化繁为简是此类问题的解题精要所在．
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7．李芳有4件不同颜色的衬衣、3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．“五一”劳动节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳不同的选择穿衣服的方式有( )
A．24种 B．14种
C．10种 D．9种
解析：不选连衣裙有4×3＝12种方法，选连衣裙有2种．共有12＋2＝14种．
答案：B
8．从1,2,3,5,7,9六个数中任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的对数值的个数为________．
解析：分两类：第一类取1,1只能为真数，此时对数的值为0；
第二类，不取1，分两步．
第一步，取底数，有5种方法；
第二步，取真数，有4种方法．
根据分步乘法计数原理，有5×4个对数值．
根据分类加法计数原理，可得不同的对数值有
1＋5×4＝21个．
答案：21
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用两个计数原理解决计数问题时，分清是分类还是分步：
(1)分类要做到“不重不漏”．分类过程中，自始至终要按同一标准，最忌采用双重或多重标准分类，会出现重漏现象．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”——完成了所有步骤，恰好完成了任务且步与步之间不能“重叠”．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
(3)分类问题中类与类是独立的，分步问题中步与步是连续的，用分类加法计数原理、分步乘法计数原理计数，必须确保类的独立、步的连续．
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1．从甲地到乙地一天有汽车8班、火车3班、轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的方法种数为( )
A．13 B．16
C．24 D．48
解析：根据分类加法计数原理，不同方法的种数为8＋3＋2＝13.
答案：A
2．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为( )
A．182 B．14
C．48 D．91
解析：由分步乘法计数原理，得不同取法的种数为6×8＝48.
答案：C
3．某人有3个不同的电子邮箱，他要发5封电子邮件，发送的方法的种数为( )
A．8种 B．15种
C．243种 D．125种
解析：每个电子邮件都有3种不同的发送方法，根据分步乘法计数原理，共有3×3×3×3×3＝35＝243(种)．
答案：C
4．设集合A中有5个元素，集合B中有2个元素，建立A→B的映射，共可建立( )
A．10个 B．20个
C．25个 D．32个
解析：根据映射的定义知，集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应．A中每个元素的像均有两种选择，由分步乘法计数原理知，共可建立25个映射．
答案：D
5．如图，在由电键组A与B所组成的并联电路中，要接通电源，使电灯发光的方法种数是________．
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解析：在电键组A中有2个电键，电键组B中有3个电键，应用分类加法计数原理，共有2＋3＝5种接通电源使电灯发光的方法．
答案：5
6．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有________种．(用数字作答)
解析：分为两类完成，两名老队员、一名新队员时，有3种选法；两名新队员、一名老队员时，有2×3＝6种选法，即共有9种不同选法．
答案：9
7．有不同的红球8个，不同的白球7个．
(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？
(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？
解：(1)由分类加法计数原理得，
从中任取一个球共有8＋7＝15种取法．
(2)由分步乘法计数原理得，
从中任取两个不同颜色的球共有8×7＝56种取法．
8．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，问：
(1)点P可表示平面上多少个不同的点？
(2)点P可表示平面上多少个第二象限内的点？
解：(1)确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第一步确定a的值，有6种不同方法；第二步确定b的值，也有6种不同方法．根据分步乘法计数原理，得到平面上点P的个数为6×6＝36.
(2)确定平面上第二象限内的点P，可分两步完成：第一步确定a的值，由于a＜0，所以有3种不同方法；第二步确定b的值，由于b＞0，所以有2种不同方法．根据分步乘法计数原理，得到平面上第二象限内的点P的个数为3×2＝6.
课件30张PPT。第一章把握热点考向考点一理解教材新知考点二应用创新演练1.1
基本计数原理知识点一知识点二第一课时
基本计数原理考点三应用创新演练见课时跟踪训练(一)课时跟踪训练(一) 基本计数原理
1．从甲地到乙地一天有汽车8班、火车3班、轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的方法种数为( )
A．13 B．16
C．24 D．48
2．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为( )
A．182 B．14
C．48 D．91
3．某人有3个不同的电子邮箱，他要发5封电子邮件，发送的方法的种数为( )
A．8种 B．15种
C．243种 D．125种
4．设集合A中有5个元素，集合B中有2个元素，建立A→B的映射，共可建立( )
A．10个 B．20个
C．25个 D．32个
5．如图，在由电键组A与B所组成的并联电路中，要接通电源，使电灯发光的方法种数是________．
6．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有________种．(用数字作答)
7．有不同的红球8个，不同的白球7个．
(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？
(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？
8．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，问：
(1)点P可表示平面上多少个不同的点？
(2)点P可表示平面上多少个第二象限内的点？
答 案
1．选A 根据分类加法计数原理，不同方法的种数为8＋3＋2＝13.
2．选C 由分步乘法计数原理，得不同取法的种数为6×8＝48.
3．选C 每个电子邮件都有3种不同的发送方法，根据分步乘法计数原理，共有3×3×3×3×3＝35＝243(种)．
4．选D 根据映射的定义知，集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应．A中每个元素的像均有两种选择，由分步乘法计数原理知，共可建立25个映射．
5．解析：在电键组A中有2个电键，电键组B中有3个电键，应用分类加法计数原理，共有2＋3＝5种接通电源使电灯发光的方法．
答案：5
6．解析：分为两类完成，两名老队员、一名新队员时，有3种选法；两名新队员、一名老队员时，有2×3＝6种选法，即共有9种不同选法．
答案：9
7．解：(1)由分类加法计数原理得，
从中任取一个球共有8＋7＝15种取法．
(2)由分步乘法计数原理得，
从中任取两个不同颜色的球共有8×7＝56种取法．
8．解：(1)确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第一步确定a的值，有6种不同方法；第二步确定b的值，也有6种不同方法．根据分步乘法计数原理，得到平面上点P的个数为6×6＝36.
(2)确定平面上第二象限内的点P，可分两步完成：第一步确定a的值，由于a＜0，所以有3种不同方法；第二步确定b的值，由于b＞0，所以有2种不同方法．根据分步乘法计数原理，得到平面上第二象限内的点P的个数为3×2＝6.
