_1.2/排列与组合
1．2.1 排 列
/
排列的定义
/
1．在学校奖学金发放仪式上，校长和两位获得特等奖学金的男女同学合影留念．师生三人站成一排，校长站在中间．
/
问题1：男生在左边和女生在左边是相同的排法吗？
提示：不是．
问题2：有几种排法？
提示：2种，男—师—女，女—师—男．
2．从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动．
问题3：安排这项活动需分几步？分别是什么？
提示：分两步，第一步确定上午的同学，第二步确定下午的同学．
问题4：有几种排法？
提示：上午有3种，下午有2种，因此共有3×2＝6种排法．
问题5：甲乙和乙甲是相同的排法吗？
提示：不是．甲乙是甲上午、乙下午；乙甲是乙上午、甲下午．
/
1．一般地，从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2．两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.
/
排列数及排列数公式
/
两个同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进行组数字游戏．
/
问题1：从这4个数字中选出2个能构成多少个无重复数字的两位数？
提示：4×3＝12个．
问题2：从这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？
提示：4×3×2＝24个．
问题3：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，共有多少种不同的排法？
提示：n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)种．
/
排列数定义及表示
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示
排列数公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
阶乘式A＝(n，m∈N＋，m≤n)
特殊情况
A＝n！，A＝1,0！＝1
/
1．对于排列定义的理解：
(1)排列的定义包括两个方面：一是从n个不同的元素中取出元素；二是按一定顺序排列．
(2)两个排列相同的条件：①元素相同；②元素的排列顺序相同．
2．排列与排列数的区别：
“排列”是指从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数，而是具体的一件事．
“排列数”是指从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．符号A只表示排列数．
/
第一课时 排列与排列数公式
/
排列的有关概念
[例1] 判断下列问题是否为排列问题．
(1)选2个小组分别去植树和种菜；
(2)选2个小组种菜；
(3)选10人组成一个学习小组；
(4)从1,2,3,4,5中任取两个数相除；
(5)10个车站，站与站间的车票．
[思路点拨] 解决本题的关键是要明确排列的定义，看选出的元素在安排时是否与顺序有关，若有关，则是排列问题，否则就不是．
[精解详析] (1)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，是排列问题．
(2)(3)不存在顺序问题，不是排列问题．
(4)两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题．
(5)车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题．
[一点通]
判断是不是排列问题，要抓住排列的本质特征：
(1)取出的元素无重复
(2)取出的元素必须按顺序排列．元素有序还是无序是判断是否是排列问题的关键．
/
1．下列叙述正确的是( )
A．排列和排列数是同一个概念
B．排列和排列数有时是同一个概念
C．排列与排列数没有关系
D．排列数是对排列在“数”的角度的反应
答案：D
2．判断下列问题是否为排列问题．
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票价格(假设来回的票价相同)；
(2)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(3)某班40名学生在假期相互通信．
解：(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(3)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题.
/
用列举法解决排列问题
[例2] 写出下列问题的所有排列：
(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
(2)由1,2,3,4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出．
[思路点拨] (1)直接列举数字；
(2)先画出树形图，再结合图形写出．
[精解详析] (1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．
(2)画出树形图，如图所示．
/
由上面的树形图知，所有的四位数为：
1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3124,3142,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321，共24个四位数．
[一点通]
在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列．
/
3．A，B，C三名同学照相留念，呈“一”字形排队，所有排列的方法种数为( )
A．3 B．4
C．6 D．12
解析：列举如下：A—B—C，A—C—B，B—A—C，B—C—A，C—A—B，C—B—A.
答案：C
4．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有( )
A．6种 B．9种
C．11种 D．23种
解析：法一：设四张贺卡分别为A，B，C，D.由题意知，某人(不妨设为A卡的供卡人)取卡的情况有3种，据此将卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次取卡分步进行．
用树状图表示，如图．
/
共有9种不同的分配方式．
法二：让A，B，C，D四人依次拿一张别人送出的贺年卡，则可以分三步：第一步，A先拿，有3种不同的方法；第二步，让被A拿走的那张贺年卡的主人拿，共有3种不同的取法；第三、四步，剩下的两个人都各有1种取法．由分步乘法计数原理知，四张贺年卡不同的分配方式有3×3×1×1＝9种．
答案：B
/
排列数的计算问题
[例3] (10分)(1)89×90×91×…×100可表示为( )
A．A B．A
C．A D．A
(2)计算；
(3)解方程3A＝4A.
[思路点拨] 直接应用排列数公式即可．
[精解详析] (1)选C A＝100×99×…×(100－12＋1)＝100×99×…×89.
(2)＝
＝＝.
(3)由3A＝4A得＝.
∴＝.
化简得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.
∵x≤8，且x－1≤9，
∴原方程的解是x＝6.
[一点通]
1．计算排列数或解含有排列数的方程或不等式时，要注意先提取公因式化简，然后计算．这样做往往会减少运算量．
2．连续正整数(因式)的乘积可以写成某个排列数A，其中最大的数是排列元素的总个数n，而因式的个数是取出的元素个数m.
/
5．5A＋4A＝( )
A．107 B．323
C．320 D．348
解析：原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.
答案：D
6．下列各式中与排列数A相等的是( )
A.
B．n(n－1)(n－2)…(n－m)
C.A
D．A·A
解析：∵A＝，
A·A＝n
＝n＝，
∴A＝A·A.
答案：D
7．已知A＝30，则x等于________．
解析：A＝x(x－1)＝30，解得x1＝6，x2＝－5(舍去)．
答案：6
/
1．判断一个问题是否是排列的思路：
排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关．这就说，在判断一个问题是否是排列时，可以考查所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题．
2．关于排列数的两个公式：
(1)排列数的第一个公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，连乘积的特点是：第一个因数是n，后面每一个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数相乘．
(2)排列数的第二个公式A＝适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n，m∈N＋，m≤n”的运用．
/
1．4·5·6·…·(n－1)·n等于( )
A．A B．A
C．n！－4! D．A
解析：原式可写成n·(n－1)·…·6·5·4，故选D.
答案：D
2．已知下列问题：
①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组；
②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；
③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母；
④从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数．
其中是排列问题的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：①是排列问题，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关；②不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列．
答案：B
3．已知A－A＝10，则n的值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：由A－A＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.
答案：B
4．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是( )
A．8 B．12
C．16 D．24
解析：设车站数为n，则A＝132，n(n－1)＝132，解得
n＝12(n＝－11舍去)．
答案：B
5．满足不等式>12的n的最小值为________．
解析：由排列数公式得>12，即(n－5)(n－6)>12，解得n>9或n<2.又n≥7，所以n>9，
所以n的最小值为10.
答案：10
6．集合P＝{x|x＝A，m∈N＋}，则集合P中共有________个元素．
解析：因为m∈N＋，且m≤4，所以P中的元素为A＝4，A＝12，A＝A＝24，即集合P中有3个元素．
答案：3
7．解下列方程或不等式．
(1)A＝140A；(2)A＜6A.
解：(1)∵∴x≥3，由A＝140A得(2x＋1)2x(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2)，化简得4x2－35x＋69＝0，
解得x1＝3或x2＝(舍)，∴方程的解为x＝3.
(2)原不等式可化为＜6×，
化简得x2－19x＋84＜0，
∴7＜x＜12，
又∴3≤x≤8，
∴x＝8，∴原不等式的解集为{8}．
8．写出下列问题的所有排列．
(1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排；
(2)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长．
解：(1)四名同学站成一排，共有A＝24个不同的排列，它们是：
甲乙丙丁，甲丙乙丁，甲丁乙丙，甲乙丁丙，甲丙丁乙，甲丁丙乙；
乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲；
丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙丁甲乙，丙丁乙甲；
丁甲乙丙，丁甲丙乙，丁乙甲丙，丁乙丙甲，丁丙甲乙，丁丙乙甲．
(2)从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有A＝20种选法，形成的排列是：
12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54.
课件29张PPT。第一章把握热点考向考点一理解教材新知考点二应用创新演练1.2
排列与组合知识点一知识点二第一课时
排列与排列数公式考点三1.2.1
排列应用创新演练见课时跟踪训练(三)课时跟踪训练(三) 排列与排列数公式
1．4·5·6·…·(n－1)·n等于( )
A．A B．A
C．n！－4! D．A
2．已知下列问题：
①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组；
②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；
③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母；
④从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数．
其中是排列问题的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．已知A－A＝10，则n的值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
4．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是( )
A．8 B．12
C．16 D．24
5．满足不等式>12的n的最小值为________．
6．集合P＝{x|x＝A，m∈N＋}，则集合P中共有________个元素．
7．解下列方程或不等式．
(1)A＝140A；(2)A＜6A.
8．写出下列问题的所有排列．
(1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排；
(2)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长．
答 案
1．选D 原式可写成n·(n－1)·…·6·5·4，故选D.
2．选B ①是排列问题，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关；②不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列．
3．选B 由A－A＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.
4．选B 设车站数为n，则A＝132，n(n－1)＝132，解得
n＝12(n＝－11舍去)．
5．解析：由排列数公式得>12，即(n－5)(n－6)>12，解得n>9或n<2.又n≥7，所以n>9，
所以n的最小值为10.
答案：10
6．解析：因为m∈N＋，且m≤4，所以P中的元素为A＝4，A＝12，A＝A＝24，即集合P中有3个元素．
答案：3
7．解：(1)∵∴x≥3，由A＝140A得(2x＋1)2x(2x－1)·(2x－2)＝140x(x－1)(x－2)，化简得4x2－35x＋69＝0，
解得x1＝3或x2＝(舍)，∴方程的解为x＝3.
(2)原不等式可化为＜6×，
化简得x2－19x＋84＜0，
∴7＜x＜12，
又∴3≤x≤8，
∴x＝8，∴原不等式的解集为{8}．
8．解：(1)四名同学站成一排，共有A＝24个不同的排列，它们是：
甲乙丙丁，甲丙乙丁，甲丁乙丙，甲乙丁丙，甲丙丁乙，甲丁丙乙；
乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲；
丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙丁甲乙，丙丁乙甲；
丁甲乙丙，丁甲丙乙，丁乙甲丙，丁乙丙甲，丁丙甲乙，丁丙乙甲．
(2)从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有A＝20种选法，形成的排列是：
12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54.
