第二课时 组合的综合应用
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有限制条件的组合问题
[例1] 现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查．
(1)恰有一件是次品的抽法有多少种？
(2)至少有一件是次品的抽法有多少种？
[思路点拨] 分清“恰有”“至少”的含义，正确地分类或分步．
[精解详析] (1)从2件次品中任取1件，有C种抽法．
从8件正品中取2件，有C种抽法．
由分步乘法计数原理可知，不同的抽法共有C×C＝56种．
(2)法一：含1件次品的抽法有C×C种，
含2件次品的抽法有C×C种．
由分类加法计数原理知，不同的抽法共有
C×C＋C×C＝56＋8＝64种．
法二：从10件产品中任取3件的抽法有C种，
不含次品的抽法有C种，
所以至少有1件次品的抽法为C－C＝64种．
[一点通]
解答有限制条件的组合问题的基本方法：
(1)直接法：优先选取特殊元素，再选取其他元素．
(2)间接法：正面情况分类较多时，从反面入手，正难则反．
解题时要注意分清“恰有”“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准．
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1．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为( )
A．9 B．14
C．12 D．15
解析：法一：(直接法)分两类，第一类张、王两同学都不参加，有C种选法；第二类张、王两同学中只有1人参加，有CC种选法．故共有C＋CC＝9种选法．
法二：(间接法)C－C＝9种．
答案：A
2．在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，有2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？
解：分四类求解：
①从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2＝6种选法；
②从3名只会下象棋的的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2＝6种选法；
③从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，有2×2＝4种选法；
④从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，剩下的1名参加围棋比赛，有2×1＝2种选法．根据分类加法计数原理，一共有6＋6＋4＋2＝18种不同的选法.
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与几何有关的组合问题
[例2] 平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？
[思路点拨] 解答本题可以从共线的4个点中选取2个、1个、0个作为分类标准，也可以从反面考虑，任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数．
[精解详析] 法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准．
第一类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有CC＝48个不同的三角形；
第二类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有CC＝112个不同的三角形；
第三类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C＝56个不同的三角形．
由分类加法计数原理知，不同的三角形共有
48＋112＋56＝216个．
法二(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C＝4种．
故这12个点构成三角形的个数为C－C＝216个．
[一点通]
1．解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理．
2．图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法．
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3．以正方体的顶点为顶点的四面体的个数为________．
解析：正方体的8个顶点可构成C个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面和正方体相对棱分别所在6个平面的四个顶点，故可以确定的四面体有C－12＝58个．
答案：58
4．正六边形的顶点和中心共7个点，可组成________个三角形．
解析：不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为C－3＝32.
答案：32
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排列与组合的综合应用问题
[例3] (10分)有6名男医生、4名女医生，从中选3名男医生、2名女医生到5个不同的地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，则共有多少种不同的分派方案？
[思路点拨] 男医生甲是特殊元素，地区A是特殊位置，因此可分类解决．
[精解详析] 分两类：
第一类，甲被选中，共有CCCA种分派方案；
第二类，甲不被选中，共有CCA种分派方案．
根据分类加法计数原理，共有
CCCA＋CCA＝5 760＋7 200＝12 960种分派方案．
[一点通]
本题是一道“既选又排”的排列、组合综合题，解决这类问题的方法是“先选后排”，同时要注意特殊元素、特殊位置优先安排的原则．
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5．从0,1,2,3,4,5这六个数中每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有( )
A．40个 B．120个
C．360个 D．720个
解析：先选取3个不同的数，有C种方法；然后把其中最大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有A种排法，故共有CA＝40个三位数．
答案：A
6．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( )
A．360 B．520
C．600 D．720
解析：若甲、乙同时参加，可以先从剩余的5人中选出2人，先排此两人，再将甲、乙两人插入其中即可，则共有CAA种不同的发言顺序；若甲、乙两人只有一人参加，则共有CCA种不同的发言顺序．综上可得不同的发言顺序为CAA＋CCA＝600种．
答案：C
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解有限制条件的排列组合应用题的基本方法：
(1)直接法：用直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”、“特殊位置优先安排”的原则．
(2)间接法：选择间接法的原则是正难则反，也就是若正面问题的分类较多、较复杂或计算量较大时，不妨从反面问题入手，特别是涉及“至多”、“至少”等问题时更是如此．此时，正确理解“都不是”、“不都是”、“至多”、“至少”等词语的确切含义是解决这些问题的关键．
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1．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各数位之和为偶数的共有( )
A．36个 B．24个 C．18个 D．6个
解析：若各位数字之和为偶数，则只能两奇一偶，故有CCA＝36个．
答案：A
2．将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
解析：先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有CC＝12种安排方案．
答案：A
3．甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )
A．150种 B．180种 C．300种 D．345种
解析：若这名女同学是甲组的，选法有CCC；若这名女同学是乙组的，则选法有CCC；
故符合条件的选法共有CCC＋CCC＝345种．
答案：D
4．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )
A．10种 B．15种 C．20种 D．30种
解析：分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局、输1局，第4局赢)，共有2C＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局、输2局，第5局赢)，共有2C＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20种．
答案：C
5．直角坐标系xOy平面上，平行于x轴和平行于y轴的直线各有6条，则由这12条直线组成的图形中，矩形共有________个．
解析：从6条水平直线和6条竖直直线中各取2条，每一种取法对应一个矩形，因此矩形共有CC＝225个．
答案：225
6．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运会志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________种．
解析：(间接法)共有C－C＝34种不同的选法．
答案：34
7．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，在下列条件下，各有多少种分法？
(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；
(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；
(3)甲、乙、丙各得3本．
解：(1)分三步完成：
第一步，从9本不同的书中任取4本分给甲，有C种分法；
第二步，从余下的5本书中任取3本给乙，有C种分法；
第三步，把剩下的书给丙，有C种分法，所以共有不同的分法C·C·C＝1 260种．
(2)分两步完成：
第一步，按4本、3本、2本分成三组，有C·C·C种分法；
第二步，将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A种分法，所以共有C·C·C·A＝7 560种分法．
(3)用与(1)相同的方法求解，有C·C·C＝1 680种分法．
8．从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数．试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)上述七位数中三个偶数排在一起的有多少个？
(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有多少个？
(4)(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有多少个？
解：(1)分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有C种情况；第二步在5个奇数中取4个，可有C种情况；第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有A种情况，所以符合题意的七位数有C·C·A＝100 800个．
(2)上述七位数中，三个偶数排在一起的有C·C·A·A＝14 400个．
(3)(1)中的七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C·C·A·A·A＝5 760个．
(4)(1)中的七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，共有C·C·A·A＝28 800个．
课件19张PPT。第一章把握热点考向考点一考点二应用创新演练1.2
排列与组合第二课时
组合的综合应用考点三1.2.2
组合应用创新演练见课时跟踪训练(六)课时跟踪训练(六) 组合的综合应用
1．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各数位之和为偶数的共有( )
A．36个 B．24个 C．18个 D．6个
2．将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
3．甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )
A．150种 B．180种 C．300种 D．345种
4．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )
A．10种 B．15种 C．20种 D．30种
5．直角坐标系xOy平面上，平行于x轴和平行于y轴的直线各有6条，则由这12条直线组成的图形中，矩形共有________个．
6．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运会志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________种．
7．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，在下列条件下，各有多少种分法？
(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；
(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；
(3)甲、乙、丙各得3本．
8．从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数．试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)上述七位数中三个偶数排在一起的有多少个？
(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有多少个？
(4)(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有多少个？
答 案
1．选A 若各位数字之和为偶数，则只能两奇一偶，故有CCA＝36个．
2．选A 先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有CC＝12种安排方案．
3．选D 若这名女同学是甲组的，选法有CCC；若这名女同学是乙组的，则选法有CCC；
故符合条件的选法共有CCC＋CCC＝345种．
4．选C 分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局、输1局，第4局赢)，共有2C＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局、输2局，第5局赢)，共有2C＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20种．
5．解析：从6条水平直线和6条竖直直线中各取2条，每一种取法对应一个矩形，因此矩形共有CC＝225个．
答案：225
6．解析：(间接法)共有C－C＝34种不同的选法．
答案：34
7．解：(1)分三步完成：
第一步，从9本不同的书中任取4本分给甲，有C种分法；
第二步，从余下的5本书中任取3本给乙，有C种分法；
第三步，把剩下的书给丙，有C种分法，所以共有不同的分法C·C·C＝1 260种．
(2)分两步完成：
第一步，按4本、3本、2本分成三组，有C·C·C种分法；
第二步，将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A种分法，所以共有C·C·C·A＝7 560种分法．
(3)用与(1)相同的方法求解，有C·C·C＝1 680种分法．
8．解：(1)分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有C种情况；第二步在5个奇数中取4个，可有C种情况；第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有A种情况，所以符合题意的七位数有C·C·A＝100 800个．
(2)上述七位数中，三个偶数排在一起的有C·C·A·A＝14 400个．
(3)(1)中的七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C·C·A·A·A＝5 760个．
(4)(1)中的七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，共有C·C·A·A＝28 800个．
