1．2.2 组 合
组合与组合数
从1,3,5,7中任取两个数相除或相乘．
问题1：所得商和积的个数相同吗？
提示：不相同．
问题2：它们是排列吗？
提示：从1,3,5,7中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列．
1．组合
(1)一般地，从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合．
(2)如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同组合．
2．组合数
从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号C表示.
组合数公式
从1,3,5,7中任取两个数相除．
问题1：可以得到多少个不同的商？
提示：A＝4×3＝12个．
问题2：如何用分步法求商的个数？
提示：第一步，从这四个数中任取两个数，有C种方法；第二步，将每个组合中的两个数排列，有A种排法．由分步乘法计数原理，可得商的个数为CA.
问题3：你能得出计算C的公式吗？
提示：能．因为A＝CA，所以C＝.
问题4：试用列举法求从1,3,5,7中任取两个元素的组合数．
提示：1、3,1、5,1、7,3、5,3、7,5、7，共6种．
问题5：你能把问题3的结论推广到一般吗？
提示：可以，从n个不同元素中取出m个元素的排列数可由以下两个步骤得到：
第一步，从这n个不同元素中取出m个元素，共有C种不同的取法；
第二步，将取出的m个元素全排列，共有A种不同的排法．
由分步乘法计数原理知，A＝C·A，故C＝.
组合数公式
组合数
公式
乘积形式C＝＝
阶乘形式C＝
性质
C＝；C＝
备注
①n，m∈N＋，m≤n；②规定C＝1.C＝1
1．组合的定义
定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”．“合成一组”表示与元素的顺序无关．
2．相同的组合
根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，就是相同的组合．
第一课时 组合与组合数公式及组合数的两个性质
组合的有关概念
[例1] 判断下列各事件是排列问题还是组合问题：
(1) 10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？
(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？
(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？
(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？
[思路点拨] 要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．
[精解详析] (1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．
(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的．
(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．
(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的．
[一点通]
要区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．
1．求从2,3,4,5四个数中任取2个数作为对数式logab的底数与真数，得到的对数的个数有多少，是________问题；若把两个数相乘得到的积有几种，则是________问题．(用“排列”“组合”填空)
解析：从2,3,4,5四个数中任取2个数作为对数式logab的底数与真数，交换a，b的位置后所得对数值不同，应为排列问题；取两个数相乘，如2×3与3×2的积是相等的，没有顺序，故为组合问题．
答案：排列 组合
2．判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？
(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？
(3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？
(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？
解：(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．
(2)因为甲站到乙站的车票与乙站到甲站的车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．
(3)因为分工方法是从5种不同的工作中选出3种，按一定顺序分给3个人去干，故是排列问题．
(4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题.
有关组合数的计算与证明
[例2] (1)计算：C－C·A；
(2)证明：mC＝nC；
(3)已知－＝，求C＋C.
[思路点拨] (1)(2)运用公式进行化简即可，(3)先求出m的值，再进行计算．
[精解详析] (1)原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0.
(2)证明：mC＝m·＝
＝n·＝nC.
(3)∵－＝－，
＝，
∴－
＝，
∴1－＝，
即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或21.
而0≤m≤5，∴m＝2.
∴C＋C＝C＋C＝C＝84.
[一点通]
1．组合数公式C＝
体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到．
2．组合数公式C＝的主要作用：一是计算m，n较大时的组合数；二是对含有字母的组合数的式子进行变形和证明．另外，当m>时，计算C可用性质C＝C转化，减少运算量．
3．C－C·A＝________.
解析：原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0.
答案：0
4．若A＝12C，则n＝________.
解析：∵A＝n(n－1)·(n－2)，C＝n(n－1)，
∴n(n－1)(n－2)＝6n(n－1)．
又n∈N＋，且n≥3，∴n＝8.
答案：8
5．解不等式－＜.
解：n的取值范围是{n|n≥5，n∈N＋}．
∵－＜，
∴－
＜.
又∵n(n－1)(n－2)＞0.
∴原不等式化简得n2－11n－12＜0，
解得－1＜n＜12.
结合n的取值范围，得n＝5,6,7,8,9,10,11，
∴原不等式的解集为{5,6,7,8,9,10,11}.
简单的组合问题
[例3] (10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必需参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加；
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
[思路点拨] 本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确分析和判断．
[精解详析] (1)从中任取5人是组合问题，共有C＝792种不同的选法．
(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C＝36种不同的选法．
(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C＝126种不同的选法．
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C种选法．共有CC＝378种不同的选法．
[一点通]
解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．
6．设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A的含有3个元素的子集共有________个．
解析：从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的含有3个元素的子集，则共有C＝10个．
答案：10
7．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
解：(1)从10名教师中选出2名去参加会议的选法数就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即
C＝＝45种．
(2)从6名男教师中选2名，有C种选法，从4名女教师中选2名，有C种选法．根据分步乘法计数原理可知，共有不同的选法CC＝90种．
1．排列与组合的异同：
排列
组合
相同点
从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素
不同点
按一定顺序排成一列
不管顺序合成一组
2.排列问题和组合问题的区分方法：
排列
若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关
组合
若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关
1．从7人中选出3人参加座谈会，则不同的选法有( )
A．210种 B．42种
C．35种 D．6种
解析：参加座谈会与顺序无关，是组合问题，共有C＝35种不同的选法．
答案：C
2．若A＝6C，则m的值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：由A＝6×C得＝6·，
即＝，解得m＝7.
答案：B
3．某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是( )
A．CC B．CC
C．C D．AA
解析：按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有CC种抽法．
答案：B
4．异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是( )
A．20 B．9
C．C D．CC＋CC
解析：分两类：第一类，在直线a上任取一点，与直线b可确定C个平面；第二类，在直线b上任取一点，与直线a可确定C个平面．故可确定C＋C＝9个不同的平面．
答案：B
5．若C＝C，则C＝________.
解析：∵C＝C，∴13＝n－7，∴n＝20.
∴C＝C＝190.
答案：190
6．10个人分成甲、乙两组，甲组4人、乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)
解析：先给甲组选4人，有C种选法，余下的6人为乙组，故共有C＝210种选法．
答案：210
7．某科技小组有女同学2名、男同学x名，现从中选出3人去参观展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，求该科技小组中男生的人数．
解：由题意得C·C＝20.
解得x＝5.
故该科技小组有5名男生．
8．要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？
(1)甲当选且乙不当选；
(2)至多有3男当选．
解：(1)甲当选且乙不当选，只需从余下的8人中任选4人，有C＝70种选法．
(2)至多有3男当选时，应分三类：
第一类是3男2女，有CC种选法；
第二类是2男3女，有CC种选法；
第三类是1男4女，有CC种选法．
由分类加法计数原理知，共有CC＋CC＋CC＝186种选法．
课件26张PPT。第一章把握热点考向考点一理解教材新知考点二应用创新演练1.2
排列与组合知识点一知识点二第
一
课
时
组合与组合数公式及组合数的两个性质考点三1.2.2
组合应用创新演练见课时跟踪训练(五)课时跟踪训练(五) 组合与组合数公式及组合数的两个性质
1．从7人中选出3人参加座谈会，则不同的选法有( )
A．210种 B．42种
C．35种 D．6种
2．若A＝6C，则m的值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
3．某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是( )
A．CC B．CC
C．C D．AA
4．异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是( )
A．20 B．9
C．C D．CC＋CC
5．若C＝C，则C＝________.
6．10个人分成甲、乙两组，甲组4人、乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)
7．某科技小组有女同学2名、男同学x名，现从中选出3人去参观展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，求该科技小组中男生的人数．
8．要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？
(1)甲当选且乙不当选；
(2)至多有3男当选．
答 案
1．选C 参加座谈会与顺序无关，是组合问题，共有C＝35种不同的选法．
2．选B 由A＝6×C得＝6·，
即＝，解得m＝7.
3．选B 按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有CC种抽法．
4．选B 分两类：第一类，在直线a上任取一点，与直线b可确定C个平面；第二类，在直线b上任取一点，与直线a可确定C个平面．故可确定C＋C＝9个不同的平面．
5．解析：∵C＝C，∴13＝n－7，∴n＝20.
∴C＝C＝190.
答案：190
6．解析：先给甲组选4人，有C种选法，余下的6人为乙组，故共有C＝210种选法．
答案：210
7．解：由题意得C·C＝20.
解得x＝5.
故该科技小组有5名男生．
8．解：(1)甲当选且乙不当选，只需从余下的8人中任选4人，有C＝70种选法．
(2)至多有3男当选时，应分三类：
第一类是3男2女，有CC种选法；
第二类是2男3女，有CC种选法；
第三类是1男4女，有CC种选法．
由分类加法计数原理知，共有CC＋CC＋CC＝186种选法．
