1.3/二项式定理
1．3.1 二项式定理
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问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3、(a＋b)4的展开式．
提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.
问题2：上述两个等式的右侧有何特点？
提示：(a＋b)3的展开式有4项，每一项的次数是3；(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数为4.
问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？
提示：(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式的乘法法则知，从每个(a＋b)中选a或选b相乘即得展开式中的一项．若都选a，则得Ca4b0；若有一个选b，其余三个选a，则得Ca3b；若有两个选b，其余两个选a，则得Ca2b2；若都选b，则得Ca0b4.
问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N＋)的展开式吗？
提示：能，(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Cbn.
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1．二项式定理
公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋)所表示的规律叫做二项式定理．
2．相关概念
(1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式．
(2)各项的系数C(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数．
(3)展开式中的Can－rbr叫做二项展开式的通项，记作：Tr＋1，它表示展开式的第r＋1项．
(4)在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxr＋…＋Cxn./
展开式具有以下特点：
(1)项数：共有n＋1项；
(2)二项式系数：依次为C，C，C，…，C，…，C；
(3)每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂、b的升幂排列展开；
(4)通项Tr＋1＝Can－rbr是第r＋1项，而不是第r项．
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二项式定理的正用、逆用
[例1] (1)用二项式定理展开5.
(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)rC(x＋1)n－r＋…＋(－1)nC.
[思路点拨] (1)二项式的指数为5，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．
[精解详析] (1)5＝C(2x)5＋C(2x)4·＋…＋C5
＝32x5－120x2＋－＋－.
(2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－r(－1)r＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
[一点通]
1．(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：
(1)各项的次数等于n；
(2)字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
2．逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．
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1．求4的展开式．
解：法一：4＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·2＋C(3)3＋C4
＝81x2＋108x＋54＋＋.
法二：4＝
＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)
＝81x2＋108x＋54＋＋.
2．求C＋9C＋92C＋93C＋94C的值．
解：原式＝(92C＋93C＋94C＋95C＋96C)
＝(C＋91C＋92C＋93C＋94C＋95C＋96C)－(C＋91C)
＝(1＋9)6－(1＋6×9)＝(106－55)＝12 345.
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求二项展开式中的特定项或其系数
[例2] (1)(江西高考)5展开式中的常数项为( )
A．80 B．－80
C．40 D．－40
(2)(浙江高考)设二项式6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．
[思路点拨] 求特定项或特定项的系数，可以先写出二项展开式的通项，求出相应的r值后再代入通项求特定项或其系数．
[精解详析] (1)设展开式的通项为Tr＋1＝C·r·(x2)5－r＝(－2)rCx10－5r，所以当10－5r＝0，即r＝2时，Tr＋1为常数．即Tr＋1＝(－2)2C＝40.故选C.
(2)由题意得
Tr＋1＝Cx6－rr＝(－a)rCx，
∴A＝(－a)2C，B＝(－a)4C.
又∵B＝4A，
∴(－a)4C＝4(－a)2C，解之得a2＝4.
又∵a>0，∴a＝2.
[答案] (1)C (2)2
[一点通]
求二项展开式中的特定项要注意以下几点：
(1)求二项展开式中的特定项是二项展开式的通项的应用；
(2)二项展开式的通项是指Tr＋1＝Can－rbr，如T5＝T4＋1＝Can－4b4，代入时不要代错值；
(3)常数项是指不含字母的项；
(4)有理项是指字母指数为整数的项．
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3．(四川高考)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )
A．30 B．20
C．15 D．10
解析：只需求(1＋x)6的展开式中含x2项的系数即可，而含x2项的系数为C＝15，故选C.
答案：C
4．在20的展开式中，系数是有理数的项共有( )
A．4项 B．5项
C．6项 D．7项
解析：Tr＋1＝C(x)20－rr
＝r·()20－rC·x20－r.
∵系数为有理数，∴()r与2均为有理数，
∴r能被2整除，且20－r能被3整除．
故r为偶数，20－r是3的倍数，0≤r≤20，
∴r＝2,8,14,20.
答案：A
5．在8的展开式中，求：
(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；
(2)展开式的倒数第3项．
解：法一：利用二项式的展开式解决．
(1)8＝(2x2)8－C(2x2)7·＋C(2x2)6·2－C(2x2)5·3＋C(2x2)4·4－C(2x2)3·5＋C(2x2)2·6－C2x2·7＋C8，
则第5项的二项式系数为C＝70，第5项的系数为C·24＝1 120.
(2)由(1)中8的展开式可知倒数第3项为C·(2x2)2·6＝112x2.
法二：利用二项展开式的通项公式解决．
(1)T5＝C·(2x2)8－4·4＝C·24·x，则第5项的二项式系数是C＝70，第5项的系数是C·24＝1 120.
(2)展开式中的倒数第3项即为第7项，T7＝C·(2x2)8－6·6＝112x2.
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1．求展开式的特定项的关键是抓住其通项，求解时，先准确写出通项，再把系数和字母分离开来(注意符号)，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式求解即可．
2．C(r＝0,1,2，…，n)是二项式系数，它与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数C一定为正，而项的系数与a，b的系数有关，正、负不能确定．
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1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是( )
A．2n B．2n＋1
C．2n－1 D．2(n＋1)
解析：根据二项式定理可知，展开式共有2n＋1项．
答案：B
2.6的展开式中x2的系数为( )
A．－240 B．240
C．－60 D．60
解析：二项展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)6－r·r＝(－1)r26－r·Cx6－2r，当6－2r＝2时，r＝2，所以二项展开式中x2的系数为(－1)2×24×C＝240.
答案：B
3．在n(n∈N＋)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是( )
A．3 B．5
C．8 D．10
解析：Tr＋1＝C(2x3)n－rr＝2n－r·Cx3n－5r.
令3n－5r＝0，
∵0≤r≤n，∴n的最小值为5.
答案：B
4．(安徽高考)(x2＋2)5的展开式的常数项是( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：5的展开式的通项为Tr＋1＝C5－r·(－1)r，r＝0,1,2,3,4,5.
当因式(x2＋2)提供x2时，则取r＝4；
当因式(x2＋2)提供2时，则取r＝5.
所以(x2＋2)5的展开式的常数项是5－2＝3.
答案：D
5．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是________．
解析：由得
解得答案：
6．230＋3除以7的余数是____________．
解析：因为230＋3＝(23)10＋3＝810＋3＝(7＋1)10＋3
＝C·710＋C·79＋…＋C·7＋C＋3
＝7×(C·79＋C·78＋…＋C)＋4，
所以230＋3除以7的余数为4.
答案：4
7．已知m，n∈N＋，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．
解：由题设知m＋n＝19.
又m，n∈N＋，
∴1≤m≤18.
x2的系数为C＋C＝(m2－m)＋(n2－n)＝m2－19m＋171.
∴当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，此时x7的系数为C＋C＝156.
8．已知在n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
解：(1)Tr＋1＝C·()n－r·r
＝r·C·x.
∵第6项为常数项，
∴r＝5时，＝0，∴n＝10.
(2)令＝2，得r＝(n－6)＝2，
∴所求的系数为C2＝.
(3)根据通项公式，由题意得
令＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，
即r＝＝5－k.
∵0≤r≤10且r∈Z，∴k应为偶数，∴k可取2,0，－2.
∴r＝2,5,8，∴第3项、第6项与第9项为有理项．
它们分别为C·2·x2，C5，C·8·x－2，
即 x2，－，.
课件20张PPT。第一章把握热点考向考点一理解教材新知考点二应用创新演练1.3
二项式定理1.3.1
二
项
式
定
理应用创新演练见课时跟踪训练(七)课时跟踪训练(七) 二项式定理
1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是( )
A．2n B．2n＋1
C．2n－1 D．2(n＋1)
2.6的展开式中x2的系数为( )
A．－240 B．240
C．－60 D．60
3．在n(n∈N＋)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是( )
A．3 B．5
C．8 D．10
4．(安徽高考)(x2＋2)5的展开式的常数项是( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
5．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是________．
6．230＋3除以7的余数是____________．
7．已知m，n∈N＋，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．
8．已知在n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
答 案
1．选B 根据二项式定理可知，展开式共有2n＋1项．
2．选B 二项展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)6－r·r＝(－1)r26－r·Cx6－2r，当6－2r＝2时，r＝2，所以二项展开式中x2的系数为(－1)2×24×C＝240.
3．选B Tr＋1＝C(2x3)n－rr＝2n－r·Cx3n－5r.
令3n－5r＝0，
∵0≤r≤n，∴n的最小值为5.
4．选D 5的展开式的通项为Tr＋1＝C5－r·(－1)r，r＝0,1,2,3,4,5.
当因式(x2＋2)提供x2时，则取r＝4；
当因式(x2＋2)提供2时，则取r＝5.
所以(x2＋2)5的展开式的常数项是5－2＝3.
5．解析：由得解得答案：
6．解析：因为230＋3＝(23)10＋3＝810＋3＝(7＋1)10＋3
＝C·710＋C·79＋…＋C·7＋C＋3
＝7×(C·79＋C·78＋…＋C)＋4，
所以230＋3除以7的余数为4.
答案：4
7．解：由题设知m＋n＝19.
又m，n∈N＋，
∴1≤m≤18.
x2的系数为C＋C＝(m2－m)＋(n2－n)＝m2－19m＋171.
∴当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，此时x7的系数为C＋C＝156.
8．解：(1)Tr＋1＝C·()n－r·r
＝r·C·x.
∵第6项为常数项，
∴r＝5时，＝0，∴n＝10.
(2)令＝2，得r＝(n－6)＝2，
∴所求的系数为C2＝.
(3)根据通项公式，由题意得
令＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，
即r＝＝5－k.
∵0≤r≤10且r∈Z，∴k应为偶数，∴k可取2,0，－2.
∴r＝2,5,8，∴第3项、第6项与第9项为有理项．
它们分别为C·2·x2，C5，C·8·x－2，
即 x2，－，.
