知识整合与阶段检测
/[对应学生用书P18]
1．分类和分步计数原理
(1)两个原理的共同之处是研究做一件事，完成它共有的方法种数，而它们的主要差异是“分类”与“分步”．
(2)分类加法计数原理的特点：类与类相互独立，每类方案中的每一种方法均可独立完成这件事(可类比物理中的“并联电路”来理解)．
(3)分步乘法计数原理的特点：步与步相互依存，且只有所有的步骤均完成了(每步必不可少)，这件事才算完成(可类比物理中的“串联电路”来理解)．
2．解决排列组合应用题的原则
解决排列组合应用题的原则有特殊优先的原则、先取后排的原则、正难则反的原则、相邻问题“捆绑”处理的原则、不相邻问题“插空”处理的原则．
(1)特殊优先的原则：这是解有限制条件的排列组合问题的基本原则之一，对有限制条件的元素和有限制条件的位置一定要优先考虑．
(2)正难则反的原则：对于一些情况较多、直接求解非常困难的问题，我们可以从它的反面考虑，即利用我们平常所说的间接法求解．
(3)相邻问题“捆绑”处理的原则：对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来看成一个元素与其他元素排列，然后将相邻元素进行排列．
(4)不相邻问题“插空”处理的原则：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在这些排好的元素之间及两端插入．
(5)先取后排的原则：对于较复杂的排列组合问题，常采用“先取后排”的原则，即先取出符合条件的元素，再按要求进行排列．
3．二项式定理及其应用
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn，其中各项的系数C(k＝0,1,2，…，n)称为二项式系数，第r＋1项Can－rbr称为通项．
(2)二项式系数的性质：
①对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，体现了组合数性质C＝C.
②当n为偶数时，展开式中间一项T的二项式系数Cn最大；当n为奇数时，展开式中间两项T与T的二项式系数Cn, Cn相等且最大．
③各项的二项式系数之和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n；
奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即
C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋….
(3)二项式定理的应用主要有以下几个方面：
①利用通项公式求二项展开式的特定项或特定项的系数；
②利用二项展开式的性质求二项式系数或各项系数的和；
③利用化归思想转化为与二项式定理相关的问题．
/
(时间：90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)
1．若C＝28，则m等于( )
A．9 B．8
C．7 D．6
解析：C＝＝28(m>2，且m∈N＋)，解得m＝8.
答案：B
2．编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有( )
A．60种 B．20种
C．10种 D．8种
解析：四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入3盏亮灯，即C＝10.
答案：C
3．关于(a－b)10的说法，错误的是( )
A．展开式中的二项式系数之和为1 024
B．展开式中第6项的二项式系数最大
C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
解析：由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210＝1 024，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的．
答案：C
4．(辽宁高考)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
A．3×3! B．3×(3！)3
C．(3！)4 D．9!
解析：利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为
A(A)3＝(3！)4.
答案：C
5．5个人排队，其中甲、乙、丙3人按甲、乙、丙的顺序排队的方法有( )
A．12 B．20
C．16 D．120
解析：甲、乙、丙排好后，把其余2人插入，共有4×5种插入方法，即有20种排法．
答案：B
6．在(x－)10的展开式中，x6的系数是( )
A．－27C B．27C
C．－9C D．9C
解析：∵Tk＋1＝Cx10－k(－)k.令10－k＝6，解得k＝4，∴系数为(－)4C＝9C.
答案：D
7．在n的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：通项Tk＋1＝C(x2)n－kk＝(－1)kC·x2n－3k，常数项是15，则2n＝3k，且C＝15，验证n＝6时，k＝4符合题意．
答案：D
8．在(1＋x)n的展开式中，奇数项之和为p，偶数项之和为q，则(1－x2)n等于( )
A．0 B．pq
C．p2－q2 D．p2＋q2
解析：由于(1＋x)n与(1－x)n展开式中奇数项相同，偶数项互为相反数，因此(1－x)n＝p－q，所以(1－x2)n＝(1＋x)n(1－x)n＝(p＋q)(1－q)＝p2－q2.
答案：C
9．形如45 132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为( )
A．20 B．18
C．16 D．11
解析：由题可知，十位和千位只能是4,5或3,5，若十位和千位排4,5，则其他位置任意排1,2,3，则这样的数的个数有AA＝12；若十位和千位排5,3，这时4只能排在5的一边且不能和其他数字相邻，1,2在其余位置上任意排列，则这样的数的个数有AA＝4，综上，共有16个．
答案：C
10．(湖北高考)设a∈Z，且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，则a＝( )
A．0 B．1
C．11 D．12
解析：512 012＋a＝(13×4－1)2 012＋a，被13整除余1＋a，结合选项可得a＝12时，512 012＋a能被13整除．
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．(福建高考)(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________.
解析：(a＋x)4的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Ca4－rxr，令r＝3，得含x3的系数为Ca，故Ca＝8，解得a＝2.
答案：2
12．5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有________种排法(用数字作答)．
解析：先让5名大人全排列，有A种排法，两个小孩再依条件插空，有A种方法，故共有AA＝1 440种排法．
答案：1 440
13．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共有________种．
解析：分两类，有4件次品的抽法为CC种；有3件次品的抽法有CC种，所以共有CC＋CC＝4 186种不同的抽法．
答案：4 186
14．若C＝C(n∈N＋)，且(2－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝________.
解析：根据题意，由于C＝C(n∈N＋)，所以2n＋6＝n＋2(舍)，2n＋6＋n＋2＝20，可知n＝4，那么当x＝－1时可知等式左边为34＝81，那么右边表示的为a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝81.
答案：81
三、解答题(本大题共4个小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)有6个球，其中3个一样的黑球，红、白、蓝球各1个．现从中取出4个球排成一列，共有多少种不同的排法？
解：分三类：
(1)若取1个黑球，则和另三个球排4个位置，有A＝24种排法；
(2)若取2个黑球，则从另三个球中选2个，排4个位置，2个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有CA＝36种排法；
(3)若取3个黑球，则从另三个球中选1个，排4个位置，3个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有CA＝12种排法．
根据分类加法计数原理，共有24＋36＋12＝72种不同的排法．
16．(本小题满分12分)已知二项式n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
(1)求展开式的第四项；
(2)求展开式的常数项．
解：因为第一、二、三项系数的绝对值分别为C，，，所以C＋＝×2，即n2－9n＋8＝0，n≥2.
解得n＝8.
(1)第四项T4＝C()53＝－7x.
(2)通项公式为
Tk＋1＝C()8－kk＝Ck()8－2k
＝Ckx.
令＝0，得k＝4.
所以展开式中的常数项为T5＝C4＝.
17．(本小题满分12分)如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C3，C4，C5，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.
/
(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含C1点的有多少个？
(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
解：(1)可分三种情况处理：
①C1，C2，…，C6这六个点任取三点可构成一个三角形；
②C1，C2，…，C6中任取一点，D1，D2，D3，D4中任取两点可构成一个三角形；
③C1，C2，…，C6中任取两点，D1，D2，D3，D4中任取一点可构成一个三角形．
∴C＋CC＋CC＝116(个)．
其中含C1点的三角形有C＋C·C＋C＝36(个)．
(2)构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线，
∴共有C＋CC＋CC＝360(个)．
18．(本小题满分14分)已知在n的展开式中，第9项为常数项，求：
(1)n的值；
(2)展开式中x5的系数；
(3)含x的整数次幂的项的个数．
解：二项展开式的通项Tr＋1＝Cn－rr
＝(－1)rn－rCx.
(1)因为第9项为常数项，即当r＝8时，2n－r＝0，
解得n＝10.
(2)令2n－r＝5，得r＝(2n－5)＝6，
所以x5的系数为(－1)64C＝.
(3)要使2n－r，即为整数，只需r为偶数，由于r＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．
课件8张PPT。知识整合与阶段检测核心要点归纳阶段质量检测第一章阶段质量检测见阶段质量检测(一)阶段质量检测(一) 计数原理
(时间：90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)
1．若C＝28，则m等于( )
A．9 B．8
C．7 D．6
2．编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有( )
A．60种 B．20种
C．10种 D．8种
3．关于(a－b)10的说法，错误的是( )
A．展开式中的二项式系数之和为1 024
B．展开式中第6项的二项式系数最大
C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
4．(辽宁高考)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
A．3×3! B．3×(3！)3
C．(3！)4 D．9!
5．5个人排队，其中甲、乙、丙3人按甲、乙、丙的顺序排队的方法有( )
A．12 B．20
C．16 D．120
6．在(x－)10的展开式中，x6的系数是( )
A．－27C B．27C
C．－9C D．9C
7．在n的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
8．在(1＋x)n的展开式中，奇数项之和为p，偶数项之和为q，则(1－x2)n等于( )
A．0 B．pq
C．p2－q2 D．p2＋q2
9．形如45 132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为( )
A．20 B．18
C．16 D．11
10．(湖北高考)设a∈Z，且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，则a＝( )
A．0 B．1
C．11 D．12
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．(福建高考)(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________.
12．5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有________种排法(用数字作答)．
13．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共有________种．
14．若C＝C(n∈N＋)，且(2－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝________.
三、解答题(本大题共4个小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)有6个球，其中3个一样的黑球，红、白、蓝球各1个．现从中取出4个球排成一列，共有多少种不同的排法？
16．(本小题满分12分)已知二项式n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
(1)求展开式的第四项；
(2)求展开式的常数项．
17．(本小题满分12分)如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C3，C4，C5，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.
(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含C1点的有多少个？
(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
18．(本小题满分14分)已知在n的展开式中，第9项为常数项，求：
(1)n的值；
(2)展开式中x5的系数；
(3)含x的整数次幂的项的个数．
答 案
1．选B C＝＝28(m>2，且m∈N＋)，解得m＝8.
2．选C 四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入3盏亮灯，即C＝10.
3．选C 由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210＝1 024，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的．
4．选C 利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为
A(A)3＝(3！)4.
5．选B 甲、乙、丙排好后，把其余2人插入，共有4×5种插入方法，即有20种排法．
6．选D ∵Tk＋1＝Cx10－k(－)k.令10－k＝6，解得k＝4，∴系数为(－)4C＝9C.
7．选D 通项Tk＋1＝C(x2)n－kk＝(－1)kC·x2n－3k，常数项是15，则2n＝3k，且C＝15，验证n＝6时，k＝4符合题意．
8．选C 由于(1＋x)n与(1－x)n展开式中奇数项相同，偶数项互为相反数，因此(1－x)n＝p－q，所以(1－x2)n＝(1＋x)n(1－x)n＝(p＋q)(1－q)＝p2－q2.
9．选C 由题可知，十位和千位只能是4,5或3,5，若十位和千位排4,5，则其他位置任意排1,2,3，则这样的数的个数有AA＝12；若十位和千位排5,3，这时4只能排在5的一边且不能和其他数字相邻，1,2在其余位置上任意排列，则这样的数的个数有AA＝4，综上，共有16个．
10．选D 512 012＋a＝(13×4－1)2 012＋a，被13整除余1＋a，结合选项可得a＝12时，512 012＋a能被13整除．
11．解析：(a＋x)4的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Ca4－rxr，令r＝3，得含x3的系数为Ca，故Ca＝8，解得a＝2.
答案：2
12．解析：先让5名大人全排列，有A种排法，两个小孩再依条件插空，有A种方法，故共有AA＝1 440种排法．
答案：1 440
13．解析：分两类，有4件次品的抽法为CC种；有3件次品的抽法有CC种，所以共有CC＋CC＝4 186种不同的抽法．
答案：4 186
14．解析：根据题意，由于C＝C(n∈N＋)，所以2n＋6＝n＋2(舍)，2n＋6＋n＋2＝20，可知n＝4，那么当x＝－1时可知等式左边为34＝81，那么右边表示的为a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝81.
答案：81
15．解：分三类：
(1)若取1个黑球，则和另三个球排4个位置，有A＝24种排法；
(2)若取2个黑球，则从另三个球中选2个，排4个位置，2个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有CA＝36种排法；
(3)若取3个黑球，则从另三个球中选1个，排4个位置，3个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有CA＝12种排法．
根据分类加法计数原理，共有24＋36＋12＝72种不同的排法．
16．解：因为第一、二、三项系数的绝对值分别为C，，，所以C＋＝×2，即n2－9n＋8＝0，n≥2.
解得n＝8.
(1)第四项T4＝C()53＝－7x.
(2)通项公式为
Tk＋1＝C()8－kk＝Ck()8－2k
＝Ckx.
令＝0，得k＝4.
所以展开式中的常数项为T5＝C4＝.
17．解：(1)可分三种情况处理：
①C1，C2，…，C6这六个点任取三点可构成一个三角形；
②C1，C2，…，C6中任取一点，D1，D2，D3，D4中任取两点可构成一个三角形；
③C1，C2，…，C6中任取两点，D1，D2，D3，D4中任取一点可构成一个三角形．
∴C＋CC＋CC＝116(个)．
其中含C1点的三角形有C＋C·C＋C＝36(个)．
(2)构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线，
∴共有C＋CC＋CC＝360(个)．
18．解：二项展开式的通项Tr＋1＝Cn－rr
＝(－1)rn－rCx.
(1)因为第9项为常数项，即当r＝8时，2n－r＝0，
解得n＝10.
(2)令2n－r＝5，得r＝(2n－5)＝6，
所以x5的系数为(－1)64C＝.
(3)要使2n－r，即为整数，只需r为偶数，由于r＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．
