高考四大高频考点例析[对应学生用书P50]
排列与组合
考查方式
排列组合的应用题是命题的热点内容，独立考查时多为选择题、填空题，常与概率、分布列等有关知识融合，交汇命题，题型多为解答题，难度中等
备考指要
解排列组合综合应用题应从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．
“分析”就是找出题目的条件和结论，哪些是“位置”，哪些是“元素”；
“分辨”就是辨别是排列问题还是组合问题，对某些元素的位置有无限制等；
“分类”就是对于较复杂的应用问题中的元素往往分成相互排斥的几类，然后逐类解决；
“分步”就是把问题化成几个相互联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决．
同时要遵循四大原则：先特殊后一般的原则、先取后排的原则、先分类后分步的原则和正难则反的原则
[例1] (浙江高考)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A．60种 B．63种
C．65种 D．66种
[解析] 对于4个数之和为偶数，可分三类，即4个数均为偶数，2个数为偶数、2个数为奇数，4个数均为奇数，因此共有C＋CC＋C＝66种．
[答案] D
[例2] (北京高考)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．
[解析] 将A，B捆绑在一起，有A种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A种摆法，共有AA＝48种摆法，而A，B，C 3件在一起，且A，B相邻，A，C相邻有CAB，BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A＝12种摆法，故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有48－12＝36种．
[答案] 36
1．(全国大纲卷)6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )
A．240种 B．360种
C．480种 D．720种
解析：优先安排甲，有A种不同方法，然后剩余5位选手的全排列有A种不同排法．故有A·A＝480种不同排法．
答案：C
2．从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为( )
A．432 B．288
C．216 D．108
解析：因为奇数有4个，偶数有3个，所以要想从取出的四个数字中组成四位数且是奇数，个位数字必须是奇数，因而这样的奇数有CCCA＝216.
答案：C
3．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )
A．36种 B．42种
C．48种 D．54种
解析：由题意可知，可以考虑分成两类计算，若甲排在第一位，则有A种方案；若甲排在第二位，则有CA种方案．所以按照要求，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有A＋CA＝42种．
答案：B
4．有一个志愿者小组，共有6个人，其中男生3人，女生3人，现有一项任务需要3个人组成一个小队．为了工作方便，要求男、女生都有，则不同的选法有( )
A．16 B．17
C．18 D．19
解析：法一：分两种情况，当有1男2女时，有CC＝9种选法；当有2男1女时，有CC＝9种选法．故共有18种不同的选法．
法二：间接法：共有C－C－C＝20－1－1＝18种选法．
答案：C
二项式定理及应用
考查方式
二项式定理问题相对独立，在高考中考查形式常以选择题、填空题为主．考查内容以二项展开式及其通项公式为主，重点考查二项展开式的指定项和二项式系数的性质
备考指要
二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础；而二项式系数的性质是解题的关键；求解时要注意区分“二项式系数”与“某项的系数”的不同
[例3] (辽宁高考)使n(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
[解析] 由二项式定理得，Tr＋1＝C(3x)n－rr＝C3n－rx，令n－r＝0，当r＝2时，n＝5，此时n最小．
[答案] B
[例4] (浙江高考)若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝____________.
[解析] 不妨设1＋x＝t，则x＝t－1，因此有(t－1)5＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，则a3＝C(－1)2＝10.
[答案] 10
5(新课标全国卷Ⅱ)已知(1＋ɑx)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ＝( )
A．－4 B.－3
C．－2 D．－1
解析：由二项式定理得(1＋x)5的展开式的通项为Tr＋1＝C·xr，所以当r＝2时，(1＋ax)·(1＋x)5的展开式中x2的系数为C，当r＝1时，x2的系数为C·a，所以C＋C·a＝5，a＝－1.
答案：D
6．二项式n的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中常数项是
( )
A．180 B．90
C．45 D．360
解析：因为n的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以n＝10，Tr＋1＝C·()10－r·r＝2rC·x，令5－r＝0，则r＝2，则常数项是T3＝4C＝180.
答案：A
7．已知n(其中n∈N且n≥6)的展开式的第5项是70，则展开式中各项系数和是( )
A．1 B．－1
C．28或 D．29或0
解析：n的展开式的第5项为Cxn－4·4＝a4C·xn－8＝70，则n＝8且a＝±1.令x＝1可得展开式中各项系数和为28或0.
答案：C
8．(安徽高考)设a≠0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝________.
解析：由题图可知a0＝1，a1＝3，a2＝4，由题意知
故可得
答案：3
离散型随机变量的分布列及其均值
考查
方式
高考对本考点的考查多以实际问题为背景，以解答题的形式考查离散型随机变量分布列的求法，且常与排列、组合、概率、均值和方差等知识综合考查，难度适中，属中档题
备考
指要
1.求离散型随机变量的均值、方差，首先要明确其概率分布，最好确定分布列的模型，这样就可以直接运用公式进行计算．
2.求解以上问题的关键是正确求出离散型随机变量的分布列．求解离散型随机变量的分布列有如下三个步骤：
(1)明确随机变量X取哪些值；
(2)计算随机变量X取每个值的概率；
(3)将结果用表格形式给出．
注意：计算概率时要注意与排列组合知识的结合
[例5] (天津高考)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张， 编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
(2)在取出的4张卡片中， 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望．
[解] (1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A)＝＝.
所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
所以随机变量X的分布列是
X
1
2
3
4
P
随机变量X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
[例6] (辽宁高考)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．
(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；
(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．
[解] (1)设事件A＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．
因为P()＝＝，所以P(A)＝1－P()＝.
(2)X所有的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝C·0·2·＝；
P(X＝1)＝C·1·1·＋C0·2·＝；
P(X＝2)＝C·2·0·＋C1·1·＝；
P(X＝3)＝C·2·0·＝.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
X
0
1
2
P
0.5
0.49
0.01
E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.
法二：X的所有可能取值为0,1,2.
X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，
所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；
X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，
所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；
P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝0.49；
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
0.5
0.49
0.01
E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.
9．(陕西高考)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量(kg)
300
500
概率
0.5
0.5
作物市场价格(元/kg)
6
10
概率
0.4
0.6
(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率．
解：(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，
因为利润＝产量×市场价格－成本，
所以X所有可能的取值为
500×10－1 000＝4 000,500×6－1 000＝2 000，
300×10－1 000＝2 000,3 00×6－1 000＝800.
P(X＝4 000)＝P()P()＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，
P(X＝2 000)＝P()P(B)＋P(A)P()＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，
P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，
所以X的分布列为
X
4 000
2 000
800
P
0.3
0.5
0.2
(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i＝1,2,3)，
由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，
P(Ci)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1,2,3)，
3季的利润均不少于2 000元的概率为
P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；
3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为P(C2C3)＋P(C1C3)＋P(C1C2)＝3×0.82×0.2＝0.384，
所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.
10．(广东高考)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中x的值；
(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为X，求X的数学期望．
解：(1)由题意得
10x＝1－(0.006×3＋0.01＋0.054)×10＝0.18，
所以x＝0.018.
(2)∵成绩不低于80分的学生共有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，其中90分以上(含90分)的共有0.006×10×50＝3人，
∴X的可能值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
11．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的数学期望．
解：记A表示事件“该地的1位车主购买甲种保险”；
B表示事件“该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险”；
C表示事件“该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”；
D表示事件“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”．
(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，
P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，
X～B(100,0.2)，即X服从二项分布，
所以数学期望E(X)＝100×0.2＝20.
12．一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球．
(1)求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；
(2)求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率；
(3)记X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望．
解：(1)设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A，则
P(A)＝＝.
即取出的3个球的编号恰好是3个连续的整数，且颜色相同的概率为.
(2)设“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B，则P(B)＝＝＝.
即取出的3个球中恰有两个编号相同的概率为.
(3)X的取值为2,3,4,5.
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝.
所以X的分布列为
X
2
3
4
5
P
X的数学期望
E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.
统 计 案 例
考查
方式
统计案例主要是回归分析和独立性检验，在考纲中都是“了解”层次的内容．高考对本节知识的考查方式现多样性，以解答题为主，属中档题目
备考
指要
1.分析两个变量的相关关系常用方法
(1)把样本数据表示的点在直角坐标系中标出，得到散点图；
(2)在确认具有相关关系后，再求回归方程，最后进行回归分析．
2.独立性检验的一般步骤
(1)根据2×2列联表计算χ2的观测值；
(2)根据χ2的值与临界值的大小关系作统计推断.
[例7] (福建高考)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程＝bx＋a，其中b＝－20，a＝－b；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
解：(1)因为＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，
＝(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80.
所以a＝－b＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为＝－20x＋250.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)
＝－20x2＋330x－1 000
＝－20(x－)2＋361.25.
当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
[例8] (辽宁高考)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
合计
男
女
10
55
合计
(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．
附：χ2＝，
P(χ2≥k)
0.05
0.01
k
3.841
6.635
[解] (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2＝＝＝≈3.030.
因为3.030<3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．
(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.
由题意X～B(3，)，从而X的分布列为
X
0
1
2
3
P
E(X)＝np＝3×＝，
D(X)＝np(1－p)＝3××＝.
13．为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的试验结果．(疱疹面积单位：mm2)
表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积
[60,65)
[65,70)
[70,75)
[75,80)
频数
30
40
20
10
表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积
[60,65)
[65,70)
[70,75)
[75,80)
[80,85)
频数
10
25
20
30
15
完成下面2×2列联表，并回答注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积是否有差异．表3：
疱疹面积小于70 mm2
疱疹面积不小于70 mm2
总计
注射药物A
注射药物B
总计
解：列联表如下：
疱疹面积小于70 mm2
疱疹面积不小于70 mm2
总计
注射药物A
70
30
100
注射药物B
35
65
100
总计
105
95
200
χ2＝≈24.56>6.635.
所以99%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．
14．一台机器使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：
转速x(转/秒)
16
14
12
8
每小时生产有缺
陷的零件数y(件)
11
9
8
5
(1)已知y与x有线性相关关系，写出回归直线方程；
(2)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度需控制在什么范围内？
解：(1)＝12.5，＝8.25，
iyi＝438，
＝660，
＝291.
＝≈0.728 6，＝－0.857 5，
线性回归方程为＝0.728 6x－0.857 5.
(2)由＝0.728 6x－0.857 5≤10，
得x≤14.901 9.
∴机器的转速应控制在14.901 9转/秒以下．
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