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2．1/离散型随机变量及其分布列
2．1.1 离散型随机变量
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问题1：抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？
提示：可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．
问题2：在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗棵树为X，则X取什么数字？
提示：X＝0,1,2,3…，10.
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1．随机变量的概念及其表示
(1)定义：随着试验结果的不同而变化的变量称为随机变量．
(2)表示：常用字母X，Y…等表示．
2．离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．
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1．对随机变量的认识：
(1)随机变量是用来表示不同试验结果的量．
(2)试验结果和实数之间的对应关系产生了随机变量，随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果，试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数．但这些数是预先知道的可能值，而不知道究竟是哪一个值，这便是“随机”的本源．
2．离散型随机变量的特征：
(1)可用数值表示；
(2)试验之前可以判断其出现的所有值；
(3)在试验之前不能确定取何值；
(4)试验结果能一一列出．
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离散型随机变量的判定
[例1] 判断下列各个变量是否是随机变量，若是，是否是离散型随机变量？
(1)天成书业公司信息台一天接到的咨询电话个数；
(2)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被抽出卡片的号数；
(3)某林场的树木最高达30 m，在此林场中任取一棵树木的高度；
(4)体积为27 cm3的正方体的棱长．
[思路点拨] 根据随机变量、离散型随机变量的定义判断．
[精解详析] (1)接到的咨询电话的个数可能是0,1,2,3，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量，并且是离散型随机变量．
(2)被抽取的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，是离散型随机变量．
(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值 ，无法一一列出，不是离散型随机变量．
(4)体积为27 cm3的正方体的棱长为3 cm，为定值，不是随机变量．
[一点通]
判断一个随机变量是否是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有取值是否可以一一列出，具体方法如下：
(1)明确随机试验的所有可能结果；
(2)将随机试验的结果数量化；
(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
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1．如果X是一个离散型随机变量且Y＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么Y( )
A．不一定是随机变量
B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量
C．可能是定值
D．一定是离散型随机变量
解析：若X是离散型随机变量，根据函数的性质，则Y必是离散型随机变量．
答案：D
2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )
A．取到产品的件数
B．取到正品的概率
C．取到次品的件数
D．取到次品的概率
解析：A中取到产品的件数是一个常量，不是变量，B、D也是一个定值．而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．
答案：C
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离散型随机变量的可能值及实验结果
[例2] (12分)写出下列随机变量的可能值，并说明随机变量的取值表示的事件．
(1)在含有5件次品的200件产品中任意抽取4件，其中次品件数X是一个随机变量．
(2)一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数Y是一个随机变量．
[思路点拨] 先分析试验结果，确定随机变量的所有可能取值，然后写出随机变量的取值表示的事件．
[精解详析] (1)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.
X＝0，表示“抽取0件次品”；
X＝1，表示“抽取1件次品”；
X＝2，表示“抽取2件次品”；
X＝3，表示“抽取3件次品”；
X＝4，表示“抽取4件次品”；
(2)随机变量Y的可能取值为0,1,2,3.
Y＝0，表示“取出0个白球，3个黑球”；
Y＝1，表示“取出1个白球，2个黑球”；
Y＝2，表示“取出2个白球，1个黑球”；
Y＝3，表示“取出3个白球，0个黑球”．
[一点通]
解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些实验结果．
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3．抛掷两颗骰子，设所得点数之和为X，那么X＝4表示的随机试验结果是________．
解析：抛掷一颗骰子，可能出现的点数是1,2,3,4,5,6，而X表示抛掷两颗骰子所得到的点数之和，所以X＝4＝1＋3＝3＋1＝2＋2表示的随机试验结果是一颗是1点、另一颗是3点，或者两颗都是2点．
答案：一颗是1点、另一颗是3点，或者两颗都是2点
4．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出2个球，以X表示取出的球的最大号码，则“X＝6”表示的试验结果是________．
答案：(1,6)，(2,6)，(3,6)，(4,6)，(5,6)
5．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为X.
(1)写出X的所有可能取值；
(2)写出X＝1所表示的事件；
(3)求X＝1的概率．
解：(1)X可能取的值为0,1,2,3.
(2)X＝1表示的事件为第一次取得次品，第二次取得正品．
(3)P(X＝1)＝＝.
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1．随机变量可将随机试验的结果数量化．
2．随机变量与函数的异同点：
随机变量
函数
相同点
都是一种映射，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域
不同点
把试验结果映射为实数，即随机变量的自变量是试验结果
把实数映射为实数，即函数的自变量是实数
3.离散型随机变量可能取的值为有限个或可列举的无限个，或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出．
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1．下列变量中，不是随机变量的是( )
A．一射击手射击一次命中的环数
B．标准状态下，水沸腾时的温度
C．抛掷两颗骰子，所得点数之和
D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
解析：B中水沸腾时的温度是一个确定值，不是随机变量．
答案：B
2．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是( )
A．5 B．9
C．10 D．25
解析：两个球的号码之和可为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9个．
答案：B
3．①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X；
②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；
③测量一批电阻，阻值在950～1 200 Ω之间；
④一个在数轴上随机运动的质点，它离原点的距离记为X.
其中是离散型随机变量的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．①②④
解析：①②中变量X所有可能的取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量，而③④中的结果不能一一列出，故不是离散型随机变量．
答案：A
4．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为X，则“X＝5”表示的试验结果是( )
A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标
C．前4次未击中目标 D．第4次击中目标
解析：击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为X＝5，则说明前4次均未击中目标，故选C.
答案：C
5．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有________个．
解析：X可能的取值为3,4,5,6,7,8,9，…，19，共有17个．
答案：17
6．一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后三个数字(两两不同)，设他拨到所要号码的次数为X，则随机变量X的可能取值共有________个．
解析：后三个数字两两不同且都大于5的电话号码共有A＝24种，故X的取值为1,2,3，…，24.
答案：24
7．小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1 000元，3 000元，6 000元的奖品(不重复设奖)，用X表示小王所获奖品的价值，写出X的所有可能取值及每个值所表示的随机试验的结果．
解：X的可能取值为0,1 000,3 000,6 000.
X＝0，表示第一关就没有通过；
X＝1 000，表示第一关通过，而第二关没有通过；
X＝3 000，表示第一、二关通过，而第三关没有通过；
X＝6 000，表示三关都通过．
8．写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果．
(1)一个人要开房门，他共有10把钥匙，其中仅有一把是能开门的，他随机取钥匙去开门并且用后不放回，其中打开门所试的钥匙个数为X；
(2)在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记X＝|x－2|＋|y－x|.
解：(1)X可能取值为1,2,3，…，10.X＝n表示第n次能打开房门．
(2)因为x，y可能取的值为1,2,3，
所以0≤|x－2|≤1,0≤|x－y|≤2，
所以0≤X≤3，
所以X可能的取值为0,1,2,3，用(x，y)表示第一次抽到卡片号码为x，第二次抽得号码为y，则随机变量X取各值的意义为：X＝0表示两次抽到卡片编号都是2，即(2,2)；
X＝1表示(1,1)(2,1)(2,3)(3,3)；
X＝2表示(1,2)(3,2)；
X＝3表示(1,3)(3,1)．
课件18张PPT。第二章把握热点考向考点一理解教材新知考点二应用创新演练2.1
离散型随机变量及其分布列2.1.1
离
散
型
随
机
变
量应用创新演练见课时跟踪训练(九)课时跟踪训练(九) 离散型随机变量
1．下列变量中，不是随机变量的是( )
A．一射击手射击一次命中的环数
B．标准状态下，水沸腾时的温度
C．抛掷两颗骰子，所得点数之和
D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
2．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是( )
A．5 B．9
C．10 D．25
3．①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X；
②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；
③测量一批电阻，阻值在950～1 200 Ω之间；
④一个在数轴上随机运动的质点，它离原点的距离记为X.
其中是离散型随机变量的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．①②④
4．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为X，则“X＝5”表示的试验结果是( )
A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标
C．前4次未击中目标 D．第4次击中目标
5．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有________个．
6．一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后三个数字(两两不同)，设他拨到所要号码的次数为X，则随机变量X的可能取值共有________个．
7．小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1 000元，3 000元，6 000元的奖品(不重复设奖)，用X表示小王所获奖品的价值，写出X的所有可能取值及每个值所表示的随机试验的结果．
8．写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果．
(1)一个人要开房门，他共有10把钥匙，其中仅有一把是能开门的，他随机取钥匙去开门并且用后不放回，其中打开门所试的钥匙个数为X；
(2)在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记X＝|x－2|＋|y－x|.
答 案
1．选B B中水沸腾时的温度是一个确定值，不是随机变量．
2．选B 两个球的号码之和可为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9个．
3．选A ①②中变量X所有可能的取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量，而③④中的结果不能一一列出，故不是离散型随机变量．
4．选C 击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为X＝5，则说明前4次均未击中目标，故选C.
5．解析：X可能的取值为3,4,5,6,7,8,9，…，19，共有17个．
答案：17
6．解析：后三个数字两两不同且都大于5的电话号码共有A＝24种，故X的取值为1,2,3，…，24.
答案：24
7．解：X的可能取值为0,1 000,3 000,6 000.
X＝0，表示第一关就没有通过；
X＝1 000，表示第一关通过，而第二关没有通过；
X＝3 000，表示第一、二关通过，而第三关没有通过；
X＝6 000，表示三关都通过．
8．解：(1)X可能取值为1,2,3，…，10.X＝n表示第n次能打开房门．
(2)因为x，y可能取的值为1,2,3，
所以0≤|x－2|≤1,0≤|x－y|≤2，
所以0≤X≤3，
所以X可能的取值为0,1,2,3，用(x，y)表示第一次抽到卡片号码为x，第二次抽得号码为y，则随机变量X取各值的意义为：X＝0表示两次抽到卡片编号都是2，即(2,2)；
X＝1表示(1,1)(2,1)(2,3)(3,3)；
X＝2表示(1,2)(3,2)；
X＝3表示(1,3)(3,1)．
