2．1.2 离散型随机变量的分布列
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离散型随机变量的分布列
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1．投掷一颗骰子，所得点数为X.
问题1：X可取哪些数字？
提示：X＝1,2,3,4,5,6
问题2：X取不同的值时，其概率分别是多少？
提示：都等于.
2．一瓶中装有5个球，编号为1,2,3,4,5.从瓶中同时取3个，以X表示取出的3个球中的最大号码．
问题3：随机变量X的可能取值是什么？
提示：X＝3,4,5.
问题4：试求X取不同值的概率分别是什么？
提示：P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝＝.
问题5：你能用表格表示X与P的对应关系吗？
提示：可表示为：
X
3
4
5
P
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1．分布列的定义
设离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率p1，p2…，pn则称表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
为离散型随机变量X的概率分布列．
2．分布列的性质
由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
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二点分布
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战士打靶比赛命中得2分，不中得0分，命中概率为0.6.
问题1若用“X”表示“打靶得分”，X可能取哪些值？
提示：0,2
问题2：打靶得分的分布列是什么？
提示：
X
2
0
P
0.6
0.4
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二点分布
如果随机变量X的分布列为
X
1
0
P
p
q
其中0
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1．随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况．
2．由于随机变量的各个取值之间彼此互斥，因此随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
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分布列及其性质的应用
[例1] 设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，求：
(1)P(X＝1或X＝2)；
(2)P.
[思路点拨] 先由分布列的性质求a，再根据X＝1或X＝2，[精解详析] (1)∵i＝＋＋＋＝1，
∴a＝10，
则P(X＝1或X＝2)
＝P(X＝1)＋P(X＝2)
＝＋＝.
(2)由a＝10，
可得P
＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)
＝＋＋＝.
[一点通]
利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：
(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．
(2)不仅要注意i＝1，而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n.
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1．若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
4a－1
3a2＋a
求常数a及相应的分布列．
解：由分布列的性质可知
解得a＝.
随机变量X的分布列为
X
0
1
P
2.某射手射击所得环数X的分布列如下：
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
求此射手“射击一次命中的环数不小于7”的概率．
解：根据射手射击所得的环数X的分布列，
有P(X＝7)＝0.09，P(X＝8)＝0.28，P(X＝9)＝0.29，P(X＝10)＝0.22.
所求的概率为P(X≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.
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二点分布问题
[例2] 袋内有10个白球、5个红球，从中摸出2个球，记X＝求X的分布列．
[思路点拨] X只有两个可能取值，属于二点分布，应用概率知识求出X＝0的概率，然后根据二点分布的特点求出X＝1的概率，最后列成表格的形式即可．
[精解详析] 由题设可知X服从二点分布，
P(X＝0)＝＝，
∴P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝1－＝.
∴X的分布列为
X
0
1
P
[一点通]
注意二点分布的几个特点：
(1)二点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的；
(2)二点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0；
(3)由对立事件的概率公式可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))．
/
3．一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量X来描述次品出现的情况，即X＝0表示产品为合格品，X＝1表示产品为次品，则X的分布列为
X
0
1
P
解析：X＝0表示取到一个合格品，概率为95%；X＝1表示取到一个次品，概率为5%.
答案：0.95 0.05
4．若随机变量X只能取两个值0,1，又知X取0的概率是取1的概率的3倍，写出X的分布列．
解：由题意及分布列满足的条件知P(X＝0)＋P(X＝1)＝3P(X＝1)＋P(X＝1)＝1，
所以P(X＝1)＝，故P(X＝0)＝.
所以X的分布列为
X
0
1
P
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求离散型随机变量的分布列
[例3] (10分)放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球的盒子中，已知红球个数是绿球个数的2倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从中随机取出一个小球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X的分布列．
[思路点拨] 要写出随机变量X的分布列，首先要列出X所有可能的取值，其次要确定X的每一个取值所对应的概率，最后才能写出随机变量X的分布列．
[精解详析] 设黄球有n个，则由题意知绿球有2n个，红球有4n个，球的总数为7n个．X的可能取值为－1,0,1.
P(X＝－1)＝＝， ?(4分)
P(X＝0)＝＝， ?(6分)
P(X＝1)＝＝. ?(8分)
所以从该盒中取出一球所得分数X的分布列为
X
－1
0
1
P
?(10分)
[一点通]
求离散型随机变量的分布列的步骤：
(1)明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
(2)利用概率的有关知识求出随机变量取每个值的概率；
(3)按规范形式写出分布列．
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5．某商场经销某种商品，根据以往材料统计，顾客采用的分期付款期数X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，Y表示经销一件该商品的利润．求Y的分布列．
解：依题意，得Y的可能取值为200,250,300，
则P(Y＝200)＝P(X＝1)＝0.4，
P(Y＝250)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，
P(Y＝300)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，
所以随机变量Y的分布列为
Y
200
250
300
P
0.4
0.4
0.2
6．某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列．
解：将O，A，B，AB四种血型分别编号为1,2,3,4，则X的可能取值为1,2,3,4.
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
故其分布列为
X
1
2
3
4
P
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求离散型随机变量分布列时应注意以下几点：
(1)确定离散型随机变量X的分布列的关键是要搞清X取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出X取每一个值的概率．
(2)在求离散型随机变量X的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样可以减少运算量，也可利用分布列的性质验证分布列是否正确．
/
1．若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
2a
3a
则a＝( )
A. B.
C. D.
解析：由分布列的性质可知2a＋3a＝1，解得a＝.
答案：C
2．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4,5)，则P等于( )
A. B.
C. D.
解析：P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
答案：D
3．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员．从这10人中任选4人参加某项活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝( )
A. B.
C. D.
解析：P(X＝3)＝＝.
答案：D
4．已知离散型随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
m
则P(X＝10)等于( )
A. B.
C. D.
解析：由分布列的性质i＝1，
得＋＋＋…＋＋m＝1，
所以P(X＝10)＝m＝1－
＝1－2×＝.
答案：C
5．从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，随机变量X的概率分布列如下：
X
0
1
2
P
x1
x2
x3
则x1，x2，x3的值分别为________________．
解析：X的可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝＝0.1，
P(X＝1)＝＝0.6，P(X＝2)＝＝0.3.
答案：0.1,0.6,0.3
6．已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围为________．
解析：设X的分布列为
X
x1
x2
x3
P
a－d
a
a＋d
由离散型随机变量分布列的基本性质知
解得－≤d≤.
答案：
7．(重庆高考)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．
(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．)
解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p＝＝.
(2)X的所有可能值为1,2,3，且P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
故X的分布列为
X
1
2
3
P
从而E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
8．旅游公司为3个旅游团提供了甲、乙、丙、丁4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．
(1)求3个旅游团选择3条不同线路的概率；
(2)求恰有2条线路没有被选择的概率；
(3)求选择甲线路的旅游团个数X的分布列．
解：(1)3个旅游团选择3条不同线路的概率为
P1＝＝.
(2)恰有2条线路没有被选择的概率为
P2＝＝.
(3)由题意知，选择甲线路的旅游团个数X的所有可能取值是0,1,2,3，于是
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
课件27张PPT。把握热点考向考点一理解教材新知考点二应用创新演练知识点一知识点二考点三第二章2.1
离散型随机变量及其分布列2.1.2
离散型随机变量的分布列应用创新演练见课时跟踪训练(十)课时跟踪训练(十) 离散型随机变量的分布列
1．若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
2a
3a
则a＝( )
A. B.
C. D.
2．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4,5)，则P等于( )
A. B.
C. D.
3．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员．从这10人中任选4人参加某项活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝( )
A. B.
C. D.
4．已知离散型随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
m
则P(X＝10)等于( )
A. B.
C. D.
5．从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，随机变量X的概率分布列如下：
X
0
1
2
P
x1
x2
x3
则x1，x2，x3的值分别为________________．
6．已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围为________．
7．(重庆高考)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．
(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．)
8．旅游公司为3个旅游团提供了甲、乙、丙、丁4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．
(1)求3个旅游团选择3条不同线路的概率；
(2)求恰有2条线路没有被选择的概率；
(3)求选择甲线路的旅游团个数X的分布列．
答 案
1．选C 由分布列的性质可知2a＋3a＝1，解得a＝.
2．选D P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
3．选D P(X＝3)＝＝.
4．选C 由分布列的性质i＝1，
得＋＋＋…＋＋m＝1，
所以P(X＝10)＝m＝1－
＝1－2×＝.
5．解析：X的可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝＝0.1，
P(X＝1)＝＝0.6，P(X＝2)＝＝0.3.
答案：0.1,0.6,0.3
6．解析：设X的分布列为
X
x1
x2
x3
P
a－d
a
a＋d
由离散型随机变量分布列的基本性质知
解得－≤d≤.
答案：
7．解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p＝＝.
(2)X的所有可能值为1,2,3，且P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
故X的分布列为
X
1
2
3
P
从而E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
8．解：(1)3个旅游团选择3条不同线路的概率为
P1＝＝.
(2)恰有2条线路没有被选择的概率为
P2＝＝.
(3)由题意知，选择甲线路的旅游团个数X的所有可能取值是0,1,2,3，于是
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
