2．1.3 超几何分布
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从含有5件次品的100件产品中任取3件．
问题1：这100件产品可分几类？
提示：两类：次品和非次品
问题2：取到的次品数X的取值有哪些？
提示：0、1、2、3.
问题3：求次品数X＝2的概率．
提示：P(X＝2)＝.
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超几何分布
设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为P(X＝m)＝(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布．
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1．超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械的记忆公式，应在理解的前提下记忆．
2．超几何分布概率公式有一个显著的特点：分子两个组合数的下标之和等于分母组合数的下标，分子两个组合数的上标之和等于分母组合数的上标．
3．凡类似“在含有次品的产品中取部分产品，求所取出的产品中次品件数的概率”的问题，都属于超几何分布的模型．
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超几何分布的概率计算
[例1] 生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有一箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？
[思路点拨] 先找出计算公式中的N，M，n再代入计算．
[精解详析] 50箱的一批产品，从中随机抽取5箱，用X表示“5箱中的不合格品的箱数”，则X服从超几何分布，其中参数N＝50，M＝2，n＝5.
这批产品被接收的条件是x＝0或1，所以被接收的概率为
P(X≤1)＝＋＝.
即该批产品被接收的概率是.
[一点通]
求超几何分布的分布列的步骤如下：
(1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；
(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
(3)用表格的形式列出分布列．
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1．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于( )
A. B.
C. D.
解析：＝.
答案：A
2．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本共有( )
A．2本 B．3本
C．4本 D．5本
解析：设语文书n本，则数学书有7－n本(n≥2)．
则2本都是语文书的概率为＝，
由组合数公式得n2－n－12＝0，解得n＝4.
答案：C
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超几何分布的分布列
[例2] 从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得的次品数X的分布列．
[思路点拨] 在取出的3件产品中，次品数X服从超几何分布，其可能取值为0,1,2，对应的正品数应是3,2,1.
[精解详析] 由题意知X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3.
它的可能的取值为0,1,2，相应的概率依次为
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
[一点通]
超几何分布的概率计算方法是：
(1)确定所给问题中的变量服从超几何分布；
(2)写出超几何分布中的参数N，M，n的值；
(3)利用超几何分布公式，求出相应问题的概率．
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3．现有10张奖券，其中8张1元的、2张5元的，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．
解：设所得金额为X，X的可能取值为3,7,11.
P(X＝3)＝＝，
P(X＝7)＝＝，
P(X＝11)＝＝.
故X的分布列为
X
3
7
11
P
4.某高二数学兴趣小组有7位同学，其中有4位同学参加过高一数学“南方杯”竞赛．若从该小组中任选3位同学参加高二数学“南方杯”竞赛，求这3位同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的人数X的分布列．
解：由题意知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝7，M＝4，n＝3，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
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超几何分布的综合问题
[例3] (12分)在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件．求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
[思路点拨] 先确定X的取值情况，再求概率，列表写出分布列．
[精解详析] (1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C，从10件产品中任取3件，其中恰有m(m≤3)件一等品的结果数为CC，?(2分)
那么从10件产品中任取3件，其中恰有m件一等品的概率为P(X＝m)＝，m＝0,1,2,3.?(4分)
所以随机变量X的分布列是
X
0
1
2
3
P
?(6分)
(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，?(8分)
因为P(A1)＝＝，P(A2)＝P(X＝2)＝，P(A3)＝P(X＝3)＝，
所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
即取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率为.?(12分)
[一点通]
1．在超几何分布中，随机变量X取每个值的概率是用古典概型计算的，明确每一个事件的意义是正确解答此类问题的关键．
2．超几何分布具有广泛的应用，它可以用来描述产品抽样中的次品数的分布规律，也可用来研究我们熟悉的抽奖或摸球游戏中的某些概率问题．在其概率的表达式中，各个字母的含义在不同的背景下会有所不同．
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5．袋中装有4个白棋子、3个黑棋子，从袋中随机地取棋子，设取到一个白棋子得2分，取到一个黑棋子得1分，从袋中任取4个棋子．
(1)求得分X的分布列；
(2)求得分大于6的概率．
解：(1)袋中共7个棋子，以取到白棋子为标准，则取到白棋子的个数为1,2,3,4，对应的得分X为5,6,7,8.
由题意知，取到的白棋子数服从参数为N＝7，M＝4，n＝4的超几何分布，故得分也服从该超几何分布．
P(X＝5)＝＝；P(X＝6)＝＝；
P(X＝7)＝＝；P(X＝8)＝＝.
所以X的分布列为
X
5
6
7
8
P
(2)根据X的分布列，可得到得分大于6的概率为
P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝.
6．现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为.
(1)求7名学生中甲班的学生数；
(2)设所选2名学生中甲班的学生数为X，求X的分布列，并求所选2人中甲班学生数不少于1人的概率．
解：(1)设甲班的学生数为M，
由题意得
＝＝＝整理得M2－M－6＝0，
解得M＝3或M＝－2(舍去)．
即7个学生中，甲班有3人．
(2)由题意知X服从参数N＝7，M＝3，n＝2的超几何分布，其中X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝k)＝(k＝0,1,2)．
即P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
由分布列知
P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
即所选两人中甲班学生数不少于1人的概率为.
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解决超几何分布问题的关注点：
超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同m时的概率P(X＝m)，从而求出X的分布列．
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1．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为( )
A. B.
C．1－ D.
解析：出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品概率为，故答案为1－.
答案：C
2．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为( )
A. B. C. D.
解析：由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝＝.
答案：B
3．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( )
A. B. C. D.
解析：由题意知此概率符合超几何分布，则P＝.
答案：D
4．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于的是( )
A．P(X＝2) B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
解析：15个村庄中，7个村庄交通不方便，8个村庄交通方便，CC表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便、6个交通方便的村庄，故P(X＝4)＝.
答案：C
5．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．
解析：取到的2个球颜色不同的概率P＝＝.
答案：
6．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)
解析：所求概率P＝1－＝.
答案：
7．在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试，至少答对2道题才算及格，求该考生答对的试题数X的分布列，并求该考生及格的概率．
解：X＝1,2,3，
P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
该考生及格的概率为
P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
8．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的分布列；
(3)计分介于20分到40分之间的概率．
解：(1)法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝＝.
法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件．
因为P(B)＝＝，
所以P(A)＝1－P(B)＝1－＝.
(2)由题意，X的所有可能取值为2,3,4,5.
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝；
P(X＝4)＝＝；
P(X＝5)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X
2
3
4
5
P
(3)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C，则
P(C)＝P(X＝3或X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)
＝＋＝.
课件26张PPT。把握热点考向考点一理解教材新知考点二应用创新演练考点三第二章2.1
离散型随机变量及其分布列2.1.3
超
几
何
分
布应用创新演练见课时跟踪训练(十一)课时跟踪训练(十一) 超几何分布
1．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为( )
A. B.
C．1－ D.
2．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为( )
A. B. C. D.
3．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( )
A. B. C. D.
4．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于的是( )
A．P(X＝2) B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
5．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．
6．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)
7．在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试，至少答对2道题才算及格，求该考生答对的试题数X的分布列，并求该考生及格的概率．
8．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的分布列；
(3)计分介于20分到40分之间的概率．
答 案
1．选C 出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品概率为，故答案为1－.
2．选B 由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝＝.
3．选D 由题意知此概率符合超几何分布，则P＝.
4．选C 15个村庄中，7个村庄交通不方便，8个村庄交通方便，CC表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便、6个交通方便的村庄，故P(X＝4)＝.
5．解析：取到的2个球颜色不同的概率P＝＝.
答案：
6．解析：所求概率P＝1－＝.
答案：
7．解：X＝1,2,3，
P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
该考生及格的概率为
P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
8．解：(1)法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝＝.
法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件．
因为P(B)＝＝，
所以P(A)＝1－P(B)＝1－＝.
(2)由题意，X的所有可能取值为2,3,4,5.
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝；
P(X＝4)＝＝；
P(X＝5)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X
2
3
4
5
P
(3)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C，则
P(C)＝P(X＝3或X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)
＝＋＝.
