2.2/条件概率与事件的独立性
2．2.1 条件概率
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100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．
令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，A∩B＝{产品的长度、质量都合格}．
问题1：试求P(A)、P(B)、P(A∩B)．
提示：P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝.
问题2：任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率．
提示：事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B)＝.
问题3：试探求P(B)、P(A∩B)、P(A|B)间的关系．
提示：P(A|B)＝.
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条件概率的概念
(1)事件的交
事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)记做D＝A∩B(或D＝AB)．
(2)条件概率
对于两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率．用符号“P(B|A)”表示．即条件概率公式P(B|A)＝，P(A)＞0.
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1．事件B发生在“事件A已发生”这个附加条件下的概率通常情况下与没有这个附加条件的概率是不同的．
2．由条件概率的定义可知，P(B|A)与P(A|B)是不同的．另外，在事件A发生的前提下，事件B发生的概率不一定是P(B)，即P(B|A)与P(B)不一定相等．
3．P(B|A)＝可变形为P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)，即只要知道其中的两个值就可以求得第三个值．
4．事件AB表示事件A和事件B同时发生．把事件A与事件B同时发生所构成的事件D称为事件A与B的交(或积)，记为D＝A∩B(或D＝AB)．
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条件概率的计算
[例1] 在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：
(1)第1次抽到理科题的概率；
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
[思路点拨] 根据分步乘法计数原理先计算出事件总数，然后计算出各种情况下的事件数后即可求解．
[精解详析] 设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件A∩B.
(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的基本事件总数为A＝20.
事件A所含基本事件的总数为A×A＝12.
故P(A)＝＝.
(2)因为事件A∩B含A＝6个基本事件．
所以P(A∩B)＝＝.
(3)法一 由(1)、(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为P(B|A)＝＝＝.
法二 因为事件A∩B含6个基本事件，事件A含12个基本事件，所以P(B|A)＝＝.
[一点通]
计算条件概率的两种方法：
(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即P(B|A)＝；
(2)在原样本空间Ω中，先计算P(A∩B)，P(A)，再按公式P(B|A)＝计算求得P(B|A)．
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1．(新课标全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A．0.8 B．0.75
C．0.6 D．0.45
解析：根据条件概率公式P(B|A)＝，可得所求概率为＝0.8.
答案：A
2．某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为________．
解析：设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，则P(A)＝，P(A∩B)＝，故P(B|A)＝＝.
答案：
3．一个盒子中有6只正品晶体管，4只次品晶体管，任取两次，每次取一只，第一次取后不放回，若已知第一只是正品，求第二只也是正品的概率．
解：令Ai＝{第i只是正品}，i＝1,2.
P(A1)＝＝，
P(A1∩A2)＝＝，
P(A2|A1)＝＝＝.
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条件概率的应用
[例2] (10分)将外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则试验成功．求试验成功的概率．
[思路点拨] 设出基本事件，求出相应的概率，再用基本事件表示出“试验成功”这件事，求出其概率．
[精解详析] 设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，
B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，
R＝{第二次取出的球是红球}，
W＝{第二次取出的球是白球}，?(2分)
则容易求得P(A)＝，P(B)＝，
P(R|A)＝，P(W|A)＝，
P(R|B)＝，P(W|B)＝.?(5分)
事件“试验成功”表示为(R∩A)∪(R∩B)，又事件R∩A与事件R∩B互斥，?(7分)
所以由概率的加法公式得
P((R∩A)∪(R∩B))
＝P(R∩A)＋P(R∩B)
＝P(R|A)·P(A)＋P(R|B)·P(B)
＝×＋×＝.?(10分)
[一点通]
对于比较复杂的事件，可以先分解为两个(或若干个)较简单的互斥事件的并，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．
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4．一批产品中有4%的次品，而合格品中一等品占45%，从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率．
解：设A表示“取出的产品为合格品”，B表示“取出的产品为一等品”，则P(B|A)＝45%.
因为P()＝4%，
P(A)＝1－P()＝1－4%＝96%.
所以P(B)＝P(A∩B)＝P(A)·P(B|A)＝96%×45%＝43.2%.
5．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球．现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？
解：记A＝{从2号箱中取出的是红球}，
B＝{从1号箱中取出的是红球}，
则P(B)＝＝，
P()＝1－P(B)＝，
P(A|B)＝＝，
P(A|)＝＝，
P(A)＝P(A∩B)∪(A∩)
＝P(A∩B)＋P(A∩)
＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()
＝×＋×
＝.
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掌握好条件概率应注意以下几点：
(1)事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的．
(2)所谓的条件概率，是试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件上，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率．
(3)已知A发生，在此条件下B发生，相当于A∩B发生，求P(B|A)时，可把A看成新的基本事件空间来计算B发生的概率，即
P(B|A)＝＝＝.
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1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(A∩B)等于( )
A. B. C. D.
解析：P(B|A)＝，故P(A∩B)＝×＝.
答案：C
2．下列说法正确的是( )
A．P(A|B)＝P(B|A)
B．0
C．P(A∩B)＝P(A)·P(B|A)
D．P(A∩B|A)＝P(B)
解析：由P(B|A)＝知，
P(A∩B)＝P(A)·P(B|A)．
答案：C
3．某班学生的考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( )
A. B. C. D.
解析：设A为事件“数学不及格”，B为事件“语文不及格”，P(B|A)＝＝＝.所以数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为.
答案：A
4．(辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )
A. B. C. D.
解析：P(A)＝＝＝，P(A∩B)＝＝.
由条件概率计算公式，得P(B|A)＝＝.
答案：B
5．设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为________．
解析：由题意知，P(A∩B)＝，P(B|A)＝.
由P(B|A)＝，得P(A)＝＝.
答案：
6．如图，四边形EFGH是以O为圆心，半径为1的圆内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝________________.
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解析：因为P(A)表示事件“豆子落在正方形EFGH内”的概率，为几何概型，所以P(A)＝＝.
P(A∩B)＝＝＝.
由条件概率计算公式，得
P(B|A)＝＝＝.
答案：
7．一个箱子中装有质量均匀的10个白球和9个黑球，一次摸出5个球，在已知它们颜色相同的情况下，求该颜色是白色的概率．
解：令事件A为“一次摸出的5个球颜色相同”，
事件B为“一次摸出的5个球全是白色球”，
则n(A)＝C＋C，n(A∩B)＝C，
故P(B|A)＝＝＝.
8．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为，
(1)求白球的个数．
(2)现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，已知第2次取得白球，求第1次取得黑球的概率．
解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A，记袋中白球数为x个．
则P(A)＝1－＝，故x＝5，即白球的个数为5.
(2)令“第2次取得白球”为事件B，“第1次取得黑球”为事件C，则
P(B∩C)＝·＝＝，
P(B)＝＝＝.
故P(C|B)＝＝＝.
课件21张PPT。第二章把握热点考向考点一理解教材新知考点二应用创新演练2.2
条件概率与事件的独立性2.2.1
条
件
概
率应用创新演练见课时跟踪训练(十二)课时跟踪训练(十二) 条件概率
1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(A∩B)等于( )
A. B.
C. D.
2．下列说法正确的是( )
A．P(A|B)＝P(B|A)
B．0C．P(A∩B)＝P(A)·P(B|A)
D．P(A∩B|A)＝P(B)
3．某班学生的考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( )
A. B.
C. D.
4．(辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )
A. B.
C. D.
5．设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为________．
6．如图，四边形EFGH是以O为圆心，半径为1的圆内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝________________.
7．一个箱子中装有质量均匀的10个白球和9个黑球，一次摸出5个球，在已知它们颜色相同的情况下，求该颜色是白色的概率．
8．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为，
(1)求白球的个数．
(2)现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，已知第2次取得白球，求第1次取得黑球的概率．
答 案
1．选C P(B|A)＝，故P(A∩B)＝×＝.
2．选C 由P(B|A)＝知，
P(A∩B)＝P(A)·P(B|A)．
3．选A 设A为事件“数学不及格”，B为事件“语文不及格”，P(B|A)＝＝＝.所以数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为.
4．选B P(A)＝＝＝，P(A∩B)＝＝.
由条件概率计算公式，得P(B|A)＝＝.
5．解析：由题意知，P(A∩B)＝，P(B|A)＝.
由P(B|A)＝，得P(A)＝＝.
答案：
6．解析：因为P(A)表示事件“豆子落在正方形EFGH内”的概率，为几何概型，所以P(A)＝＝.
P(A∩B)＝＝＝.
由条件概率计算公式，得
P(B|A)＝＝＝.
答案：
7．解：令事件A为“一次摸出的5个球颜色相同”，
事件B为“一次摸出的5个球全是白色球”，
则n(A)＝C＋C，n(A∩B)＝C，
故P(B|A)＝＝＝.
8．解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A，记袋中白球数为x个．
则P(A)＝1－＝，故x＝5，即白球的个数为5.
(2)令“第2次取得白球”为事件B，“第1次取得黑球”为事件C，则
P(B∩C)＝·＝＝，
P(B)＝＝＝.
故P(C|B)＝＝＝.
