2．2.3 独立重复试验与二项分布
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独立重复试验
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要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验．试想每次试验的前提是什么？
提示：条件相同．
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1．在相同条件下重复地做n次试验，各次实验的结果相互独立，则称它们为n次独立重复试验．
2．一般地，如果在一次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n).
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二 项 分 布
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在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8.用Ai(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这件事，用B1表示仅投中1次这件事．
问题1：试用Ai表示B1.
提示：B1＝(A1∩2∩3)∪(1∩A2∩3)∪(1∩2∩A3)．
问题2：试求P(B1)．
提示：因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8，
且A1∩2∩3，1∩A2∩3，1∩2∩A3两两互斥，
故P(B1)＝P(A1∩2∩3)＋P(1∩A2∩3)＋P(1∩2∩A3)
＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22
＝3×0.8×0.22.
问题3：用Bk表示投中k次这件事，试求P(B2)和P(B3)．
提示：P(B2)＝3×0.2×0.82，P(B3)＝0.83.
问题4：由以上结果你能得出什么结论？
提示：P(Bk)＝C0.8k0.23－k，k＝0,1,2,3.
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若将事件A发生的次数记为X，事件A不发生的概率为q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中k＝0,1,2，…，n.
于是得到X的分布列
X
0
1
…
k
…
n
P
Cp0qn
Cp1qn－1
…
Cpkqn－k
…
Cpnq0
由于表中的第二行恰好是二项式展开式
(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0各对应项的值，所以称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．
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1．独立重复试验满足的条件：
(1)每次试验是在相同的条件下进行的；
(2)各次试验的结果互不影响，即每次试验是相互独立的；
(3)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
2．二项分布中各个参数的意义：n表示试验的总次数；k表示在n次独立重复试验中成功的次数；p表示试验成功的概率；1－p表示试验不成功的概率．
3．二项分布的特点：
(1)对立性：即一次试验中只有两种结果——“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生；
(2)重复性：试验在相同条件下独立重复地进行n次，保证每一次试验中“成功”的概率和“不成功”的概率都保持不变．
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独立重复试验的概率
[例1] 某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后面第2位)
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
(2)5次预报中至少有2次准确的概率；
(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
[思路点拨] 由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(或准确，或不准确)，符合独立重复试验模型．
[精解详析] (1)记“预报1次准确”为事件A，则P(A)＝0.8.
5次预报相当于5次独立重复试验，
2次准确的概率为
P＝C0.82×0.23＝0.051 2≈0.05.
因此5次预报中恰有2次准确的概率为0.05.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，
其概率为P＝C(0.2)5＋C×0.8×0.24
＝0.006 72≈0.01.
所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99.
(3)由题意知第1,2,4,5次预报中恰有1次准确．
所以概率P＝C0.8×0.23×0.8＝0.020 48≈0.02.
即恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.
[一点通]
1．运用独立重复试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率．
2．解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．
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1．打靶时，甲每打10发可中靶8次，则他打100发子弹有4发中靶的概率为( )
A．C0.84×0.296 B．0.84
C．0.84×0.296 D．0.24×0.296
解析：设X为中靶的次数，则X～B(100,0.8)，
∴P(X＝4)＝C0.84×0.296.
答案：A
2．在4次独立重复试验中，事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：由题意知，Cp0(1－p)4＝1－，p＝.
答案：A
3．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，求：
(1)甲恰好击中目标2次的概率；
(2)乙至少击中目标2次的概率；
(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率．
解：(1)甲恰好击中目标2次的概率为C3＝.
(2)乙至少击中目标2次的概率为
C2·＋C3＝.
(3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2，则A＝B1∪B2，B1，B2为互斥事件．
P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝C2××C3＋C3×C3＝＋＝.
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二项分布问题
[例2] (12分)已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的．
(1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的概率分布列；
(2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率．
[思路点拨] (1)X服从二项分布；(2)共7次试验，前6次试验有3次失败．
[精解详析] (1)由题意，随机变量X可能取值为0,1,2,3，则X～B.?(2分)
即P(X＝0)＝C03＝，?(4分)
P(X＝1)＝C12＝，?(5分)
P(X＝2)＝C21＝，?(6分)
P(X＝3)＝C3＝.?(7分)
所以X的概率分布列为
X
0
1
2
3
P
?(8分)
(2)第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的，因此所求概率为
P＝C33×＝.?(12分)
[一点通]
解决此类问题的步骤：
(1)判断随机变量X服从二项分布；
(2)建立二项分布模型；
(3)确定X的取值并求出相应的概率；
(4)写出分布列．
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4．已知X～B，则P(X＝2)等于( )
A. B.
C. D.
解析：P(X＝2)＝C2×4＝.
答案：D
5．某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现连续射击4次，求击中目标次数X的分布列．
解：击中目标的次数X服从二项分布X～B(4,0.8)，
∴P(X＝k)＝C(0.8)k(0.2)4－k(k＝0,1,2,3,4)，
即X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
6.在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为.
(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；
(2)设这4名考生中选做第15题的学生数为X，求X的分布列．
解：(1)设事件A表示“甲选做第14题”，事件B表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“(A∩B)∪( ∩)”，且事件A，B相互独立．
∴P((A∩B)∪(∩))
＝P(A)P(B)＋P()P()
＝×＋×＝.
(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4，
且X～B.
∴P(X＝k)
＝Ck4－k
＝C4(k＝0,1,2,3,4)．
所以变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
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1．独立重复试验概率求解的关注点：
(1)运用独立重复试验的概率公式求概率时，要判断问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，判断时可依据n次独立重复试验的特征．
(2)解此类题常用到互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．
2．二项式(q＋p)n(p＋q＝1)的展开式中，第k＋1项为Tk＋1＝Cqn－kpk，可见P(X＝k)就是二项式(q＋p)n的展开式中的第k＋1项，故此公式称为二项分布公式．
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1．某地人群中高血压的患病率为p，由该地区随机抽查n人，则( )
A．样本患病率X/n服从B(n，p)
B．n人中患高血压的人数X服从B(n，p)
C．患病人数与样本患病率均不服从B(n，p)
D．患病人数与样本患病率均服从B(n，p)
解析：由二项分布的定义知B正确．
答案：B
2．某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分．已知他解题的正确率为，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是( )
A．C4× B．C5
C．C4×＋C5 D．1－C3×2
解析：该生被选中包括“该生做对4道题”和“该生做对5道题”两种情形，故所求概率为P＝C4×＋C5.
答案：C
3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队的实力之比为3∶2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为( )
A．C3× B．C2×
C．C3× D．C3×
解析：甲打完4局才胜，说明在前三局中甲胜两局，且在第4局中获胜，其概率为P＝C2××＝C3×.
答案：A
4．位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点P移动5次后位于点(2,3)的概率是( )
A.3 B．C5
C．C3 D．CC5
解析：质点由原点移动到(2,3)需要移动5次，且必须有2次向右，3次向上，所以质点的移动方法有C种．而每一次向右移动的概率都是，所以向右移动的次数X～B，所求的概率等于P(X＝2)＝C5.
答案：B
5．下列说法正确的是________．
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)；
②某福彩的中奖概率为P，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，P)；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B.
解析：①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．
答案：①②
6．设X～B(2，p)，若P(X≥1)＝，则p＝________.
解析：∵X～B(2，p)，
∴P(X＝k)＝Cpk(1－p)2－k，k＝0,1,2.
∴P(X≥1)＝1－P(X＜1)＝1－P(X＝0)
＝1－Cp0(1－p)2＝1－(1－p)2，
∴1－(1－p)2＝.
结合0≤p≤1，解之得p＝.
答案：
7．在资料室存放着书籍和杂志，任一读者借书的概率为0.2，而借杂志的概率为0.8，设每人只借一本，现有5位读者依次借阅．
(1)求5人中有两人借杂志的概率；
(2)求5人中至多有2人借杂志的概率．(保留到0.000 1)
解：记“一位读者借杂志”这为事件A，则“此人借书”为事件，5位读者借几次可看作几次独立重复事件．
(1)5人中有2人借杂志的概率为P＝C(0.8)2(0.2)3＝0.051 2.
(2)5人中至多有2人借杂志，包括三种情况：5人都不借杂志；5人中恰有1人借杂志；5人中恰有2人借杂志．
所以求概率为P＝C(0.8)0(0.2)5＋C(0.8)1(0.2)4＋C(0.8)2(0.2)3≈0.057 9.
8．在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从桥上游漂流而下的一个巨大汽油灌，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是.
(1)求油灌被引爆的概率；
(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X，求X不小于4的概率．
解：(1)油灌被引爆的对立事件为油灌没有被引爆，没有引爆的可能情况是射击5次只击中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为
C··4＋5＝，
所以所求的概率为
1－＝.
(2)当X＝4表示前3次中只有一次击中，第四次击中，则
P(X＝4)＝C··2·＝.
当X＝5时，表示前4次射击只击中一次或一次也未击中，第5次可以击中，也可以不击中，
则P(X＝5)＝C··3＋4＝，
所以所求概率为
P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝＋＝.
课件26张PPT。把握热点考向考点一理解教材新知考点二应用创新演练知识点一知识点二第二章2.2
条件概率与事件的独立性2.2.3
独立重复试验与二项分布应用创新演练见课时跟踪训练(十四)课时跟踪训练(十四) 独立重复试验与二项分布
1．某地人群中高血压的患病率为p，由该地区随机抽查n人，则( )
A．样本患病率X/n服从B(n，p)
B．n人中患高血压的人数X服从B(n，p)
C．患病人数与样本患病率均不服从B(n，p)
D．患病人数与样本患病率均服从B(n，p)
2．某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分．已知他解题的正确率为，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是( )
A．C4× B．C5
C．C4×＋C5 D．1－C3×2
3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队的实力之比为3∶2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为( )
A．C3× B．C2×
C．C3× D．C3×
4．位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点P移动5次后位于点(2,3)的概率是( )
A.3 B．C5
C．C3 D．CC5
5．下列说法正确的是________．
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)；
②某福彩的中奖概率为P，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，P)；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B.
6．设X～B(2，p)，若P(X≥1)＝，则p＝________.
7．在资料室存放着书籍和杂志，任一读者借书的概率为0.2，而借杂志的概率为0.8，设每人只借一本，现有5位读者依次借阅．
(1)求5人中有两人借杂志的概率；
(2)求5人中至多有2人借杂志的概率．(保留到0.0001)
8．在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从桥上游漂流而下的一个巨大汽油灌，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是.
(1)求油灌被引爆的概率；
(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X，求X不小于4的概率．
答 案
1．选B 由二项分布的定义知B正确．
2．选C 该生被选中包括“该生做对4道题”和“该生做对5道题”两种情形，故所求概率为P＝C4×＋C5.
3．选A 甲打完4局才胜，说明在前三局中甲胜两局，且在第4局中获胜，其概率为P＝C2××＝C3×.
4．选B 质点由原点移动到(2,3)需要移动5次，且必须有2次向右，3次向上，所以质点的移动方法有C种．而每一次向右移动的概率都是，所以向右移动的次数X～B，所求的概率等于P(X＝2)＝C5.
5．解析：①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．
答案：①②
6．解析：∵X～B(2，p)，
∴P(X＝k)＝Cpk(1－p)2－k，k＝0,1,2.
∴P(X≥1)＝1－P(X＜1)＝1－P(X＝0)
＝1－Cp0(1－p)2＝1－(1－p)2，
∴1－(1－p)2＝.
结合0≤p≤1，解之得p＝.
答案：
7．解：记“一位读者借杂志”这为事件A，则“此人借书”为事件，5位读者借几次可看作几次独立重复事件．
(1)5人中有2人借杂志的概率为P＝C(0.8)2(0.2)3＝0.051 2.
(2)5人中至多有2人借杂志，包括三种情况：5人都不借杂志；5人中恰有1人借杂志；5人中恰有2人借杂志．
所以求概率为P＝C(0.8)0(0.2)5＋C(0.8)1(0.2)4＋C(0.8)2·(0.2)3≈0.0579.
8．解：(1)油灌被引爆的对立事件为油灌没有被引爆，没有引爆的可能情况是射击5次只击中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为
C··4＋5＝，
所以所求的概率为
1－＝.
(2)当X＝4表示前3次中只有一次击中，第四次击中，则
P(X＝4)＝C··2·＝.
当X＝5时，表示前4次射击只击中一次或一次也未击中，第5次可以击中，也可以不击中，
则P(X＝5)＝C··3＋4＝，
所以所求概率为
P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝＋＝.
