2.3/随机变量的数字特征
2．3.1 离散型随机变量的数学期望
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设有12个西瓜，其中重5 kg的有4个，重6 kg的有3个，重7 kg的有5个．
问题1：任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试想X可以取哪些值？
提示：X＝5,6,7.
问题2：X取上述值时对应的概率分别是多少？
提示：，，.
问题3：试想每个西瓜的平均重量该如何求？
提示：＝5×＋6×＋7×.
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1．离散型随机变量的均值或数学期望
设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn则E(X)＝x1p1
＋x2p2＋…＋xnpn叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．
2．超几何分布与二项分布的均值
若离散型随机变量X～B(n，p)，则E(X)＝np；若离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝.
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1．对离散型随机变量均值的理解：
(1)离散型随机变量的均值E(X)是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．
(2)随机变量的分布相同，则它们的均值一定相同；有相同均值的两个分布未必相同；两个不同的分布也可以有相同的均值．
2．离散型随机变量的均值和样本均值之间的区别
随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本的不同而变化．
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求离散型随机变量的期望
[例1] 盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有2节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及期望．
[思路点拨] 明确X的取值，并计算出相应的概率，列出分布列后再计算期望．
[精解详析] X可取的值为1,2,3，
则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××1＝.
抽取次数X的分布列为
X
1
2
3
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＝1.5.
[一点通]
求离散型随机变量的均值的步骤：
(1)根据随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)由期望的定义求出E(X)．
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1．从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数乘积的数学期望是________．
解析：从1,2,3,4,5中任取不同的两个数，其乘积X的值为2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，取每个值的概率都是，∴E(X)＝×(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)＝8.5.
答案：8.5
2．(江西高考)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．
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(1)求小波参加学校合唱团的概率；
(2)求X的分布列和数学期望．
解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C＝28种，X＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝＝.
(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1,0,1，X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形．所以X的分布列为：
X
－2
－1
0
1
P
E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＝－.
二项分布与超几何分布的均值
[例2] 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X，求X的概率分布列及数学期望E(X)．
[思路点拨] (1)利用对立事件发生的概率去求；
(2)X服从二项分布，列出X的值并求其概率，列出概率分布列，并求其数学期望．
[精解详析] (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，
那么P(C)＝1－P()＝1－·p＝.
解得p＝.
(2)由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3.
故P(X＝0)＝C3＝，
P(X＝1)＝C2×＝，
P(X＝2)＝C×2＝，
P(X＝3)＝C3＝.
所以随机变量X的概率分布列为
X
0
1
2
3
P
故随机变量X的数学期望：
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
[一点通]
1．若题中离散型随机变量符合两点分布、二项分布、超几何分布，可直接代入公式求得期望．
2．常见的三种分布的均值
设p为一次试验中成功的概率，则
(1)两点分布E(X)＝p；
(2)二项分布E(X)＝np；
(3)超几何分布，即X～H(n，M，N)，则E(X)＝.
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3．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的个数，则E(X)等于( )
A. B.
C. D．1
解析：法一：P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
∴E(X)＝1×＋2×＝.
法二：由题意知X服从N＝10，M＝3，n＝2的超几何分布，则E(X)＝＝.
答案：A
4．若将例1中的无放回改为有放回，并去掉条件“直到取到好电池为止”，求检验5次取到好电池次数X的数学期望．
解：每次检验取到好电池的概率均为，
故X～B(5，)，
则E(X)＝5×＝3.
5．某运动员投篮命中率为p＝0.6.
(1)求投篮1次时命中次数X的数学期望；
(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望．
解：(1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：
X
0
1
P
0.4
0.6
则E(X)＝p＝0.6.
(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)．则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.
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离散型随机变量期望的实际应用
[例3] (12分)(福建高考)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌
甲
乙
首次出现故障的时间x(年)
0＜x≤1
1＜x≤2
x＞2
0＜x≤2
x＞2
轿车数量(辆)
2
3
45
5
45
每辆利润(万元)
1
2
3
1.8
2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．
[思路点拨] 对(1)、(2)根据表中的数据利用古典概型概率公式求概率和分布列．对(3)分别求出X1、X2的期望，比较大小作出判断．
[精解详析] (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝＝.?(2分)
(2)依题意得，X1的分布列为
X1
1
2
3
P
?(4分)
X2的分布列为
X2
1.8
2.9
P
?(6分)
(3)由(2)得，
E(X1)＝1×＋2×＋3×＝＝2.86(万元)，
E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)． ?(8分)
因为E(X1)＞E(X2)，所以应生产甲品牌轿车． ?(12分)
[一点通]
解答此类题目时，首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的数学期望，并根据期望的大小作出判断．
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6．某游戏射击场规定：①每次游戏射击5发子弹；②5发全部命中奖励40元，命中4发不奖励，也不必付款，命中3发或3发以下，应付款2元．现有一游客，其命中率为0.5.
(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率；
(2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值．
解：(1)设5发子弹命中X(X＝0,1,2,3,4,5)发，则由题意有P(X＝5)＝C0.55＝.
(2)X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P
设游客在一次游戏中获得奖金为Y元，
于是Y的分布列为
Y
－2
0
40
P
故该游客在一次游戏中获得奖金的均值为
E(Y)＝(－2)×＋0×＋40×＝－0.375(元)．
7．两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4、0.1、0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1、0.6、0.3，那么两名战士获胜希望较大的是谁？
解：设这次射击比赛战士甲得X1分，战士乙得X2分，则分布列分别如下：
X1
1
2
3
P
0.4
0.1
0.5
X2
1
2
3
P
0.1
0.6
0.3
根据均值公式，
得E(X1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1；
E(X2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2.
E(X2)>E(X1)，
故这次射击比赛战士乙得分的均值较大，所以乙获胜希望大．
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1．随机变量的期望反映的是离散型随机变量取值的平均水平．在实际问题的决策中，往往把期望最大的方案作为最佳方案进行选择．
2．二项分布的数学期望是求期望的一种常见形式，在理解的基础上应熟练记住．对于二项分布的解答，如果采用E(X)＝np，会大大减少运算量．
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1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是( )
A．0.2 B．0.8
C．1 D．0
解析：因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，
所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.
答案：B
2．已知X～B，Y～B，且E(X)＝15，则E(Y)＝( )
A．15 B．20
C．5 D．10
解析：因为X～B，所以E(X)＝，又E(X)＝15，则n＝30.由于Y～B，可得Y～B，故E(Y)＝30×＝10.
答案：D
3．现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是( )
A．6 B．7.8
C．9 D．12
解析：设此人的得奖金额为X，则X的所有可能取值为12,9,6.P(X＝12)＝＝，P(X＝9)＝＝，P(X＝6)＝＝，故E(X)＝7.8.
答案：B
4．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X的期望为( )
A．2.44 B．3.376
C．2.376 D．2.4
解析：X的可能取值为3,2,1,0，P(X＝3)＝0.6；P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24；P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096；P(X＝0)＝0.43＝0.064.所以E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＝2.376.
答案：C
5．设随机变量X等可能地取1,2,3，…，n，若P(X<4)＝0.3，则E(X)等于________．
解析：根据题意，X取1,2,3，…，n的概率都是，
则P(X<4)＝＝0.3，解得n＝10，
则E(X)＝1×＋2×＋…＋10×＝5.5.
答案：5.5
6．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.
解析：因为P(X＝0)＝＝(1－p)2×，所以p＝.随机变量X的可能值为0,1,2,3，
因此P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝×()2＋×()2＝，
P(X＝2)＝×()2×2＋×()2＝，
P(X＝3)＝×()2＝，
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
答案：
7．(浙江高考)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．
(1)求X的分布列；
(2)求X的数学期望E(X)．
解：(1)由题意得X取3,4,5,6，
且P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.
所以X的分布列为
X
3
4
5
6
P
(2)由(1)知
E(X)＝3·P(X＝3)＋4·P(X＝4)＋5·P(X＝5)＋6·P(X＝6)＝.
8．小明家住C区，他的学校在D区，从家骑自行车到学校的路有L1，L2两条路线(如图)，L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.
/
(1)若走L1路线，求至少遇到1次红灯的概率；
(2)若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；
(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．
解：(1)法一：设“走L1路线至少遇到一次红灯”为事件A，
则P(A)＝C××()2＋C×()2×＋C×()3×()0＝，
所以走L1路线，至少遇到一次红灯的概率为.
法二：设“走L1路线没有遇到一次红灯”为事件A，则“走L1路线至少遇到一次红灯”为事件，
故P(A)＝(1－)(1－)(1－)＝××＝，
所以P()＝1－P(A)＝1－＝，
所以走L1路线，至少遇到一次红灯的概率为.
(2)依题意，X的可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝(1－)×(1－)＝，
P(X＝1)＝×(1－)＋(1－)×＝，
P(X＝2)＝×＝.
随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
所以E(X)＝×0＋×1＋×2＝.
(3)设选择L1路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布，Y～B(3，)，所以E(Y)＝3×＝2>E(X)，所以应选择L2路线．
课件29张PPT。第二章把握热点考向理解教材新知应用创新演练2.3
随机变量的数字特征2.3.1
离散型随机变量的数学期望考点一考点二考点三应用创新演练见课时跟踪训练(十五)课时跟踪训练(十五) 离散型随机变量的数学期望
1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是( )
A．0.2 B．0.8 C．1 D．0
2．已知X～B，Y～B，且E(X)＝15，则E(Y)＝( )
A．15 B．20 C．5 D．10
3．现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是( )
A．6 B．7.8 C．9 D．12
4．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X的期望为( )
A．2.44 B．3.376 C．2.376 D．2.4
5．设随机变量X等可能地取1,2,3，…，n，若P(X<4)＝0.3，则E(X)等于________．
6．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.
7．(浙江高考)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．
(1)求X的分布列；
(2)求X的数学期望E(X)．
8．小明家住C区，他的学校在D区，从家骑自行车到学校的路有L1，L2两条路线(如图)，L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.
(1)若走L1路线，求至少遇到1次红灯的概率；
(2)若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；
(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．
答 案
1．选B 因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，
所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.
2．选D 因为X～B，所以E(X)＝，又E(X)＝15，则n＝30.由于Y～B，可得Y～B，故E(Y)＝30×＝10.
3．选B 设此人的得奖金额为X，则X的所有可能取值为12,9,6.P(X＝12)＝＝，P(X＝9)＝＝，P(X＝6)＝＝，故E(X)＝7.8.
4．选C X的可能取值为3,2,1,0，P(X＝3)＝0.6；P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24；P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096；P(X＝0)＝0.43＝0.064.所以E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＝2.376.
5．解析：根据题意，X取1,2,3，…，n的概率都是，
则P(X<4)＝＝0.3，解得n＝10，
则E(X)＝1×＋2×＋…＋10×＝5.5.
答案：5.5
6．解析：因为P(X＝0)＝＝(1－p)2×，所以p＝.随机变量X的可能值为0,1,2,3，
因此P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝×()2＋×()2＝，
P(X＝2)＝×()2×2＋×()2＝，
P(X＝3)＝×()2＝，
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
答案：
7．解：(1)由题意得X取3,4,5,6，
且P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.
所以X的分布列为
X
3
4
5
6
P
(2)由(1)知
E(X)＝3·P(X＝3)＋4·P(X＝4)＋5·P(X＝5)＋6·P(X＝6)＝.
8．解：(1)法一：设“走L1路线至少遇到一次红灯”为事件A，
则P(A)＝C××()2＋C×()2×＋C×()3×()0＝，
所以走L1路线，至少遇到一次红灯的概率为.
法二：设“走L1路线没有遇到一次红灯”为事件A，则“走L1路线至少遇到一次红灯”为事件，
故P(A)＝(1－)(1－)(1－)＝××＝，
所以P()＝1－P(A)＝1－＝，
所以走L1路线，至少遇到一次红灯的概率为.
(2)依题意，X的可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝(1－)×(1－)＝，
P(X＝1)＝×(1－)＋(1－)×＝，
P(X＝2)＝×＝.
随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
所以E(X)＝×0＋×1＋×2＝.
(3)设选择L1路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布，Y～B(3，)，所以E(Y)＝3×＝2>E(X)，所以应选择L2路线．
