_2.4正态分布
1．正态曲线
正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)＝，x∈R，其中参数μ为正态分布变量的数学期望，μ∈(－∞，＋∞)；σ为正态分布变量的标准差，σ∈(0，＋∞)．正态变量的概率密度函数(即f(x))的图象叫做正态曲线．
期望为μ，标准差为σ的正态分布通常记作N(μ，σ2)，μ＝0，σ＝1的正态分布叫标准正态分布．
2．正态曲线的性质
(1)曲线在x轴的上方，并且关于直线x＝μ对称；
(2)曲线在x＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；
(3)曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”．
3．正态分布的3σ原则
P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%；
P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%；
P(μ－3σ＜X＜μ＋2σ)＝99.7%.
可知正态变量的取值几乎都在距x＝μ三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．
1．正态分布密度函数及正态曲线完全由变量μ和σ确定．参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
2．对于正态曲线的性质，应结合正态曲线的特点去理解、记忆．
正态分布的概念及正态曲线的性质
[例1] 如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
[思路点拨] 给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式．
[精解详析] 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20.
由＝，得σ＝.
于是概率密度函数的解析式是
f(x)＝·，x∈(－∞，＋∞)，
总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.
[一点通]
利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ，具体方法如下：
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.
(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ.
1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝，则这个正态总体的均值与标准差分别是( )
A．10与8 B．10与2
C．8与10 D．2与10
解析：由正态曲线f(x)＝知，
即μ＝10，σ＝2.
答案：B
2．如图是正态分布N(μ，σ)，N(μ，σ)，N(μ，σ)(σ1，σ2，σ3>0)相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )
A．σ1>σ2>σ3 B．σ3>σ2>σ1
C．σ1>σ3>σ2 D．σ2>σ1>σ3
解析：由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1>σ2>σ3.
答案：A
正态分布中的概率计算
[例2] 在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率．
[思路点拨] 解答本题可先求出X在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在(－1,1)内取值的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．
[精解详析] 由题意得μ＝1，σ＝2，
所以P(－1又因为正态曲线关于x＝1对称，
所以P(－1[一点通]
解答此类问题的关键在于充分利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化，在此过程中注意数形结合思想的运用．
3．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.
解析：若随机变量X～N(μ，σ2)，则其正态密度曲线关于x＝μ对称，故P(X≤μ)＝.
答案：
4．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X解析：∵μ＝2，P(X>c＋1)＝P(X∴＝2，解得c＝2.
答案：2
5．若X～N(5,1)，求P(5解：∵X～N(5,1)，∴μ＝5，σ＝1.
因为该正态曲线关于x＝5对称，
所以P(5正态分布在实际生活中的应用
[例3] (10分)据调查统计，某市高二学生中男生的身高X(单位：cm)服从正态分布N(174,9)．若该市共有高二男生3 000人，试估计该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数．
[思路点拨] 因为μ＝174，σ＝3，所以可利用正态分布的性质可以求解．
[精解详析] 因为身高X～N(174,9)，
所以μ＝174，σ＝3，
所以μ－2σ＝174－2×3＝168，
μ＋2σ＝174＋2×3＝180，
所以身高在(168,180]范围内的概率为0.954 4.
又因为μ＝174.
所以身高在(168,174)和(174,180)范围内的概率相等，均为0.477 2，
故该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数是
3 000×0.477 2≈1 432(人)．
[一点通]
解决此类问题一定要灵活把握3σ原则，将所求概率向P(μ－σ6．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分)服从X～N(50,102)，则他在时间段(30,70)内赶到火车站的概率为________．
解析：∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10.
∴P(30答案：0.954 4
7．灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为X(单位：小时)，已知X～N(1 000,302)，要使灯泡的平均寿命为1000小时的概率约为99.7%，则灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上？
解：因为灯泡的使用寿命X～N(1 000,302)，
故X在(1 000－3×30,1 000＋3×30)的概率为99.7%，
即X在(910,1 090)内取值的概率约为99.7%，
故灯泡的最低使用寿命应控制在910小时以上．
根据正态曲线的对称性求解概率的关键要把握三点：
(1)正态曲线与x轴围成的图形面积为1；
(2)正态曲线关于直线x＝μ对称，则正态曲线在对称轴x＝μ的左右两侧与x轴围成的面积都为0.5；
(3)可以利用等式P(X≥μ＋c)＝P(X≤μ－c)(c＞0)对目标概率进行转化求解．
1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的期望为( )
A．1 B．－1
C．0 D．不确定
解析：因为X＝μ为其对称轴，所以μ＝0.
答案：C
2．设X～N(10,0.64)，则D(X)等于( )
A．0.8 B．0.64
C．0.642 D．6.4
解析：∵X～N(10,0.64)，∴D(X)＝0.64.
答案：B
3．已知随机变量X～N(0，σ2)．若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝( )
A．0.477 B．0.628
C．0.954 D．0.977
解析：因为随机变量X～N(0，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝0对称．
又P(X>2)＝0.023，所以P(X<－2)＝0.023，
所以P(－2≤X≤2)＝1－P(X>2)－P(X<－2)＝1－2×0.023＝0.954.
答案：C
4．设随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，若P(X>c)＝a，则P(X>4－c)等于( )
A．a B．1－a
C．2a D．1－2a
解析：因为X服从正态分布N(2，σ2)，
所以正态曲线关于直线x＝2对称，
所以P(X>4－c)＝P(Xc)＝1－a.
答案：B
5．己知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点．
解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2.
答案：0.2
6．如果随机变量X～N(μ，σ2)，且E(X)＝3，D(X)＝1，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X＞4)＝________.
解析：因为X～N(μ，σ2)，E(X)＝3，
D(X)＝1，故μ＝3，σ2＝1.
又P(2≤X≤4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 6，
故P(X＞4)＝＝0.158 7.
答案：0.158 7
7．已知一个正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，且该函数的最大值为.
(1)求该正态分布密度曲线对应的函数解析式；
(2)求正态总体在(－4,4]上的概率．
解：(1)因为该正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0，
由＝，解得σ＝4，
所以该函数的解析式为
f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)．
(2)P(－4＝P(μ－σ8．某糖厂用自动打包机打包，每包重量X(kg)服从正态分布N(100,1.22)．一公司从该糖厂进货1 500包，试估计重量在下列范围内的糖包数量．
(1)(100－1.2,100＋1.2)；
(2)(100－3×1.2,100＋3×1.2)．
解：(1)由正态分布N(100,1.22)，
知P(100－1.2＜X≤100＋1.2)＝0.682 6.
所以糖包重量在(100－1.2,100＋1.2)内的包数为1 500×0.682 6≈1 024.
(2)糖包重量在(100－3×1.2,100＋3×1.2)内的包数为1 500×0.997 4≈1 496.
课件21张PPT。第二章把握热点考向理解教材新知应用创新演练2.4
正态分布考点一考点二考点三应用创新演练见课时跟踪训练(十七)课时跟踪训练(十七) 正态分布
1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的期望为( )
A．1 B．－1
C．0 D．不确定
2．设X～N(10,0.64)，则D(X)等于( )
A．0.8 B．0.64
C．0.642 D．6.4
3．已知随机变量X～N(0，σ2)．若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝( )
A．0.477 B．0.628
C．0.954 D．0.977
4．设随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，若P(X>c)＝a，则P(X>4－c)等于( )
A．a B．1－a
C．2a D．1－2a
5．己知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点．
6．如果随机变量X～N(μ，σ2)，且E(X)＝3，D(X)＝1，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X＞4)＝________.
7．已知一个正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，且该函数的最大值为.
(1)求该正态分布密度曲线对应的函数解析式；
(2)求正态总体在(－4,4]上的概率．
8．某糖厂用自动打包机打包，每包重量X(kg)服从正态分布N(100,1.22)．一公司从该糖厂进货1 500包，试估计重量在下列范围内的糖包数量．
(1)(100－1.2,100＋1.2)；
(2)(100－3×1.2,100＋3×1.2)．
答 案
1．选C 因为X＝μ为其对称轴，所以μ＝0.
2．选B ∵X～N(10,0.64)，∴D(X)＝0.64.
3．选C 因为随机变量X～N(0，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝0对称．
又P(X>2)＝0.023，所以P(X<－2)＝0.023，
所以P(－2≤X≤2)＝1－P(X>2)－P(X<－2)＝1－2×0.023＝0.954.
4．选B 因为X服从正态分布N(2，σ2)，
所以正态曲线关于直线x＝2对称，
所以P(X>4－c)＝P(Xc)＝1－a.
5．解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2.
答案：0.2
6．解析：因为X～N(μ，σ2)，E(X)＝3，
D(X)＝1，故μ＝3，σ2＝1.
又P(2≤X≤4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 6，
故P(X＞4)＝＝0.158 7.
答案：0.158 7
7．解：(1)因为该正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0，
由＝，解得σ＝4，
所以该函数的解析式为
f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)．
(2)P(－4＝P(μ－σ8．解：(1)由正态分布N(100,1.22)，
知P(100－1.2＜X≤100＋1.2)＝0.682 6.
所以糖包重量在(100－1.2,100＋1.2)内的包数为1 500×0.682 6≈1 024.
(2)糖包重量在(100－3×1.2,100＋3×1.2)内的包数为1 500×0.997 4≈1 496.
