知识整合与阶段检测
/[对应学生用书P41]
1．离散型随机变量的分布列
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
有时为了简单起见，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．
(2)求随机变量的分布列的步骤可以归纳为：
①明确随机变量X的取值；
②准确求出X取每一个值时的概率；
③列成表格的形式．
[说明]
已知随机变量的分布列，则它在某范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值时的概率之和．
(3)离散型随机变量的分布列的性质：
①pi≥0，i＝1,2，…，n；
②i＝1.
[说明]
分布列的两个性质是求解有关参数问题的依据．
2．条件概率与独立事件
(1)条件概率：一般地，设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．
(2)事件的相互独立性：设A，B为两个事件，如果P(B∩A)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
[说明]
(1)利用公式P(A|B)＝P(A)和P(A∩B)＝P(A)P(B)说明事件A，B的相互独立性是比较困难的，通常是直观判断一个事件的发生与否是否影响另一个事件的发生．
(2)独立事件强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，互斥事件则是强调两个事件不能同时发生．
3．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，为随机变量X的标准差．
4．几种常见的分布列
(1)二点分布：如果随机变量X的分布列具有下表的形式，则称X服从二点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率.
X
0
1
P
1－p
p
二点分布又称0－1分布、伯努利分布．
(2)超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则X＝k的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，即超几何分布的分布列为
X
0
1
…
m
P
…
其中k＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋.
[注意] 解决超几何分布的有关问题时，注意识别模型，即将试验中涉及的事物看成相应的产品、次品，得到超几何分布的参数n，M，N.
(3)二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．二点分布是当n＝1时的二项分布，即二点分布是二项分布的特殊形式．
[说明]
若随机变量X～B(n，p)，则需明确在n次独立重复试验中，每次试验的两种结果中哪一个结果出现k次．
(4)二项分布的均值与方差：
①二点分布：若随机变量X服从参数为p的二点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
②二项分布：若随机变量X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
5．正态分布
(1)正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．
(2)正态分布的3σ原则：若随机变量X～N(μ，σ2)，则
P(μ－σ＜X<μ＋σ)＝68.3%，
P(μ－2σ＜X<μ＋2σ)＝95.4%，
P(μ－3σ＜X<μ＋3σ)＝99.7%.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．
/
(时间：90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)
1．已知10件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用X表示，那么X的取值为( )
A．0,1 B．0,2
C．1,2 D．0,1,2
解析：由于次品有2件，从中任取3件，则次品数可以是0,1,2.
答案：D
2．某射手射击所得的环数X的分布列如下：
X
5
6
7
8
9
10
P
0.05
0.15
0.2
0.3
0.25
0.05
如果命中8～10环为优秀，则该射手射击一次为优秀的概率是( )
A．0.3 B．0.4
C．0.5 D．0.6
解析：从分布列中不难看出该射手命中环数不小于8环的概率是0.3＋0.25＋0.05＝0.6.
答案：D
3．若X的分布列为
X
0
1
P
0.5
a
则D(X)＝( )
A．0.8 B．0.25
C．0.4 D．0.2
解析：由题意知0.5＋a＝1，E(X)＝0×0.5＋a＝a＝0.5，所以D(X)＝0.25.
答案：B
4．某射击运动员射击一次，命中目标的概率为0.9，问他连续射击两次都没命中的概率是( )
A．0.64 B．0.56
C．0.01 D．0.09
解析：Ai表示“第i次击中目标”，i＝1,2，
则P(1∩2)＝P(1)P(2)＝(1－0.9)×(1－0.9)＝0.01.
答案：C
5．若随机变量X的密度函数为f(x)＝，X在(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p1，p2，则p1，p2的关系为( )
A．p1>p2 B．p1
C．p1＝p2 D．不确定
解析：由题意知μ＝0，σ＝1，所以曲线关于x＝0对称，所以p1＝p2.
答案：C
6．某种型号的印刷机在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，现有四台这种型号的印刷机，且同时各自独立工作，则在一小时内至多有2台需要照看的概率为( )
A．0.153 6 B．0.180 8
C．0.563 2 D．0.972 8
解析：“一小时内至多有2台印刷机需要照看”的事件包括有0,1,2台需要照看三种可能．因此，所求概率为C·0.20·0.84＋C·0.21·0.83＋C·0.22·0.82＝0.972 8.
答案：D
7．设随机变量X～N(μ，σ2)且P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(0A.p B．1－p
C．1－2p D.－p
解析：由正态曲线的对称性和P(X<1)＝，故μ＝1，即正态曲线关于直线x＝1对称，
于是P(X<0)＝P(X>2)，
所以P(02)＝－p.
答案：D
8．设由“0”、“1”组成的三位数组中，若用A表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B表示“第一位数字为‘0’的事件”，则P(A|B)＝( )
A. B.
C. D.
解析：∵P(B)＝＝，P(A∩B)＝＝，∴P(A|B)＝＝.
答案：C
9．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为X，则D(X)＝
( )
A. B.
C. D．5
解析：两枚硬币同时出现反面的概率为×＝，故X～B(10，)，
因此D(X)＝10××(1－)＝.
答案：A
10.如图，已知面积为1的正三角形ABC三边的中点分别为D、E、F，从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为X(三点共线时，规定X＝0)．则E(X)＝( )
A. B.
C. D.
解析：由题意知X可取0，，，1，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝)＝＝，
P(X＝)＝＝，P(X＝1)＝.
则E(X)＝×＋×＋＝.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中横线上)
11．已知随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.3
x
0.1
则x＝________，P(1≤X<3)＝________，E(X)＝________.
解析：x＝1－(0.1＋0.2＋0.3＋0.1)＝0.3，
P(1≤X<3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.2＋0.3＝0.5，
E(X)＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.1＝2.1.
答案：0.3 0.5 2.1
12．已知X～N(－1，σ2)，若P(－3≤X≤－1)＝0.4，则P(－3≤X≤1)的值是________．
解析：由于X～N(－1，σ2)，且区间[－3，－1]与[－1,1]关于x＝－1对称，所以P(－3≤X≤1)＝2P(－3≤X≤－1)＝0.8.
答案：0.8
13．口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为________．
解析：由于每次有放回摸球，故该试验可看作独立重复试验，即7次试验中摸取白球的次数ξ～B.由S7＝3可知，7次试验中5次摸白球，2次摸红球，
故P＝C52＝.
答案：
14．某家公司有三台机器A1，A2，A3生产同一种产品，生产量分别占总产量的，，，且其产品的不良率分别各占其产量的2.0%,1.2%,1.0%，任取此公司的一件产品为不良品的概率为________，若已知此产品为不良品，则此产品由A1所生产出的概率为________．
解析：令A，B，C，分别表示A1，A2，A3生产的不良品，则任取一件产品为不良品的概率为P(A)＋P(B)＋P(C)＝×2.0%＋×1.2%＋×1.0%＝.
令D表示任取一件为不良品，则
P(A|D)＝＝＝.
答案：
三、解答题(本大题共4个小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞，求2张都是假钞的概率．
解：若A表示“抽到的2张都为假钞”，B表示“抽到的2张中至少有1张为假钞”，则所求概率为P(A|B)．
又P(A∩B)＝P(A)＝；P(B)＝，
所以P(A|B)＝＝＝＝.
16．(本小题满分12分)甲、乙两人独立解某一道数学题，已知甲独立解出的概率为0.6，且两人中至少有一人解出的概率为0.92.
(1)求该题被乙独立解出的概率；
(2)求解出该题的人数X的分布列．
解：(1)设甲、乙分别解出此题的事件为A，B，
则P(A)＝0.6，
P＝1－P(∩)＝1－0.4·P()＝0.92，
解得P()＝0.2，∴P(B)＝0.8.
(2)P(X＝0)＝P()·P()＝0.4×0.2＝0.08，
P(X＝1)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.44，
P(X＝2)＝P(A)·P(B)＝0.6×0.8＝0.48，
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
0.08
0.44
0.48
17．(本小题满分12分)盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用．
(1)从盒中每次随机抽取1个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率；
(2)从盒中随机抽取2个零件，若已经使用的立即放回盒中，没有使用的使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X，求X的分布列．
解：(1)记“从盒中随机抽取1个零件，抽到的是使用过的零件”为事件A，
则P(A)＝.
所以3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率
P＝C()()2＝.
(2)随机变量X的所有取值为2,3,4.
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝；
P(X＝4)＝＝.
所以，随机变量X的分布列为
X
2
3
4
P
18．(本小题满分14分)(天津高考)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ)．
解：依题意，这4个人中每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，
则P(Ai)＝C()i()4－i.
(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率
P(A2)＝C()2()2＝.
(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4.由于A3与A4互斥，故
P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C()3()＋C()4＝.
所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.
(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.
由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故
P(ξ＝0)＝P(A2)＝，
P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝，
P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝.
所以ξ的分布列是
ξ
0
2
4
P
随机变量ξ的数学期望
E(ξ)＝0×＋2×＋4×＝.
课件13张PPT。知识整合与阶段检测核心要点归纳阶段质量检测第二章阶段质量检测见阶段质量检测(二)阶段质量检测(二) 概 率
(时间：90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)
1．已知10件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用X表示，那么X的取值为( )
A．0,1 B．0,2
C．1,2 D．0,1,2
2．某射手射击所得的环数X的分布列如下：
X
5
6
7
8
9
10
P
0.05
0.15
0.2
0.3
0.25
0.05
如果命中8～10环为优秀，则该射手射击一次为优秀的概率是( )
A．0.3 B．0.4
C．0.5 D．0.6
3．若X的分布列为
X
0
1
P
0.5
a
则D(X)＝( )
A．0.8 B．0.25
C．0.4 D．0.2
4．某射击运动员射击一次，命中目标的概率为0.9，问他连续射击两次都没命中的概率是( )
A．0.64 B．0.56
C．0.01 D．0.09
5．若随机变量X的密度函数为f(x)＝，X在(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p1，p2，则p1，p2的关系为( )
A．p1>p2 B．p1C．p1＝p2 D．不确定
6．某种型号的印刷机在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，现有四台这种型号的印刷机，且同时各自独立工作，则在一小时内至多有2台需要照看的概率为( )
A．0.153 6 B．0.180 8
C．0.563 2 D．0.972 8
7．设随机变量X～N(μ，σ2)且P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(0A.p B．1－p
C．1－2p D.－p
8．设由“0”、“1”组成的三位数组中，若用A表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B表示“第一位数字为‘0’的事件”，则P(A|B)＝( )
A. B.
C. D.
9．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为X，则D(X)＝( )
A. B.
C. D．5
10.如图，已知面积为1的正三角形ABC三边的中点分别为D、E、F，从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为X(三点共线时，规定X＝0)．则E(X)＝( )
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中横线上)
11．已知随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.3
x
0.1
则x＝________，P(1≤X<3)＝________，E(X)＝________.
12．已知X～N(－1，σ2)，若P(－3≤X≤－1)＝0.4，则P(－3≤X≤1)的值是________．
13．口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为________．
14．某家公司有三台机器A1，A2，A3生产同一种产品，生产量分别占总产量的，，，且其产品的不良率分别各占其产量的2.0%,1.2%,1.0%，任取此公司的一件产品为不良品的概率为__________，若已知此产品为不良品，则此产品由A1所生产出的概率为__________．
三、解答题(本大题共4个小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞，求2张都是假钞的概率．
16．(本小题满分12分)甲、乙两人独立解某一道数学题，已知甲独立解出的概率为0.6，且两人中至少有一人解出的概率为0.92.
(1)求该题被乙独立解出的概率；
(2)求解出该题的人数X的分布列．
17．(本小题满分12分)盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用．
(1)从盒中每次随机抽取1个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率；
(2)从盒中随机抽取2个零件，若已经使用的立即放回盒中，没有使用的使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X，求X的分布列．
18．(本小题满分14分)(天津高考)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ)．
答 案
1．选D 由于次品有2件，从中任取3件，则次品数可以是0,1,2.
2．选D 从分布列中不难看出该射手命中环数不小于8环的概率是0.3＋0.25＋0.05＝0.6.
3．选B 由题意知0.5＋a＝1，E(X)＝0×0.5＋a＝a＝0.5，所以D(X)＝0.25.
4．选C Ai表示“第i次击中目标”，i＝1,2，
则P(1∩2)＝P(1)P(2)＝(1－0.9)×(1－0.9)＝0.01.
5．选C 由题意知μ＝0，σ＝1，所以曲线关于x＝0对称，所以p1＝p2.
6．选D “一小时内至多有2台印刷机需要照看”的事件包括有0,1,2台需要照看三种可能．因此，所求概率为C·0.20·0.84＋C·0.21·0.83＋C·0.22·0.82＝0.972 8.
7．选D 由正态曲线的对称性和P(X<1)＝，故μ＝1，即正态曲线关于直线x＝1对称，
于是P(X<0)＝P(X>2)，
所以P(02)＝－p.
8．选C ∵P(B)＝＝，P(A∩B)＝＝，
∴P(A|B)＝＝.
9．选A 两枚硬币同时出现反面的概率为×＝，
故X～B(10，)，
因此D(X)＝10××(1－)＝.
10．选B 由题意知X可取0，，，1，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝)＝＝，
P(X＝)＝＝，P(X＝1)＝.
则E(X)＝×＋×＋＝.
11．解析：x＝1－(0.1＋0.2＋0.3＋0.1)＝0.3，
P(1≤X<3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.2＋0.3＝0.5，
E(X)＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.1＝2.1.
答案：0.3 0.5 2.1
12．解析：由于X～N(－1，σ2)，且区间[－3，－1]与[－1,1]关于x＝－1对称，所以P(－3≤X≤1)＝2P(－3≤X≤－1)＝0.8.
答案：0.8
13．解析：由于每次有放回摸球，故该试验可看作独立重复试验，即7次试验中摸取白球的次数ξ～B.由S7＝3可知，7次试验中5次摸白球，2次摸红球，
故P＝C52＝.
答案：
14．解析：令A，B，C，分别表示A1，A2，A3生产的不良品，则任取一件产品为不良品的概率为P(A)＋P(B)＋P(C)＝×2.0%＋×1.2%＋×1.0%＝.
令D表示任取一件为不良品，则
P(A|D)＝＝＝.
答案：
15．解：若A表示“抽到的2张都为假钞”，B表示“抽到的2张中至少有1张为假钞”，则所求概率为P(A|B)．
又P(A∩B)＝P(A)＝；P(B)＝，
所以P(A|B)＝＝＝＝.
16．解：(1)设甲、乙分别解出此题的事件为A，B，
则P(A)＝0.6，
P＝1－P(∩)＝1－0.4·P()＝0.92，
解得P()＝0.2，∴P(B)＝0.8.
(2)P(X＝0)＝P()·P()＝0.4×0.2＝0.08，
P(X＝1)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.44，
P(X＝2)＝P(A)·P(B)＝0.6×0.8＝0.48，
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
0.08
0.44
0.48
17．解：(1)记“从盒中随机抽取1个零件，抽到的是使用过的零件”为事件A，
则P(A)＝.
所以3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率
P＝C()()2＝.
(2)随机变量X的所有取值为2,3,4.
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝；
P(X＝4)＝＝.
所以，随机变量X的分布列为
X
2
3
4
P
18.解：依题意，这4个人中每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，
则P(Ai)＝C()i()4－i.
(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率
P(A2)＝C()2()2＝.
(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4.由于A3与A4互斥，故
P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C()3()＋C()4＝.
所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.
(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.
由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故
P(ξ＝0)＝P(A2)＝，
P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝，
P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝.
所以ξ的分布列是
ξ
0
2
4
P
随机变量ξ的数学期望
E(ξ)＝0×＋2×＋4×＝.
