/
_3.1/独立性检验
/
1．2×2列联表
B
合计
A
n11
n12
n1＋
n21
n22
n2＋
合计
n＋1
n＋2
n
其中：n＋1＝n11＋n21，n＋2＝n12＋n22，n1＋＝n11＋n12，n2＋＝n21＋n22，n＝n11＋n21＋n12＋n22.
2．独立性检验
(1)χ2＝.
(2)经过对χ2统计量分布的研究，已经得到了两个临界值：3.841与6.635.
①当χ2>3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；
②当χ2>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；
③当χ2≤3.841时，认为事件A与B是无关的．
/
1．χ2计算公式中的n11n22与n12n21分别为表中主对角线(左上→右下)上的两数据之积和副对角线(左下→右上)上的两数据之积．其中n为样本容量．
2．χ2的构造思路：当统计假设H0：P(AB)＝P(A)P(B)成立时，P(B)＝P()P(B)，P(A )＝P(A)P()，P( )＝P()P()都成立，实际计算中是用事件的频率近似代替相应的概率，因而χ2的结果也受到样本数据的影响，具有随机性．
/
/
两个变量的独立性检验
[例1] 为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人的调查结果如下：
患胃病
未患胃病
合计
生活不规律
60
260
320
生活有规律
20
200
220
合计
80
460
540
根据以上数据判断40岁以上的人患胃病与生活规律有关吗？
[思路点拨] 先计算χ2的数值，然后比较χ2与3.841及6.635的大小，进而得出是否有关的结论．
[精解详析] 由公式得χ2＝
≈9.638.
∵9.638>6.635，
∴有99%的把握说40岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律的人易患胃病．
[一点通]
本题利用χ2公式计算出χ2的值，再利用临界性的大小关系来判断假设是否成立，解题时应注意准确代数与计算，不可错用公式，要准确进行比较与判断．
/
1．对于事件A与B及统计量χ2，下列说法正确的是( )
A．χ2越大，“A与B有关系”的可信程度越小
B．χ2越小，“A与B有关系”的可信程度越小
C．χ2越接近于0，“A与B没有关系”的可信程度越小
D．χ2越大，“A与B没有关系”的可信程度越大
解析：χ2越大，“A与B没有关系”的可信程度越小，则“A与B有关系”的可信程度越大，即χ2越小，“A与B有关系”的可信程度越小．
答案：B
2．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )
表1 表2
成绩
性别
不及格
及格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
视力
性别
好
差
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52
表3 表4
智商
性别
偏高
正常
总计
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52
阅读量
性别
丰富
不丰富
总计
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52
A．成绩 B．视力
C．智商 D．阅读量
解析：因为χ＝＝，
χ＝＝，
χ＝＝，
χ＝＝，
则有χ>χ>χ>χ，所以阅读量与性别关联的可能性最大．
答案：D
/
独立性检验的实际应用
[例2] (10分)在调查的480名男士中有38名患有色盲，520名女士中有6名患有色盲，利用独立性检验的方法来判断色盲与性别是否有关？
[思路点拨] 首先作出调查数据的列联表，再根据列联表进行计算，最后利用计算的结果作出判断．
[精解详析] 根据题目所给的数据作出如下的列联表：
色盲
不色盲
合计
男
38
442
480
女
6
514
520
合计
44
956
1 000
?(4分)
将列联表中的数据代入公式χ2＝，
得χ2＝≈27.139， ?(8分)
由于χ2＝27.139>6.635，所以我们有99%的把握认为性别与患色盲有关系． ?(10分)
[一点通]
1．独立性检验方法有三步：一是列表，二是计算，三是判断．
2．注意判断时把计算结果与两个临界值3.841与6.635比较，其值越大，有关的可信度越高．
/
3．一次对人们休闲方式的调查中共调查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
(2)能否有99%的把握认为性别与休闲方式有关系？
解：(1)2×2列联表如下：
休闲方式
性别
看电视
运动
合计
女
43
27
70
男
21
33
54
合计
64
60
124
(2)由公式得
χ2＝≈6.201<6.635.
故没有99%的把握认为性别与休闲方式有关．
/
1．使用χ2统计量作独立性检验时，2×2列联表中的数据n11，n12，n21，n22都要大于5.
2．独立性检验类似于数学中的反证法，要确认“两个变量有关系”这一结论成立的可信度，首先假设结论不成立，在假设下，我们构造的统计量χ2应该很小．如果由观测数据计算得到的χ2值很大，则在一定程度上说明假设不合理，再根据不合理的程度与临界值的关系作出判断．
/
1．给出下列实际问题：
①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种病是否有区别；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟是否与性别有关系；⑤网吧与青少年的犯罪是否有关系．其中用独立性检验可以解决的问题有( )
A．①②③ B．②④⑤
C．②③④⑤ D．①②③④⑤
解析：独立性检验是判断两个分类变量是否有关系的方法，而①③都是概率问题，不能用独立性检验．
答案：B
2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
合计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
合计
60
50
110
经计算得
χ2＝≈7.8.
则正确结论是( )
A．在犯错误的概率不超过0.1% 的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1% 的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
解析：根据独立性检验的思想方法，正确选项为C.
答案：C
3．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是( )
A．若χ2>6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病
B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病
C．若从χ2统计量中得出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误
D．以上三种说法都不正确
解析：A、B是对χ2的误解，99%的把握认为吸烟和患肺病有关，是指通过大量的观察实验得出的一个数值，并不是100个人中必有99个人患肺病，也可能这100个人全健康．
答案：C
4．考察棉花种子经过处理与生病之间的关系，得到下表中的数据：
种子处理
种子未处理
合计
得病
32
101
133
不得病
61
213
274
合计
93
314
407
根据以上数据可得出( )
A．种子是否经过处理与是否生病有关
B．种子是否经过处理与是否生病无关
C．种子是否经过处理决定是否生病
D．有90%的把握认为种子经过处理与生病有关
解析：χ2＝≈0.164<3.841，即没有充足的理由认为种子是否经过处理跟生病有关．
答案：B
5．下面2×2列联表中
B
合计
A
a
21
73
2
25
27
合计
b
46
a，b的值分别为________．
解析：∵a＋21＝73，∴a＝52.
又∵a＋2＝b，∴b＝54.
答案：52 54
6．某医疗研究所为了检验某种血清预防甲型H1N1流感的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一月中的甲型H1N1流感记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防甲型H1N1流感的作用”，利用2×2列联表计算得χ2≈3.918.对此，有以下四个判断：
①有95%的把握认为“这种血清能起到预防甲型H1N1流感的作用”
②若某人未使用该血清，那么他在一月中有95%的可能性得甲型H1N1流感
③这种血清预防甲型H1N1流感的有效率为95%
④这种血清预防甲型H1N1流感的有效率为5%
则正确命题的序号是____________．(把你认为正确的命题序号都填上)
解析：χ2≈3.918>3.841，
故判断有95%的把握认为“血清能起到预防H1N1流感的作用”，只有①正确．
答案：①
7．某校在两个班进行教学方式对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如下表所示(单位：人)：
80及80分以上
80分以下
合计
实验班
35
15
50
对照班
20
m
50
合计
55
45
n
(1)求m，n；
(2)根据表中数据能得到什么结论？
解：(1)m＝45－15＝30，n＝50＋50＝100.
(2)由表中的数据，得
χ2＝≈9.091.
因为9.091＞6.635，所以有99%的把握说“教学方式与成绩有关系”．
8．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：
甲厂：
分组
[29.86，
29.90)
[29.90，29.94)
[29.94，29.98)
[29.98，30.02)
[30.02，30.06)
[30.06，30.10)
[30.10，30.14)
频数
12
63
86
182
92
61
4
乙厂：
分组
[29.86，
29.90)
[29.90，29.94)
[29.94，29.98)
[29.98，30.02)
[30.02，30.06)
[30.06，30.10)
[30.10，30.14)
频数
29
71
85
159
76
62
18
(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；
(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？
甲厂
乙厂
合计
优质品
非优质品
合计
P(χ2≥k)
0.05
0.01
k
3.841
6.635
附χ2＝，
解：(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为＝72%；
乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为＝64%.
(2)
甲厂
乙厂
合计
优质品
360
320
680
非优质品
140
180
320
合计
500
500
1 000
χ2＝≈7.35＞6.635，
所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
课件19张PPT。第三章把握热点考向理解教材新知应用创新演练3.1
独立性检验考点一考点二应用创新演练见课时跟踪训练(十八)课时跟踪训练(十八) 独立性检验
1．给出下列实际问题：
①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种病是否有区别；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟是否与性别有关系；⑤网吧与青少年的犯罪是否有关系．其中用独立性检验可以解决的问题有( )
A．①②③ B．②④⑤
C．②③④⑤ D．①②③④⑤
2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
合计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
合计
60
50
110
经计算得
χ2＝≈7.8.
则正确结论是( )
A．在犯错误的概率不超过0.1% 的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1% 的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
3．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是( )
A．若χ2>6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病
B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病
C．若从χ2统计量中得出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误
D．以上三种说法都不正确
4．考察棉花种子经过处理与生病之间的关系，得到下表中的数据：
种子处理
种子未处理
合计
得病
32
101
133
不得病
61
213
274
合计
93
314
407
根据以上数据可得出( )
A．种子是否经过处理与是否生病有关
B．种子是否经过处理与是否生病无关
C．种子是否经过处理决定是否生病
D．有90%的把握认为种子经过处理与生病有关
5．下面2×2列联表中
B
合计
A
a
21
73
2
25
27
合计
b
46
a，b的值分别为________．
6．某医疗研究所为了检验某种血清预防甲型H1N1流感的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一月中的甲型H1N1流感记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防甲型H1N1流感的作用”，利用2×2列联表计算得χ2≈3.918.对此，有以下四个判断：
①有95%的把握认为“这种血清能起到预防甲型H1N1流感的作用”
②若某人未使用该血清，那么他在一月中有95%的可能性得甲型H1N1流感
③这种血清预防甲型H1N1流感的有效率为95%
④这种血清预防甲型H1N1流感的有效率为5%
则正确命题的序号是____________．(把你认为正确的命题序号都填上)
7．某校在两个班进行教学方式对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如下表所示(单位：人)：
80及80分以上
80分以下
合计
实验班
35
15
50
对照班
20
m
50
合计
55
45
n
(1)求m，n；
(2)根据表中数据能得到什么结论？
8．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：
甲厂：
分组
[29.86，
29.90)
[29.90，29.94)
[29.94，29.98)
[29.98，30.02)
[30.02，30.06)
[30.06，30.10)
[30.10，30.14)
频数
12
63
86
182
92
61
4
乙厂：
分组
[29.86，
29.90)
[29.90，29.94)
[29.94，29.98)
[29.98，30.02)
[30.02，30.06)
[30.06，30.10)
[30.10，30.14)
频数
29
71
85
159
76
62
18
(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；
(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？
甲厂
乙厂
合计
优质品
非优质品
合计
P(χ2≥k)
0.05
0.01
k
3.841
6.635
附χ2＝，
答 案
1．选B 独立性检验是判断两个分类变量是否有关系的方法，而①③都是概率问题，不能用独立性检验．
2．选C 根据独立性检验的思想方法，正确选项为C.
3．选C A、B是对χ2的误解，99%的把握认为吸烟和患肺病有关，是指通过大量的观察实验得出的一个数值，并不是100个人中必有99个人患肺病，也可能这100个人全健康．
4．选B χ2＝≈0.164<3.841，即没有充足的理由认为种子是否经过处理跟生病有关．
5．解析：∵a＋21＝73，∴a＝52.
又∵a＋2＝b，∴b＝54.
答案：52 54
6．解析：χ2≈3.918>3.841，
故判断有95%的把握认为“血清能起到预防H1N1流感的作用”，只有①正确．
答案：①
7．解：(1)m＝45－15＝30，n＝50＋50＝100.
(2)由表中的数据，得
χ2＝≈9.091.
因为9.091＞6.635，所以有99%的把握说“教学方式与成绩有关系”．
8．解：(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为＝72%；
乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为＝64%.
(2)
甲厂
乙厂
合计
优质品
360
320
680
非优质品
140
180
320
合计
500
500
1 000
χ2＝≈7.35＞6.635，
所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
