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1.1/导__数
1．1.1 函数的平均变化率
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假设下图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．
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自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1)．
问题1：若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？
提示：自变量x的改变量为x1－x0，记作Δx，函数值的改变量为y1－y0，记作Δy＝y1－y0.
问题2：Δy的大小能否判断山坡陡峭程度？
提示：不能．
问题3：怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？
提示：对山坡AB来说，＝可近似地刻画．
问题4：能用刻画山路陡峭程度的原因是什么？
提示：因表示A，B两点所在直线的斜率k，显然，“线段”所在直线的斜率越大，山坡越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比越大，山坡越陡，反之，山坡越缓．
问题5：从A到B，从A到C，两者相同吗？
提示：不相同．
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函数的平均变化率
一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商＝ 称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率．
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对平均变化率的理解
(1)x0，x1是定义域内不同的两点的横坐标，因此Δx≠0，但Δx可正也可负；Δy＝f(x1)－f(x0)是相应Δx＝x1－x0的改变量，Δy的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零．
(2)函数f(x)在点x0处的平均变化率与自变量的增量Δx有关，与x0也有关．同一个函数，不同的x0与不同的Δx其平均变化率往往都是不同的．
(3)平均变化率表示点(x0，f(x0))与点(x1，f(x1))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”，其值可粗略地表示函数的变化趋势．
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求函数的平均变化率
[例1] 求y＝f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率，并求当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．
[思路点拨] 先求函数值的增量Δy，再求，然后代入已知数据求解．
[精解详析] Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－(2x＋1)＝4x0·Δx＋2(Δx)2，
∴函数f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率为
＝＝4x0＋2Δx，
当x0＝1，Δx＝时，
平均变化率为4×1＋2×＝5.
[一点通] 求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求平均变化率的主要步骤是：
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1．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝( )
A．－3 B．2
C．3 D．－2
解析：根据平均变化率的定义，
可知＝＝a＝3.
答案：C
2．已知函数f(x)＝2x2－4的图像上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于( )
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
解析：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－2＝4Δx＋2(Δx)2，∴＝4＋2Δx.
答案：C
3．计算函数f(x)＝x2在区间[1,1＋Δx](Δx>0)的平均变化率，其中Δx的值为：
(1)2；(2)1；(3)0.1；(4)0.01.
并思考：当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12
＝Δx2＋2Δx，
∴＝＝Δx＋2.
(1)当Δx＝2时，＝Δx＋2＝4；
(2)当Δx＝1时，＝Δx＋2＝3；
(3)当Δx＝0.1时，＝Δx＋2＝2.1；
(4)当Δx＝0.01时，＝Δx＋2＝2.01.
当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变小，并接近于2.
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比较平均变化率的大小
[例2] (12分)已知函数f(x)＝3－x2，计算当x0＝1,2,3，Δx＝时，平均变化率的值，并比较函数f(x)＝3－x2在哪一点附近的平均变化率最大？
[精解详析] 函数f(x)＝3－x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为
＝?(2分)
＝＝－2x0－Δx.?(4分)
当x0＝1，Δx＝时，平均变化率的值为－，?(6分)
当x0＝2，Δx＝时，平均变化率的值为－，?(8分)
当x0＝3，Δx＝时，平均变化率的值为－，?(10分)，
∵－>－>－，
∴函数f(x)＝3－x2在x0＝1附近的平均变化率最大．?(12分)
[一点通]
(1)比较平均变化率大小的步骤：
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(2)函数的平均变化率的大小反映的是函数的图像在该点x0附近的“陡峭”程度，其绝对值越大，则在该处附近的图像越“陡峭”，函数值变化就越快．
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4．求函数y＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx的值为，哪一点附近平均变化率最大？
解：在x＝1附近的平均变化率为
k1＝＝＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝＝＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝＝＝6＋Δx.
若Δx＝，则k1＝2＋＝，k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.
由于k1∴在x＝3附近的平均变化率最大．
5．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图所示，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率，说明婴儿体重的变化情况．
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解：第一年婴儿体重平均变化率为
＝0.625(千克/月)，
第二年婴儿体重平均变化率为
＝0.25(千克/月)．
因此，婴儿第一年体重的平均变化率比第二年体重的平均变化率大．说明第一年婴儿的体重增加要快一些．
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1．用定义法求平均变化率的基本步骤：
(1)作差，求出Δy；
(2)对Δy进行有效变形，通常用到的变形是：通分、配方、分子(母)有理化、因式分解等；
(3)作商，求.
2．比较平均变化率大小，实际是比较实数大小的问题，只需先根据平均变化率的定义分别计算，再用比较两数大小的方法比较即可．
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1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx满足( )
A．Δx＜0 B．Δx＞0
C．Δx＝0 D．Δx≠0
解析：根据定义知Δx可正、可负，但不能为0.
答案：D
2．已知函数y＝x2＋1的图像上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则等于( )
A．2 B．2Δx
C．2＋Δx D．2＋(Δx)2
解析：2＋Δy＝f(1＋Δx)＝(1＋Δx)2＋1
＝2＋2Δx＋(Δx)2，
∴Δy＝(Δx)2＋2Δx，
∴＝2＋Δx.
答案：C
3．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝中，平均变化率最大的是( )
A．④ B．③
C．② D．①
解析：根据平均变化率的定义计算知y＝x3的最大．
答案：B
4．函数y＝x2在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]的平均变化率为k2，则( )
A．k1>k2 B．k1C．k1＝k2 D．不确定
解析：∵k1＝＝2x0＋Δx，
k2＝＝2x0－Δx，
又由题意知Δx>0，故k1>k2.
答案：A
5．已知函数y＝f(x)＝，则此函数在区间[1,1＋Δx]的平均变化率为________．
解析：＝＝＝.
答案：－
6．已知曲线y＝－1上两点A，B，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．
解析：∵Δx＝1,2＋Δx＝3，
∴Δy＝－＝－＝－.
kAB＝＝－.
答案：－
7．求函数y＝f(x)＝在区间[1,1＋Δx]内的平均变化率．
解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1＝
＝＝，
∴函数y＝在区间[1,1＋Δx]内的平均变化率为
＝.
8．试求余弦函数y＝cos x在区间和的平均变化率，并比较大小．
解：当自变量在0到之间变化时，函数的平均变化率为＝＝＝，
当自变量在到之间变化时，函数的平均变化率为＝＝＝－，
显然函数在区间的平均变化率大．
课件24张PPT。第一章把握热点考向理解教材新知应用创新演练1.1
导数1.1.1
函数的平均变化率考点一考点二应用创新演练见课时跟踪训练(一)课时跟踪训练(一) 函数的平均变化率
1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx满足( )
A．Δx＜0 B．Δx＞0
C．Δx＝0 D．Δx≠0
2．已知函数y＝x2＋1的图像上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则等于( )
A．2 B．2Δx
C．2＋Δx D．2＋(Δx)2
3．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝中，平均变化率最大的是( )
A．④ B．③
C．② D．①
4．函数y＝x2在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]的平均变化率为k2，则( )
A．k1>k2 B．k1C．k1＝k2 D．不确定
5．已知函数y＝f(x)＝，则此函数在区间[1,1＋Δx]的平均变化率为________．
6．已知曲线y＝－1上两点A，B，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．
7．求函数y＝f(x)＝在区间[1,1＋Δx]内的平均变化率．
8．试求余弦函数y＝cos x在区间和的平均变化率，并比较大小．
答案
1．选D 根据定义知Δx可正、可负，但不能为0.
2．选C 2＋Δy＝f(1＋Δx)＝(1＋Δx)2＋1＝2＋2Δx＋(Δx)2，
∴Δy＝(Δx)2＋2Δx，∴＝2＋Δx.
3．选B 根据平均变化率的定义计算知y＝x3的最大．
4．选A ∵k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，又由题意知Δx>0，故k1>k2.
5．解析：＝＝＝.
答案：－
6．解析：∵Δx＝1,2＋Δx＝3，∴Δy＝－
＝－＝－.kAB＝＝－.
答案：－
7．解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1＝
＝＝，
∴函数y＝在区间[1,1＋Δx]内的平均变化率为
＝.
8．解：当自变量在0到之间变化时，函数的平均变化率为＝＝＝，
当自变量在到之间变化时，函数的平均变化率为＝＝＝－，
显然函数在区间的平均变化率大．
