1．1.2 瞬时速度与导数
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瞬 时 速 度
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一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示时间．
问题1：试求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．
提示：＝＝－6－3Δt.
问题2：当Δt趋近于0时问题1中的平均速度趋近于几？怎样理解这一速度？
提示：当Δt趋近于0时，趋近于－6.这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度．
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1．物体运动的瞬时速度
设物体运动的路程与时间的关系是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率趋近于一个常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度．
2．函数的瞬时变化率
设函数y＝f(x)在x0及其附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变量为Δx时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数l，则常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率．
记作：当Δx→0时，→l.
还可记作 ＝l.
3．函数f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作f′(x0)．这时又称f(x)在点x0处是可导的．即当Δx→0时，→f′(x0)或 ＝f′(x0)．
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导 数
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对于函数f(x)＝－x2＋2.
问题1：如何求f′(1)，f′(0)，f′，f′(a)(a∈R)?
提示：f′(x0)＝
＝(－2x0－Δx)＝－2x0，
∴f′(1)＝－2，f′(0)＝0，f′＝1，f′(a)＝－2a.
问题2：若x0是一变量x，f′(x)是常量吗？
提示：f′(x)＝－2x，说明f′(x)不是常量，而是关于x的函数．
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导函数
如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)或y′(或y′x)．导函数通常简称为导数．
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1．对导数概念的理解
(1)Δx→0是指Δx从0的左右两侧分别趋向于0，但永远不会为0.
(2)若 存在，则称f(x)在x＝x0处可导．
(3)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是f′(x0)＝ ，与概念中的f′(x0)＝ 意义相同．
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，就是其导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．
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求函数在某点处的导数
[例1] 求函数y＝f(x)＝x－在x＝1处的导数．
[思路点拨] /
[精解详析] ∵Δy＝(1＋Δx)－－
＝Δx＋1－＝Δx＋，
∴＝＝1＋，
∴ ＝ ＝2.
从而f′(1)＝2.
[一点通] 求函数在某点处的导数的步骤：
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)取极限，得导数f′(x0)＝.
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1．函数y＝x2在x＝1处的导数为( )
A．2x B．2＋Δx
C．2 D．1
解析：y＝x2在x＝1处的导数为
f′(1)＝ ＝ (2＋Δx)＝2.
答案：C
2．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
解析：f′(x0)＝
＝ (a＋b·Δx)＝a.
答案：C
3．求f(x)＝x2＋＋5在点x＝2处的导数．
解：∵Δy＝(2＋Δx)2＋＋5－
＝4Δx＋(Δx)2＋，
∴＝4＋Δx－，
∴f′(2)＝ ＝
＝4－＝.
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平均速度与瞬时速度
[例2] (12分)若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)
s＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
[精解详析] (1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]内的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，?(2分)
∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为
＝＝24(m/s)．?(4分)
(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵物体在t＝0附近的平均速度为
＝
＝＝3Δt－18，?(6分)
∴物体在t＝0处的瞬时速度为
＝ (3Δt－18)＝－18(m/s)，
即物体的初速度为－18 m/s.?(8分)
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
∵物体在t＝1附近的平均变化率为
＝＝3Δt－12，?(10分)
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为
＝ (3Δt－12)＝－12(m/s)，
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.?(12分)
[一点通]
(1)平均速度：
设物体运动路程与时间的关系是s＝s(t)，在t0到t0＋Δt这段时间内，物体运动的平均速度是＝＝.
(2)求瞬时速度的步骤：
①求物体运动路程与时间的关系s＝s(t)；
②求时间改变量Δt，位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
③求平均速度；
④求瞬时速度，v＝ .
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4．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝________.
解析：因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1
＝4aΔt＋a(Δt)2，
所以＝4a＋aΔt，
即当t＝2时，瞬时速度为 ＝4a，即4a＝8.
所以a＝2.
答案：2
5．已知s(t)＝gt2，其中g＝10 m/s2.
(1)求t从3秒到3.1秒的平均速度；
(2)求t从3秒到3.01秒的平均速度；
(3)求t在t＝3秒时的瞬时速度．
解：(1)Δt＝3.1－3＝0.1 (s)；
Δs＝s(3.1)－s(3)
＝·g·3.12－·g·32＝3.05 m.
1＝＝＝30.5(m/s)．
(2)Δt＝3.01－3＝0.01 (s)．
Δs＝s(3.01)－s(3)＝·g·3.012－·g·32
＝0.300 5 m.
2＝＝＝30.05(m/s)．
(3)由瞬时速度的定义可知：
Δs＝s(3＋Δt)－s(3)
＝g(3＋Δt)2－g·32
＝3gΔt＋g(Δt)2，
＝3g＋g·Δt，
∴v瞬时＝li ＝3g＝30(m/s)．
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求函数f(x)在x＝x0处的导数分三步：第一步求函数值的增量Δy，第二步求平均变化率＝，第三步求极限f′(x0)＝ .求解时不能给出自变量的增量Δx的具体值，否则求出的是平均变化率，而不是瞬时变化率，即不是导数值．求解的关键是第二步对的变形，使分子、分母能约去一个Δx.
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1．若f(x)＝，则f′(1)等于( )
A．1 B．－1
C. D．－
解析：∵＝＝，
∴f′(1)＝＝＝－1.
答案：B
2．下列各式中正确的是( )
A．f′(x0)＝
B．f′(x0)＝
C．f′(x0)＝
D．f′(x0)＝
解析：对于D，
＝
＝f′(x0)，故D正确．
答案：D
3．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2(t≥0)，其中s的单位是m，t的单位是s，那么该物体在3 s末的瞬时速度是( )
A．7 m/s B．6 m/s
C．5 m/s D．8 m/s
解析：∵＝＝Δt＋5，
(Δt＋5)＝5，
∴该物体在3 s末的瞬时速度是5 m/s.
答案：C
4．函数y＝f(x)＝－在点x＝4处的导数是( )
A. B．－
C. D．－
解析：∵Δy＝－＋
＝－＝
＝.
∴＝.
∴ ＝
＝＝.
∴f′(4)＝.
答案：C
5．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
解析：∵f(x)＝ax＋4，
∴f′(1)＝ ＝a.
又∵f′(1)＝2，∴a＝2.
答案：2
6．一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝________.
解析：∵Δs＝7(t0＋Δt)2－13(t0＋Δt)＋8－7t＋13t0－8
＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2.
∴ ＝ (14t0－13＋7Δt)＝14t0－13＝1.
∴t0＝1.
答案：1
7．已知函数f(x)＝13－8x＋x2，且f′(x0)＝4，求x0的值．
解：∵f′(x0)＝
＝
＝
＝ (－8＋2 x0＋Δx)
＝－8＋2 x0，
∴－8＋2 x0＝4.
解得x0＝3 .
8．一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m，时间：s)．
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；
(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．
解：(1)初速度v0＝
＝ ＝ (3－Δt)＝3(m/s)．
即物体的初速度为3 m/s.
(2)v＝
＝
＝ ＝ (－Δt－1)＝－1(m/s)，
即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．
(3)＝＝＝1(m/s)，
即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.
课件24张PPT。第一章把握热点考向理解教材新知应用创新演练1.1
导数1.1.2
瞬时速度与导数考点一考点二知识点一知识点二应用创新演练见课时跟踪训练(二)课时跟踪训练(二) 瞬时速度与导数
1．若f(x)＝，则f′(1)等于( )
A．1 B．－1
C. D．－
2．下列各式中正确的是( )
A．f′(x0)＝
B．f′(x0)＝
C．f′(x0)＝
D．f′(x0)＝
3．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2(t≥0)，其中s的单位是m，t的单位是s，那么该物体在3 s末的瞬时速度是( )
A．7 m/s B．6 m/s
C．5 m/s D．8 m/s
4．函数y＝f(x)＝－在点x＝4处的导数是( )
A. B．－
C. D．－
5．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
6．一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝________.
7．已知函数f(x)＝13－8x＋x2，且f′(x0)＝4，求x0的值．
8．一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m，时间：s)．
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；
(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．
答案
1．选B ∵＝＝，
∴f′(1)＝ ＝＝－1.
2．选D 对于D， ＝ ＝f′(x0)，故D正确．
3．选C ∵＝＝Δt＋5， (Δt＋5)＝5，
∴该物体在3 s末的瞬时速度是5 m/s.
4．选C ∵Δy＝－＋
＝－＝
＝.
∴＝.
∴ ＝
＝＝.
∴f′(4)＝.
5．解析：∵f(x)＝ax＋4，
∴f′(1)＝ ＝a.
又∵f′(1)＝2，∴a＝2.
答案：2
6．解析：∵Δs＝7(t0＋Δt)2－13(t0＋Δt)＋8－7t＋13t0－8
＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2.
∴ ＝ (14t0－13＋7Δt)＝14t0－13＝1.
∴t0＝1.
答案：1
7．解：∵f′(x0)＝
＝
＝
＝ (－8＋2 x0＋Δx)
＝－8＋2 x0，
∴－8＋2 x0＝4.
解得x0＝3 .
8．解：(1)初速度v0＝
＝ ＝ (3－Δt)＝3(m/s)．
即物体的初速度为3 m/s.
(2)v＝
＝
＝ ＝ (－Δt－1)＝－1(m/s)，
即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．
(3)＝＝＝1(m/s)，
即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.
