1．1.3 导数的几何意义
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如图Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，……)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为在点P处的切线．
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问题1：割线PPn的斜率kn是什么？
提示：割线PPn的斜率kn＝＝.
问题2：当点Pn趋近于点P时，割线PPn与在点P处的切线PT有什么关系？
提示：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于在点P处的切线PT.
问题3：当Pn无限趋近于点P时，kn与切线PT的斜率k有什么关系？
提示：kn无限趋近于切线PT的斜率k.
问题4：如何求得在点P处的切线PT的斜率？
提示：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝＝f′(x0)．
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1．曲线的切线
设函数y＝f(x)的图像如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线．由此割线的斜率是＝，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A的切线．
2．导数的几何意义
曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于f′(x0)，即k＝f′(x0)＝.
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利用导数的几何意义，可知曲线在点P(x0，y0)处的切线斜率为f′(x0)，从而由点斜式可写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
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求曲线的切线方程
[例1] 已知曲线C：y＝x3＋.
(1)求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程；
(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
[思路点拨] (1)先求出切点坐标，再根据导数的几何意义，求出函数y在切点处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，最后由直线方程的点斜式，写出切线方程；(2)只需将(1)中求出的切线方程与曲线C的方程联立求解即可．
[精解详析] (1)将x＝2代入曲线C的方程得y＝4.
∴切点P(2,4)．
f′(2)＝
＝
＝ ＝4.
∴k＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)由可得(x－2)(x2＋2x－8)＝0.
解得x1＝2，x2＝－4.
从而求得公共点为P(2,4)或M(－4，－20)，
即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－4，－20)．
[一点通]
(1)利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：
①求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
②写出切线方程，即y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
(2)曲线的切线与直线和圆相切时的切线不一样，直线与圆相切时，直线与圆有且只有一个公共点，而曲线在某点处的切线与曲线只是在切点附近区域上只有一个公共点．
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1．抛物线y＝2x2在点P(1,2)处的切线l的斜率为________．
解析：因为f′(1)＝
＝
＝ (4＋2Δx)＝4，
所以抛物线y＝2x2在点P(1,2)处的切线的斜率为4.
答案：4
2．求曲线y＝在点(1,1)处的切线方程．
解：曲线y＝在点(1,1)处的切线斜率为
f′(1)＝＝＝－1，
所以曲线y＝在点(1,1)处的切线方程为
y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2.
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求切点坐标
[例2] 抛物线y＝x2在点P处的切线与直线4x－y＋2＝0平行，求P点的坐标及切线方程．
[思路点拨] ―→―→―→―→
[精解详析] 设P点坐标为(x0，y0)，
y′＝ ＝
＝
＝ (2x＋Δx)＝2x.
∴f′(x0)＝2x0，
又由切线与直线4x－y＋2＝0平行，
∴2x0＝4，∴x0＝2，
∵P(2，y0)在抛物线y＝x2上，∴y0＝4，
∴点P的坐标为(2,4)，
∴切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
[一点通] 根据切线斜率求切点坐标的步骤为：
(1)先设切点坐标(x0，y0)；
(2)求导函数f′(x)；
(3)求切线的斜率f′(x0)；
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；
(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标．
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3．已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标．
解：设切点P(x0，y0)，
由y′＝＝
＝ (4x＋2Δx)＝4x，
得k＝y′|x＝x0＝4x0，根据题意4x0＝8，
x0＝2，代入y＝2x2－7得y0＝1.
故所求切点为P(2,1)．
4．在曲线y＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线分别满足下列条件．
(1)平行于直线y＝x＋1；
(2)垂直于直线2x－16y＋1＝0.
解：设点P坐标为(x0，y0)，
则Δy＝－
＝
＝.
∴＝，
∴ ＝－＝－，
即f′(x0)＝－.
(1)∵切线与直线y＝x＋1平行，
∴由导数的几何意义知f′(x0)＝1，即－＝1，
∴x0＝－2，则y0＝1，即P(－2,1)．
(2)∵切线与直线2x－16y＋1＝0垂直，
∴有f′(x0)·＝－1，即－·＝－1，
∴x0＝1，则y0＝4，即P(1,4).
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导数几何意义的应用
[例3] (12分)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h (m)与时间t (s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，求烟花在t＝2 s时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况．
[精解详析] 烟花在t＝2 s时的瞬时速度就是h′(2)．
而＝＝－4.9－4.9Δt，?(4分)
所以h′(2)＝ ＝(－4.9－4.9Δt)＝－4.9，
即在t＝2 s时，烟花正以4.9 m/s的瞬时速度下降．?(6分)
如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：
在t＝1.5 s附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；?(8分)
在0～1.5 s之间，曲线在任何点的切线斜率都大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；?(10分)
在1.5 s后，曲线在任何点的切线斜率都小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下降，直到落地．?(12分)
[一点通] 导数的几何意义是曲线的切线的斜率．反之，在曲线上取确定的点，作曲线的切线，则可以根据切线斜率的符号及绝对值的大小来确定曲线的升降情况及升降的快慢程度．
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5．已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f′(x)的图像可能是( )
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解析：由y＝f(x)的图像及导数的几何意义可知，当x＜0时f′(x)＞0，当x＝0时f′(x)＝0，当x＞0时f′(x)＜0，故B符合．
答案：B
6．某斜坡在某段内的倾斜程度可以近似地用函数y＝－x2＋4x来刻画，试分析该段斜坡的坡度的变化情况．
解：因为＝
＝＝－2x＋4－Δx，
所以y′＝ ＝－2x＋4.
由于y′＝－2x＋4在区间上是减函数，所以0≤y′≤1.故该段斜坡的坡度最开始很接近45°，随着高度慢慢上升，坡度在慢慢变小，在x达到2时坡度接近0°.
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1．求过某点曲线的切线方程的类型及求法．
(1)若已知点(x0，y0)为切点，则先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)若题中所给的点(x0，y0)不是切点，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．
2．若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数f′(x0)不存在，则切线与y轴平行或重合；若f′(x0)＞0，则切线与x轴正方向夹角是锐角；若f′(x0)＜0，则切线与x轴正方向夹角为钝角；若f′(x0)＝0，则切线与x轴平行或重合．
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1．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( )
A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
解析：根据导数的几何意义，f(x)在x0处的导数即f(x)在x0处切线的斜率，故f′(x0)＝－＜0.
答案：B
2．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是( )
A．(0,0) B．(2,4)
C. D.
解析：k＝ ＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x，∴2x＝tan＝1，∴x＝.从而y＝.
答案：D
3．已知曲线y＝－x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．135° D．165°
解析：∵点P(1，－)在曲线y＝f(x)＝－x2－2上，∴在点P处的切线斜率为k＝f′(1)＝－1，
∴在点P处的切线的倾斜角为135°.
答案：C
4．设曲线y＝ax2在点(2,4a)处的切线与直线4x－y＋4＝0垂直，则a＝( )
A．2 B．－
C. D．－1
解析：由y＝ax2得：
Δy＝a(x＋Δx)2－ax2
＝2axΔx＋a(Δx)2，
则＝2ax＋aΔx，所以y′＝2ax，
则f′(2)＝4a，
又y＝ax2在点(2,4a)处的切线与直线4x－y＋4＝0垂直，
∴4a＝－，∴a＝－.
答案：B
5．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P坐标为________．
解析：设P(x0,2x＋4x0)，
则f′(x0)＝
＝＝4x0＋4，
又∵f′(x0)＝16，
∴4x0＋4＝16，∴x0＝3，∴P(3,30)．
答案：(3,30)
6.如图所示，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＝________，f′(5)＝________.
解析：由图像知f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)等于在该点P切线的斜率，故f′(5)＝－1.
答案：3 －1
7．已知曲线y＝上两点P(2，－1)，Q.
求：(1)曲线在点P处、点Q处的切线的斜率；
(2)曲线在点P，Q处的切线方程．
解：将P(2，－1)代入y＝，得t＝1，
∴y＝.
∴y′＝
＝
＝
＝＝.
(1)曲线在点P处的切线斜率为
f′(2)＝＝1；
在Q处的切线斜率为：
f′(1)＝＝.
(2)曲线在点P处的切线方程为
y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0.
在Q处的切线方程为：
y－＝(x＋1)，即x－4y＋3＝0.
8．已知曲线y＝x2＋1，问是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：存在．
由导数的定义知
y′＝ ＝ ＝2x，
设切点为(t，t2＋1)，因为y′＝2x，
所以切线的斜率为f′(t)＝2t，
于是可得切线方程为
y－(t2＋1)＝2t(x－t)．
将(1，a)代入，得a－(t2＋1)＝2t(1－t)，
即t2－2t＋(a－1)＝0，
因为切线有两条，
所以Δ＝(－2)2－4(a－1)＞0，解得a＜2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．
课件27张PPT。第一章把握热点考向理解教材新知应用创新演练1.1
导数1.1.3
导数的几何意义考点一考点二考点三应用创新演练见课时跟踪训练(三)课时跟踪训练(三) 导数的几何意义
1．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( )
A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
2．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是( )
A．(0,0) B．(2,4)
C. D.
3．已知曲线y＝－x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．135° D．165°
4．设曲线y＝ax2在点(2,4a)处的切线与直线4x－y＋4＝0垂直，则a＝( )
A．2 B．－
C. D．－1
5．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P坐标为________．
6.如图所示，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＝________，f′(5)＝________.
7．已知曲线y＝上两点P(2，－1)，Q.
求：(1)曲线在点P处、点Q处的切线的斜率；
(2)曲线在点P，Q处的切线方程．
8．已知曲线y＝x2＋1，问是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案
1．选B 根据导数的几何意义，f(x)在x0处的导数即f(x)在x0处切线的斜率，故f′(x0)＝－＜0.
2．选D k＝ ＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x，
∴2x＝tan＝1，∴x＝.从而y＝.
3．选C ∵点P(1，－)在曲线y＝f(x)＝－x2－2上，
∴在点P处的切线斜率为k＝f′(1)＝－1，
∴在点P处的切线的倾斜角为135°.
4．选B 由y＝ax2得：
Δy＝a(x＋Δx)2－ax2
＝2axΔx＋a(Δx)2，
则＝2ax＋aΔx，所以y′＝2ax，
则f′(2)＝4a，
又y＝ax2在点(2,4a)处的切线与直线4x－y＋4＝0垂直，
∴4a＝－，∴a＝－.
5．解析：设P(x0,2x＋4x0)，
则f′(x0)＝
＝＝4x0＋4，
又∵f′(x0)＝16，
∴4x0＋4＝16，∴x0＝3，∴P(3,30)．
答案：(3,30)
6．解析：由图像知f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)等于在该点P切线的斜率，故f′(5)＝－1.
答案：3 －1
7．解：将P(2，－1)代入y＝，得t＝1，
∴y＝.
∴y′＝
＝
＝
＝＝.
(1)曲线在点P处的切线斜率为
f′(2)＝＝1；
在Q处的切线斜率为：
f′(1)＝＝.
(2)曲线在点P处的切线方程为
y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0.
在Q处的切线方程为：
y－＝(x＋1)，即x－4y＋3＝0.
8．解：存在．
由导数的定义知
y′＝＝＝2x，
设切点为(t，t2＋1)，因为y′＝2x，
所以切线的斜率为f′(t)＝2t，
于是可得切线方程为
y－(t2＋1)＝2t(x－t)．
将(1，a)代入，得a－(t2＋1)＝2t(1－t)，
即t2－2t＋(a－1)＝0，
因为切线有两条，
所以Δ＝(－2)2－4(a－1)＞0，解得a＜2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．
