1.2/导数的运算
1．2.1 &1.2.2 常数函数与幂函数的导数 导数公式表及数学软件的应用/
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已知函数：
(1)y＝f(x)＝c，(2)y＝f(x)＝x，(3)y＝f(x)＝x2，
(4)y＝f(x)＝x3，(5)y＝f(x)＝，(6)y＝f(x)＝.
问题1：函数y＝f(x)＝c的导数是什么？
提示：∵＝＝＝0，
∴y′＝li ＝0.
问题2：函数(2)(3)(4)(5)(6)的导数分别是什么？
提示：由导数的定义得：(x)′＝1，(x2)′＝2x，(x3)′＝3x2，′＝－，()′＝ .
问题3：若(1)(2)中的函数表示路程关于时间的函数，则其导数的意义是什么？
提示：y′＝0说明某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态，则y′＝1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动．
问题4：函数(2)(3)(4)(5)(6)均可表示为y＝xα(α∈Q)的形式，其导数有何规律？
提示：∵(x)′＝1·x1－1，(x2)′＝2·x2－1，(x3)′＝3·x3－1，(x－1)′＝－x－2，()′＝(x)′＝x－1，
∴(xα)′＝αxα－1.
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基本初等函数的导数公式表
y＝f(x)
y′＝f′(x)
y＝c
y′＝0
y＝xn(n∈N＋)
y′＝nxn－1，n为正整数
y＝xμ(x>0，μ≠0且μ∈Q)
y′＝μxμ－1，μ为有理数
y＝ax(a>0，a≠1，x>0)
y′＝axln a
y＝logax(a>0，a≠1，x>0)
y′＝
y＝sin x
y′＝cos_x
y＝cos x
y＝－sin_x
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1．记忆公式时要采用对比的方法来记忆：
(1)将xa与ax对比记忆，两公式最易混淆；
(2)将ax与logax对比记忆，并且要强化记忆，这两个公式最难记；
(3)将sin x与cos x对比记忆，注意正、负号问题．
2．函数f(x)＝logax的导数公式为f′(x)＝(logax)′＝，当a＝e时，上述公式就变为(ln x)′＝，即f(x)＝ln x是f(x)＝logax当a＝e时的特殊情况．类似地，还有f(x)＝ax，当a＝e时，(ex)′＝ex.
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利用求导公式求导
[例1] 求下列函数的导数：
(1)y＝x12； (2)y＝；
(3)y＝log2x； (4)y＝2sincos.
[思路点拨] 解答本题可先将解析式化为基本初等函数，再利用公式求导．
[精解详析] (1)y′＝(x12)′＝12x11；
(2)y′＝()′＝(x)′＝x＝；
(3)y′＝(log2x)′＝；
(4)y′＝′＝(sin x)′＝cos x.
[一点通] 应用求导公式时应注意的问题
求函数的导数，一般不再用定义，而主要应用导数公式，这就要求必须熟记常见的求导公式，应用公式时一般遵循“先化简，再求导”的基本原则．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
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1．函数y＝x·的导数是________．
解析：y＝x·x＝x，∴y′＝′＝x.
答案：y′＝
2．函数y＝sin的导数是________．
解析：y＝sin＝cos x，所以y′＝－sin x.
答案：y′＝－sin x
3．求下列函数的导数：
(1)y＝x2014；(2)y＝3x3；(3)y＝－x；(4)y＝.
解：(1)y′＝(x2014)′＝2014x2013；
(2)y′＝(3x3)′＝3(x3)′＝9x2；
(3)∵y＝－x＝(5－1)－x＝5x，∴y′＝(5x)′＝5xln 5；
(4)y′＝′＝′＝x＝ .
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求切线方程
[例2] 求曲线y＝在点Q(16,8)的切线方程．
[思路点拨] →→
[精解详析] 因为点Q(16,8)在曲线上，
且y′＝()′＝′＝x，
所以过点Q的切线斜率
k＝y′＝(16)＝，
所以所求切线方程为y－8＝(x－16)，
即3x－8y＋16＝0.
[一点通]
利用导数公式求切线方程的步骤
(1)利用导数公式求f′(x0)；
(2)写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，并整理成一般式．
[说明] 注意已知是否是切点，如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
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4．求曲线y＝cos x在点P处的切线方程．
解：因为y′＝(cos x)′＝－sin x，
所以曲线在点P处的切线的斜率为
k＝－sin ＝－.
故所求切线方程为y－＝－，
即x＋2y－1－π＝0.
5．已知曲线y＝.
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；
(2)求满足斜率为－的曲线的切线方程．
解：∵y＝＝x－1，∴y′＝－x－2＝－.
(1)曲线在点P(1,1)处的切线的斜率k＝－1，故所求切线的方程为y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2.
(2)设切点坐标为，则切线斜率为k＝－，
由已知有－＝－，得x1＝±，
当x1＝时，切线方程为y－＝－(x－)
即：x＋3y－2＝0.
当x1＝－时，切线方程为y＋＝－(x＋)
即：x＋3y＋2＝0.
∴切线方程为x＋3y－2＝0或x＋3y＋2＝0.
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用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整化为基本初等函数，再选择合适的求导公式．
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1．给出下列结论：
①(cos x)′＝sin x； ②′＝cos；
③若y＝，则y′＝－； ④′＝.
其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：(cos x)′＝－sin x，所以①错误；
sin＝，而′＝0，所以②错误；
′＝(x－2)′＝－2x－3，所以③错误；
′＝′＝－x＝－，
所以④正确．
答案：B
2．已知f(x)＝xα(α∈Q)，若f′(－1)＝4，则α等于( )
A．3 B．－3
C．4 D．－4
解析：∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1.
∴f′(－1)＝α(－1)α－1＝4.
∴α＝－4.
答案：D
3．下列曲线的所有切线构成的集合中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )
A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x
解析：A中f′(x)＝ex>0，B中f′(x)＝3x2≥0，C中f′(x)＝>0(因为函数的定义域为(0，＋ ∞))，由于互相垂直的两条切线的斜率的积为－1，因此A，B，C中曲线都不存在互相垂直的切线．故选D.
答案：D
4．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为( )
A. B.
C. D.
解析：s′＝t.当t＝4时，s′＝·＝ .
答案：B
5．设直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为________．
解析：因为y′＝(ln x)′＝，设切点为(x0，y0)，由题意，得＝，所以x0＝2，y0＝ln 2，代入直线方程y＝x＋b，得b＝ln 2－1.
答案：ln 2－1
6．设曲线y＝xn＋1(n∈N＋)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x2014的值为________．
解析：y′＝(n＋1)xn，f′(1)＝n＋1，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．令y＝0，则xn＝，x2014＝.
答案：
7．求下列函数的导数：
(1)y＝x8；(2)y＝4x；(3)y＝log3x；
(4)y＝sin；(5)y＝e2.
解：(1)y′＝(x8)′＝8x8－1＝8x7.
(2)y′＝(4x)′＝4xln 4.
(3)y′＝(log3x)′＝.
(4)y′＝(cos x)′＝－sin x.
(5)y′＝(e2)′＝0.
8．过原点作曲线y＝ex的切线，求切点的坐标及切线的斜率．
解：∵y′＝(ex)′＝ex，可设切点坐标为(x0，ex0)，则过该切点的曲线y＝ex的切线的斜率为ex0，
∴所求切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)．
∵切线过原点，∴－ex0＝－x0·ex0，x0＝1.
∴切点为(1，e)，斜率为e.
课件19张PPT。第一章把握热点考向理解教材新知应用创新演练1.2
导数的运算1．2.1 &1.2.2 常数函数与幂函数的导数 导数公式表及数学软件的应用考点一考点二应用创新演练见课时跟踪训练(四)课时跟踪训练(四) 常数函数与幂函数的导数导数公式表及数学软件的应用
1．给出下列结论：
①(cos x)′＝sin x； ②′＝cos；
③若y＝，则y′＝－； ④′＝.
其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
2．已知f(x)＝xα(α∈Q)，若f′(－1)＝4，则α等于( )
A．3 B．－3
C．4 D．－4
3．下列曲线的所有切线构成的集合中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )
A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x
4．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为( )
A. B.
C. D.
5．设直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为________．
6．设曲线y＝xn＋1(n∈N＋)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x2014的值为________．
7．求下列函数的导数：
(1)y＝x8；(2)y＝4x；(3)y＝log3x；
(4)y＝sin；(5)y＝e2.
8．过原点作曲线y＝ex的切线，求切点的坐标及切线的斜率．
答案
1．选B (cos x)′＝－sin x，所以①错误；
sin＝，而′＝0，所以②错误；
′＝(x－2)′＝－2x－3，所以③错误；
′＝′＝－x－＝－，所以④正确．
2．选D ∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1.
∴f′(－1)＝α(－1)α－1＝4.
∴α＝－4.
3．选D A中f′(x)＝ex>0，B中f′(x)＝3x2≥0，C中f′(x)＝>0(因为函数的定义域为(0，＋ ∞))，由于互相垂直的两条切线的斜率的积为－1，因此A，B，C中曲线都不存在互相垂直的切线．故选D.
4．选B s′＝t－.当t＝4时，s′＝·＝ .
5．解析：因为y′＝(ln x)′＝，设切点为(x0，y0)，由题意，得＝，所以x0＝2，y0＝ln 2，代入直线方程y＝x＋b，得b＝ln 2－1.
答案：ln 2－1
6．解析：y′＝(n＋1)xn，f′(1)＝n＋1，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．令y＝0，则xn＝，x2014＝.
答案：
7．解：(1)y′＝(x8)′＝8x8－1＝8x7.
(2)y′＝(4x)′＝4xln 4.
(3)y′＝(log3x)′＝.
(4)y′＝(cos x)′＝－sin x.
(5)y′＝(e2)′＝0.
8．解：∵y′＝(ex)′＝ex，可设切点坐标为(x0，ex0)，则过该切点的曲线y＝ex的切线的斜率为ex0，
∴所求切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)．
∵切线过原点，∴－ex0＝－x0·ex0，x0＝1.
∴切点为(1，e)，斜率为e.
