1．2.3 导数的四则运算法则
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已知f(x)＝x，g(x)＝.
问题1：f(x)，g(x)的导数分别是什么？
提示：f′(x)＝1，g′(x)＝－.
问题2：试求Q(x)＝x＋，H(x)＝x－的导数．
提示：∵Δy＝(x＋Δx)＋－＝Δx＋，
∴＝1－，
∴Q′(x)＝＝＝1－.
同理H′(x)＝1＋.
问题3：Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？
提示：Q(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的差．
问题4：[f(x)g(x)]′＝f′(x)·g′(x)对吗？
提示：不对，因为f(x)g(x)＝1，[f(x)g(x)]′＝0，
而f′(x)·g′(x)＝1×＝－.
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1．导数的四则运算法则
(1)设f(x)，g(x)是可导的，则
法则
语言叙述
′＝f′(x)±g′(x)
两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数和(或差)
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数
′＝(g(x)≠0)
两个函数的商的导数，等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子的差除以分母的平方
(2)特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)，
′＝－(g(x)≠0)．
2．复合函数y＝f(μ(x))的导数
y＝f(μ(x))是x的复合函数，则y′＝f′(μ(x))＝·＝f′(μ)·μ′(x)．
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1.′＝f′(x)±g′(x)的推广
(1)此法则可推广到任意有限个函数的和(或差)的求导．
(2)′＝af′(x)±bg′(x)．
2．求复合函数的导数应注意
(1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系；
(2)弄清每一步求导是对哪个变量按什么公式求导；
(3)不要忘记将中间变量代回原自变量．
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利用导数的四则运算法则求导
[例1] 求下列函数的导数：
(1)y＝x3·ex；(2)y＝x－sincos；
(3)y＝x2＋log3x；(4)y＝.
[思路点拨] ―→―→―→
[精解详析] (1)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2(3＋x)ex.
(2)∵y＝x－sin x，
∴y′＝x′－(sin x)′＝1－cos x.
(3)y′＝(x2＋log3x)′
＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋.
(4)y′＝
＝＝.
[一点通] 求函数的导数的策略
(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．
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1．函数y＝x2·sin x的导数是( )
A．2x·sin x＋x2·cos x
B．x2·cos x
C．2x·sin x－x2·cos x
D．2x·cos x
解析：y′＝(x2sin x)′＝(x2)′sin x＋x2·(sin x)′
＝2xsin x＋x2cos x.
答案：A
2．设f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于( )
A. B.
C. D.
解析：f′(x)＝3ax2＋6x，
∴f′(－1)＝3a－6＝4，
解得a＝.
答案：D
3．求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝xsin x＋；
(3)y＝＋；(4)y＝lg x－.
解：(1)y′＝′＝
＝＝－.
(2)y′＝(xsin x)′＋()′＝sin x＋xcos x＋ .
(3)∵y＝＋＝＝－2，
∴y′＝′＝＝.
(4)y′＝′＝(lg x)′－′
＝＋.
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简单的复合函数求导
[例2] 求下列函数的导数：
(1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln (6x＋4)；
(3)y＝e2x＋1；(4)y＝sin.
[思路点拨] 先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．
[精解详析] (1)∵y＝(3x－2)2由函数y＝u2和u＝3x－2复合而成，
∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(3x－2)′＝6u＝18x－12.
(2)∵y＝ln (6x＋4)由函数y＝ln u和u＝6x＋4复合而成，
∴yx′＝yu′·ux′＝(ln u)′·(6x＋4)′＝＝＝.
(3)∵y＝e2x＋1由函数y＝eu和u＝2x＋1复合而成，
∴yx′＝yu′·ux′＝(eu)′·(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.
(4)∵y＝sin 由函数y＝sin u和u＝2x＋复合而成，
∴yx′＝yu′·ux′＝(sin u)′·′＝2cos u＝2cos .
[一点通] 求复合函数导数的步骤：
(1)确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系y＝f(u)，u＝g(x)；
(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求yu′，再求ux′；
(3)计算yu′·ux′，并把中间变量转化为自变量．
整个过程可简记为“分解—求导—回代”三个步骤，熟练以后可以省略中间过程．
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4．函数y＝cos 2x的导数为( )
A．y′＝sin 2x B．y′＝－sin 2x
C．y′＝－2sin 2x D．y′＝2sin 2x
解析：y′＝－sin 2x(2x)′＝－2sin 2x.
答案：C
5．函数f(x)＝(2x＋1)5，则f′(0)的值为________．
解析：f′(x)＝5(2x＋1)4·(2x＋1)′＝10(2x＋1)4，
∴f′(0)＝10.
答案：10
6．求下列函数的导数．
(1)y＝；(2)y＝ln (x2＋1)；
(3)y＝a1－2x(a＞0，a≠1)．
解：(1)设y＝，u＝3－x，
则yx′＝yu′·ux′＝·(－1)＝－ .
(2)设y＝ln u，u＝x2＋1，
则yx′＝yu′·ux′＝··(2x)＝··(2x)＝.
(3)令y＝au，u＝1－2x，
则yx′＝yu′·u′x＝au·ln a·(－2)＝a1－2x·ln a·(－2)
＝－2a1－2xln a.
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曲线切线方程的确定与应用
[例3] (12分)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
[精解详析] (1)由7x－4y－12＝0得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，∴f(2)＝2a－＝.①
又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝a＋＝.②?(2分)
由①②得解得
故f(x)＝x－.?(6分)
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知，
曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．?(8分)
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)．?(9分)
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．?(10分)
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.?(12分)
[一点通] 基本初等函数的求导公式与求导运算法则联合使用，极大地方便了函数的导数的求解，从而为用导数研究曲线的切线注入了强大的源动力，使问题的解决快捷方便．
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7．(广东高考)若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.
解析：因为y′＝2ax－，依题意得y′|x＝1＝2a－1＝0，
所以a＝.
答案：
8．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．
解：∵直线l过原点，
∴直线l的斜率k＝(x0≠0)，
由点(x0，y0)在曲线C上，得y0＝x－3x＋2x0，
∴＝x－3x0＋2.
又y′＝3x2－6x＋2，∴k＝3x－6x0＋2.
又k＝，∴3x－6x0＋2＝＝x－3x0＋2，
整理得2x－3x0＝0.
∵x0≠0，∴x0＝，此时y0＝－，k＝－.
因此直线l的方程为y＝－x，切点坐标为.
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1．应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，要先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．
2．注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”．
3．求复合函数的导数应处理好以下环节：
(1)正确分析函数的复合层次；
(2)中间变量应是基本初等函数结构；
(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；
(4)善于把一部分表达式作为一个整体；
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．
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1．已知f(x)＝x－5＋3sin x，则f′(x)等于( )
A．－5x－6－3cos x B．x－6＋3cos x
C．－5x－6＋3cos x D．x－6－3cos x
解析：f′(x)＝(x－5＋3sin x)′＝(x－5)′＋(3sin x)′
＝－5x－6＋3cos x.
答案：C
2．已知f(x)＝sinnx，则f′(x)＝( )
A．nsinn－1x B．ncosn－1x
C．cosnx D．nsinn－1x·cos x
解析：由于f(x)＝sinnx，由函数y＝tn，t＝sin x复合而成，∴yx′＝yt′·tx′＝ntn－1·cos x＝nsinn－1x·cos x.
答案：D
3．曲线y＝在点(1,1)处的切线方程为( )
A．x－y－2＝0 B．x＋y－2＝0
C．x＋4y－5＝0 D．x－4y－5＝0
解析：y′＝，∴切线的斜率k＝f′(1)＝－1，由直线的点斜式方程得切线方程是x＋y－2＝0.
答案：B
4．已知直线y＝x＋1与曲线f(x)＝ln (x＋a)相切，则a的值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
解析：设切点P(x0，y0)，则y0＝x0＋1＝ln (x0＋a)．又由f′(x0)＝＝1，得x0＋a＝1，∴y0＝0，x0＝－1，∴a＝2.
答案：B
5．若f(x)＝，则f′(0)＝________.
解析：∵f′(x)＝(ex－e－x)，∴f′(0)＝0.
答案：0
6．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________．
解析：∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，
∴f′＝－f′×＋ ，
得f′＝ －1.
∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x．∴f＝1.
答案：1
7．求下列函数的导数．
(1)y＝x；
(2)y＝；
(3)y＝(4x－x)(ex＋1)；
(4)y＝x；
(5)y＝sin3x＋sin x3.
解：(1)∵y＝x＝x3＋1＋，
∴y′＝3x2－.
(2)y′＝
＝.
(3)法一：∵y＝(4x－x)(ex＋1)＝4xex＋4x－xex－x，
∴y′＝(4xex＋4x－xex－x)′
＝(4x)′ex＋4x(ex)′＋(4x)′－[x′ex＋x(ex)′]－x′
＝ex4xln 4＋4xex＋4xln 4－ex－xex－1
＝ex(4xln 4＋4x－1－x)＋4xln 4－1.
法二：y′＝(4x－x)′(ex＋1)＋(4x－x)(ex＋1)′
＝(4xln 4－1)(ex＋1)＋(4x－x)ex
＝ex(4xln 4＋4x－1－x)＋4xln 4－1.
(4)y′＝(x)′＝x′＋x′
＝ ＋
＝.
(5)y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′
＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2
＝3sin2xcos x＋3x2cos x3.
8．已知曲线y＝e2x·cos 3x在点(0,1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程．
解：∵y′＝(e2x)′·cos 3x＋e2x·(cos 3x)′
＝2e2x·cos 3x－3e2x·sin 3x，
∴f′(0)＝2，∴曲线在点(0,1)处的切线方程为
y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.
设直线l的方程为y＝2x＋b，
根据题意，得＝，解得b＝6或－4.
∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.
课件29张PPT。第一章把握热点考向理解教材新知应用创新演练1.2
导数的运算1.2.3
导数的四则运算法则考点一考点二考点三应用创新演练见课时跟踪训练(五)课时跟踪训练(五) 导数的四则运算法则
1．已知f(x)＝x－5＋3sin x，则f′(x)等于( )
A．－5x－6－3cos x B．x－6＋3cos x
C．－5x－6＋3cos x D．x－6－3cos x
2．已知f(x)＝sinnx，则f′(x)＝( )
A．nsinn－1x B．ncosn－1x
C．cosnx D．nsinn－1x·cos x
3．曲线y＝在点(1,1)处的切线方程为( )
A．x－y－2＝0 B．x＋y－2＝0
C．x＋4y－5＝0 D．x－4y－5＝0
4．已知直线y＝x＋1与曲线f(x)＝ln (x＋a)相切，则a的值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
5．若f(x)＝，则f′(0)＝________.
6．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________．
7．求下列函数的导数．
(1)y＝x；
(2)y＝；
(3)y＝(4x－x)(ex＋1)；
(4)y＝x；
(5)y＝sin3x＋sin x3.
8．已知曲线y＝e2x·cos 3x在点(0,1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程．
答案
1．选C f′(x)＝(x－5＋3sin x)′＝(x－5)′＋(3sin x)′
＝－5x－6＋3cos x.
2．选D 由于f(x)＝sinnx，由函数y＝tn，t＝sin x复合而成，
∴yx′＝yt′·tx′＝ntn－1·cos x＝nsinn－1x·cos x.
3．选B y′＝，
∴切线的斜率k＝f′(1)＝－1，
由直线的点斜式方程得切线方程是x＋y－2＝0.
4．选B 设切点P(x0，y0)，则y0＝x0＋1＝ln (x0＋a)．
又由f′(x0)＝＝1，得x0＋a＝1，
∴y0＝0，x0＝－1，
∴a＝2.
5．解析：∵f′(x)＝(ex－e－x)，
∴f′(0)＝0.
答案：0
6．解析：∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，
∴f′＝－f′×＋ ，
得f′＝ －1.
∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x．∴f＝1.
答案：1
7．解：(1)∵y＝x＝x3＋1＋，
∴y′＝3x2－.
(2)y′＝
＝.
(3)法一：∵y＝(4x－x)(ex＋1)＝4xex＋4x－xex－x，
∴y′＝(4xex＋4x－xex－x)′
＝(4x)′ex＋4x(ex)′＋(4x)′－[x′ex＋x(ex)′]－x′
＝ex4xln 4＋4xex＋4xln 4－ex－xex－1
＝ex(4xln 4＋4x－1－x)＋4xln 4－1.
法二：y′＝(4x－x)′(ex＋1)＋(4x－x)(ex＋1)′
＝(4xln 4－1)(ex＋1)＋(4x－x)ex
＝ex(4xln 4＋4x－1－x)＋4xln 4－1.
(4)y′＝(x)′＝x′＋x′
＝ ＋
＝.
(5)y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′
＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2
＝3sin2xcos x＋3x2cos x3.
8．解：∵y′＝(e2x)′·cos 3x＋e2x·(cos 3x)′
＝2e2x·cos 3x－3e2x·sin 3x，
∴f′(0)＝2，∴曲线在点(0,1)处的切线方程为
y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.
设直线l的方程为y＝2x＋b，
根据题意，得＝，解得b＝6或－4.
∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.
