1.3/导数的应用
1．3.1 利用导数判断函数的单调性/
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已知函数y1＝x，y2＝x2，y3＝的图像如图所示．
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问题1：试结合图像指出以上三个函数的单调性．
提示：函数y1＝x在R上为增函数，y2＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，y3＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数．
问题2：判断它们的导数在其单调区间上的正、负．
提示：y1′＝1在R上为正，y2′＝2x，在(－∞，0)上为负，在(0，＋∞)上为正，y3′＝－在 (－∞，0)及(0，＋∞)上均为负．
问题3：结合问题1、2探讨函数的单调性与其导函数正负有什么关系？
提示：当f′(x)>0时，f(x)为增函数，当f′(x)<0时，f(x)为减函数．
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利用导数判断函数单调性的法则
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函数的单调性与其导数正负的关系
(1)利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是函数f(x)在某个区间上递增(或递减)的充分条件．
(2)在区间(a，b)内可导的函数f(x)在区间(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(x∈(a，b))恒成立且f′(x)在区间(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.
(3)特别地，如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是常数函数．
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判断函数的单调性
[例1] 求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．
[思路点拨] 根据函数的单调性与导数正负的关系，只要证明f′(x)在(0，＋∞)上为正，在(－∞，0)上为负即可．
[精解详析] 由于f(x)＝ex－x－1，
所以f′(x)＝ex－1，
当x∈(0，＋∞)时，ex＞1，即f′(x)＝ex－1＞0.
故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数，
当x∈(－∞，0)时，ex＜1，即f′(x)＝ex－1＜0.
故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数．
[一点通] 利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：①求f′(x)；②确定f′(x)在(a，b)内的符号；③得出结论．
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1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．y＝sin2x B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝－x＋ln (1＋x)
解析：y＝xex，则y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)在(0，＋∞)上恒大于0.
答案：B
2．证明函数f(x)＝x＋sin x在R上是增函数．
证明：f′(x)＝1＋cos x，
∵－1≤cos x≤1，∴0≤1＋cos x≤2，
当且仅当cos x＝－1，即x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，f′(x)＝0.
∴f(x)＝x＋sin x在R上是增函数．
3．讨论函数f(x)＝(－1＜x＜1，b≠0)的单调性．
解：∵f′(x)＝＝，
∴当b＜0时，f′(x)＞0，故f(x)在(－1,1)上是增函数，
当b＞0时，f′(x)＜0，故f(x)在(－1,1)上是减函数．
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求函数的单调区间
[例2] 求函数f(x)＝x2－ln x2的单调区间．
[思路点拨] ―→―→
―→
[精解详析] 函数f(x)＝x2－ln x2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
又f′(x)＝2x－＝＝，
由f′(x)＞0得－1＜x＜0或x＞1；由f′(x)＜0得x＜－1或0＜x＜1.
因此，函数f(x)的单调递增区间是(－1,0)，(1，＋∞)；单调递减区间是(－∞，－1)，(0,1)．
[一点通] 确定可导函数f(x)的单调区间应遵循下列步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解不等式f′(x)＞0，f′(x)＜0；
(4)写出函数的单调区间．
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4．函数f(x)＝5x2－2x的单调增区间是( )
A. B.
C. D.
解析：由f′(x)＝10x－2＞0得x＞，
即增区间为.
答案：A
5．求函数f(x)＝的单调区间．
解：函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以ex＞0，(x－2)2＞0.
由f′(x)＞0得x＞3，
所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；
由f′(x)＜0得x＜3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3).
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应用函数单调性求参数范围
[例3] (12分)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．
[精解详析] f′(x)＝2x－＝.?(2分)
要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，
则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，
即≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．?(5分)
∵x2>0，∴2x3－a≥0，
∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立，
∴a≤(2x3)min.?(7分)
∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的，
∴(2x3)min＝16，∴a≤16.?(10分)
当a＝16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))，有且只有f′(2)＝0，
∴a的取值范围是(－∞，16]．?(12分)
[一点通] 已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法：
(1)利用集合的包含关系处理：f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；
(2)利用不等式的恒成立处理：f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号对有限个x成立．
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6．如果函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a≠0)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，则常数a的值为( )
A．1 B．2
C．－6 D．－12
解析：f′(x)＝6x2＋2ax，令6x2＋2ax＜0，当a＞0时，解得－＜x＜0，不合题意；当a＜0时，解得0＜x＜－，由题意知－＝2，a＝－6.
答案：C
7．若函数f(x)＝ax3－x2－x－5的单调递减区间是，求实数a的值．
解：因为f′(x)＝3ax2－2x－1，且函数f(x)＝ax3－x2－x－5的单调递减区间是，所以3ax2－2x－1＜0的解集为，则－，1是方程3ax2－2x－1＝0的两根且a＞0，代入可得a＝1.
8．已知f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．
解：∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a.
由f′(x)＝0，得x＝±(a≥0)，
∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，
∴0＜＜1，即0＜a＜3.
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1．在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，只能在定义域内通过讨论导数的符号来确定函数的单调区间．
2．一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间．
3．当给定问题中含有字母参数时，需要分类讨论确定单调区间．
4．两个单调性相同的区间，不能用并集符号连接．
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1．函数y＝x2－ln x的单调减区间为( )
A．(0,1) B．(0,1)∪(－∞，－1)
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：y′＝x－＝，∵x＞0，∴由y′＜0得x＜1，∴0＜x＜1.
答案：A
2．设f′(x)是函数f(x)的导数，y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像最有可能是选项中的( )
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解析：由y＝f′(x)的图像得：当－10，所以y＝f(x)在(－1,1)上单调递增．
因为当x<－1和x>1时，f′(x)<0，所以y＝f(x)在(－∞，－1)，(1 ，＋∞)上分别单调递减．综合选项得只有B正确．
答案：B
3．已知函数f(x)＝＋ln x，则有( )
A．f(2)C．f(3)解析：在(0，＋∞)上，f′(x)＝＋>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)答案：A
4．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0,1]
C．(－∞，1] D．(0,1)
解析：f′(x)＝3x2－2ax－1，∵f(x)在(0,1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，
∴f′(0)≤0，f′(1)≤0，∴a≥1.
答案：A
5．函数f(x)＝sin x－2x的单调递减区间是________．
解析：∵f′(x)＝cos x－2<0，∴f(x)在R上为减函数．
答案：(－∞，＋∞)
6．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．
解析：若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b＞0.
答案：(0，＋∞)
7．已知函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．
解：∵函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，∴a＜0，b＜0.
由y＝ax3＋bx2＋5，得y′＝3ax2＋2bx.
令y′＞0，得3ax2＋2bx＞0，
∴－＜x＜0.
令y′＜0，得3ax2＋2bx＜0，
∴x＜－或x＞0.
∴函数y＝ax3＋bx2＋5的单调递增区间为，单调递减区间为和(0，＋∞)．
8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝－4，f′(1)＝0.
(1)求a和b；
(2)试确定函数f(x)的单调区间；
(3)求证当x>3时，f(x)>9.
解：(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx，
∴f′(x)＝x2＋2ax＋b，
由f′(－1)＝－4，f′(1)＝0得
解得a＝1，b＝－3.
(2)由(1)得f(x)＝x3＋x2－3x，
f′(x)＝x2＋2x－3＝(x－1)(x＋3)．
由f′(x)＞0得x＞1或x＜－3；
由f′(x)＜0得－3＜x＜1.
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3,1)．
(3)证明：由(2)知f(x)在(3，＋∞)上是增函数，
∴x>3时，f(x)>f(3)＝9.
课件22张PPT。第一章把握热点考向理解教材新知应用创新演练1.3
导数的应用1．3.1 利用导数判断函数的单调性考点一考点二考点三应用创新演练见课时跟踪训练(六)课时跟踪训练(六) 利用导数判断函数的单调性
1．函数y＝x2－ln x的单调减区间为( )
A．(0,1) B．(0,1)∪(－∞，－1)
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(0，＋∞)
2．设f′(x)是函数f(x)的导数，y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像最有可能是选项中的( )
3．已知函数f(x)＝＋ln x，则有( )
A．f(2)C．f(3)4．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0,1]
C．(－∞，1] D．(0,1)
5．函数f(x)＝sin x－2x的单调递减区间是________．
6．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．
7．已知函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．
8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝－4，f′(1)＝0.
(1)求a和b；
(2)试确定函数f(x)的单调区间；
(3)求证当x>3时，f(x)>9.
答案
1．选A y′＝x－＝，∵x＞0，∴由y′＜0得x＜1，∴0＜x＜1.
2．选B 由y＝f′(x)的图像得：当－10，所以y＝f(x)在(－1,1)上单调递增．
因为当x<－1和x>1时，f′(x)<0，所以y＝f(x)在(－∞，－1)，(1 ，＋∞)上分别单调递减．综合选项得只有B正确．
3．选A 在(0，＋∞)上，f′(x)＝＋>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)4．选A f′(x)＝3x2－2ax－1，∵f(x)在(0,1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，
∴f′(0)≤0，f′(1)≤0，∴a≥1.
5．解析：∵f′(x)＝cos x－2<0，∴f(x)在R上为减函数．
答案：(－∞，＋∞)
6．解析：若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b＞0.
答案：(0，＋∞)
7．解：∵函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，
∴a＜0，b＜0.
由y＝ax3＋bx2＋5，得y′＝3ax2＋2bx.
令y′＞0，得3ax2＋2bx＞0，
∴－＜x＜0.
令y′＜0，得3ax2＋2bx＜0，
∴x＜－或x＞0.
∴函数y＝ax3＋bx2＋5的单调递增区间为，单调递减区间为和(0，＋∞)．
8．解：(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx，
∴f′(x)＝x2＋2ax＋b，
由f′(－1)＝－4，f′(1)＝0得
解得a＝1，b＝－3.
(2)由(1)得f(x)＝x3＋x2－3x，
f′(x)＝x2＋2x－3＝(x－1)(x＋3)．
由f′(x)＞0得x＞1或x＜－3；
由f′(x)＜0得－3＜x＜1.
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3,1)．
(3)证明：由(2)知f(x)在(3，＋∞)上是增函数，
∴x>3时，f(x)>f(3)＝9.
