第二课时 利用导数研究函数的最值问题
如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图像．
问题1：观察[a，b]上函数y＝f(x)的图像，试找出它的极大值；极小值．
提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．
问题2：结合图像判断函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
提示：存在．f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．
问题3：函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是其极值吗？
提示：不一定，也可能是区间端点的函数值．
问题4：怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？
提示：比较极值与区间端点处的函数值，最大(小)的是最大(小)值．
1．函数的最值
假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点取得，由于可导函数在区间(a，b)内的极值只可能在使f′(x)＝0的点取得，因此把函数在区间端点的值与区间内使f′(x)＝0的点的值作比较，最大者必为函数在[a，b]上的最大值，最小者必为最小值．
2．求函数y＝f(x)在[a，b]的最大(小)值步骤
(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有使f′(x)＝0的点；
(2)计算函数f(x)在区间使f′(x)＝0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
1．对函数最值的两点说明
(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值．若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．
(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念．
2．函数极值与最值的关系
(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．
(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个．
(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．
求函数的最值
[例1] 求函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]的最值．
[思路点拨] →→→→→
[精解详析] f′(x)＝－4x3＋4x，
令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，
得x＝－1，x＝0，x＝1.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化状态如下表：
x
－3
(－3，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
0
－
f(x)
－60
?
4
?
3
?
4
?
－5
∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；
当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.
[一点通] 利用导数求函数最值的方法
(1)若函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，在区间(a，b)内只有一个导数值为0的点，且在这一点处取得极值，则该点一定是函数的最值点．
(2)求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上导数值为0的点，无需判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值．
1．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)( )
A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，也无最小值 D．无最大值，但有最小值
解析：∵f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0即3x2－3＝0
得x＝±1，而±1?(－1,1)，故f(x)在(－1,1)上无最值．
答案：C
2．函数y＝在[0,2]上的最大值为________．
解析：∵y′＝＝，
令y′＝0，得x＝1∈[0,2]．
∵f(1)＝，f(0)＝0，f(2)＝.
∴f(x)max＝f(1)＝.
答案：
3．求下列函数在给定区间上的最值：
(1)f(x)＝ln (1＋x)－x2，x∈[0,2]；
(2)f(x)＝sin 2x－x，x∈.
解：(1)f′(x)＝－＝.
由f′(x)＝0得x＝1，－2(舍去)．
函数f′(x)，f(x)随x的变化状态如下表：
x
0
(0,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
0
?
ln 2－
?
ln 3－1
∴f(x)max＝f(1)＝ln 2－，
f(x)min＝f(0)＝0.
(2)f′(x)＝2cos 2x－1，
令f′(x)＝0，得x＝±＋kπ(k∈Z)．
又x∈，得x＝±，
∵f＝－，f＝－＋，
又f＝－，f＝，
∴f(x)max＝，f(x)min＝－.
已知函数的最值求参数
[例2] 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上有最大值3，最小值－29，求a，b的值．
[思路点拨]
→→
解：依题意，显然a≠0.
因为f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，x∈[－1,2]，
所以令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．
(1)若a>0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
[－1,0)
0
(0,2]
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
极大值
?
由上表知，当x＝0时，f(x)取得最大值，所以f(0)＝b＝3.
又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，
故f(－1)>f(2)，
所以当x＝2时，f(x)取得最小值，
即－16a＋3＝－29，a＝2.
(2)若a<0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
[－1,0)
0
(0,2]
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
所以当x＝0时，f(x)取得最小值，
所以f(0)＝b＝－29.
又f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，
故f(2)>f(－1)．
所以当x＝2时，f(x)取得最大值，
即－16a－29＝3，a＝－2.
综上所述，所求a，b的值为或
[一点通]
(1)已知函数最值，求其中的参数：
①求导数f′(x)，并求极值；
②利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最值；
③利用最值列关于参数的方程(组)，解方程(组)即可．
(2)注意事项：
若参数变化影响着函数的单调性变化，往往要对参数进行分类讨论．
4．如果函数f(x)＝x3－x2＋a在[－1,1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1,1]上的最小值是________．
解析：f′(x)＝3x2－3x＝3x(x－1)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1.
当－1≤x≤0时，f′(x)≥0，则f(x)为增函数；
当0∴当x＝0时，f(x)取得最大值，最大值为a，∴a＝2.
∴f(－1)＝－1－＋2＝－，
f(1)＝1－＋2＝.
∴在[－1,1]上，f(x)的最小值为－.
答案：－
5．已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上有极大值3，最小值－29，求a，b的值．
解：依题意，显然a≠0.
f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，x∈[－1,2]，
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．
(1)若a>0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
[－1,0)
0
(0,2]
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
极大值
?
由上表可以看出，当x＝0时，f(x)取得极大值，
所以f(0)＝b＝3.
又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，
故f(－1)>f(2)，
所以当x＝2时，f(x)取得最小值，
即－16a＋3＝－29，a＝2.
(2)若a<0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
[－1,0)
0
(0,2]
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
由上表可以看出，此时函数f(x)在区间[－1,2]上没有极大值，不符合题意．
综上，所求a，b的值为a＝2，b＝3.
与最值有关的恒成立问题
[例3] (12分)设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
[精解详析] (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.?(4分)
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去)．?(6分)
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化状态如下表：
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
?
1－m
?
∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)＝1－m.?(10分)
h(t)＜－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)＜0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m＜0，
∴m的取值范围为(1，＋∞)．?(12分)
[一点通] 不等式恒成立问题是高考中常见的典型问题．这类问题的解决，大多可用函数的观点来审视，用函数的有关性质来处理，而导数是研究函数性质的有力工具，因而常将不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))恒成立问题转化为F(x)＝f(x)－g(x)＞0(F(x)＝f(x)－g(x)＜0)恒成立问题，再用导数方法探讨F(x)的单调性及最值．
6．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，
所以f′(x)＝2x3－6x2，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，
经检验知x＝3是函数的最小值点，
所以函数的最小值为f(3)＝3m－.
不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.
答案：
7．设函数f(x)＝x2ex.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)＜m恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)f′(x)＝xex＋x2ex＝exx(x＋2)，
令exx(x＋2)＞0，得x＞0或x＜－2，
∴f(x)的增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞)．
令exx(x＋2)＜0，得－2＜x＜0，
∴f(x)的减区间为(－2,0)．
(2)因为x∈[－2,2]，令f′(x)＝0，得x＝－2，或x＝0，
∵f(－2)＝，f(2)＝2e2，f(0)＝0，
∴f(x)max＝2e2，
∵x∈[－2,2]时f(x)＜m恒成立．
∴m＞2e2即m的取值范围为(2e2，＋∞)．
1．函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值．
例如：函数f(x)＝在(0，＋∞)上连续，但没有最大值与最小值．
2．设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
(1)求f(x)在(a，b) 内的极值．(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，确定f(x)的最大值与最小值．
3．不等式恒成立问题的转化技巧：
(1)a≥f(x)(或≤f(x))恒成立?a≥f(x)max(或≤f(x)min)；
(2)a≥f(x)(或≤f(x))有解?a≥f(x)min(或≤f(x)max)；
(3)f(x)≥g(x)恒成立?F(x)min≥0(其中F(x)＝f(x)－g(x))；
(4)f(x)≥g(x)有解?F(x)max≥0(其中F(x)＝f(x)－g(x))．
1．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是( )
A．π－1 B.－1
C．π D．π＋1
解析：y′＝1－cos x≥0，所以y＝x－sin x在上为增函数．当x＝π时，ymax＝π.
答案：C
2．函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0,2]上的最大值是3，则a的值为( )
A．2 B．1
C．－2 D．－1
解析：f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，解得x＝－(舍去)或x＝1，又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，则f(2)最大，即a＋2＝3，所以a＝1.
答案：B
3．函数f(x)＝2＋，x∈(0,5]的最小值为( )
A．2 B．3
C. D．2＋
解析：由f′(x)＝－＝＝0得x＝1，
且x∈(0,1)时f′(x)＜0，x∈(1,5]时f′(x)＞0，
∴x＝1时f(x)最小，最小值为f(1)＝3.
答案：B
4．若对任意的x＞0，恒有ln x≤px－1(p＞0)，则p的取值范围是( )
A．(0,1] B．(1，＋∞)
C．(0,1) D．[1，＋∞)
解析：原不等式可化为ln x－px＋1≤0，令f(x)＝ln x－px＋1，故只需f(x)max≤0，由f′(x)＝－p知f(x)在上单调递增；在上单调递减．故f(x)max＝f＝－ln p，即－ln p≤0，解得p≥1.
答案：D
5．函数f(x)＝2x3－6x2在[－2,2]上最小值为________．
解析：由题意知，f′(x)＝6x2－12x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2，当x<0或x>2时，f′(x)>0，当0答案：－40
6．若关于x的不等式x2＋≥m对任意x∈恒成立，则m的取值范围是________．
解析：设y＝x2＋，则y′＝2x－＝.
∵x≤－，∴y′<0，
即y＝x2＋在上单调递减．
∴当x＝－时，y取得最小值为－.
∵x2＋≥m恒成立，∴m≤－.
答案：
7．已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的表达式；
(2)求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值.
解：(1)∵f′(x)＝3ax2＋2x＋b，
∴g(x)＝f(x)＋f′(x)
＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.
∵g(x)是奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，
即对任意实数x有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]，
从而3a＋1＝0，b＝0，
解得a＝－，b＝0，
因此f(x)的表达式为f(x)＝－x3＋x2.
(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，
∴g′(x)＝－x2＋2，令g′(x)＝0.
解得x1＝－(舍去)，x2＝，
而g(1)＝，g()＝，g(2)＝，因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()＝，最小值为g(2)＝.
8．已知函数f(x)＝ln x－.
(1)若f(x)存在最小值且最小值为2，求a的值；
(2)设g(x)＝ln x－a，若g(x)＜x2在(0，e]上恒成立，求a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝＋＝(x＞0)，
当a≥0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)不存在最小值；
当a＜0时由f′(x)＝0得x＝－a，
且0＜x＜－a时f′(x)＜0，x＞－a时f′(x)＞0.
∴x＝－a时f(x)取最小值，
f(－a)＝ln (－a)＋1＝2，解得a＝－e.
(2)g(x)＜x2即ln x－a＜x2，即a＞ln x－x2，
故g(x)＜x2在(0，e]上恒成立，也就是a＞ln x－x2在(0，e]上恒成立．
设h(x)＝ln x－x2，则h′(x)＝－2x＝，由h′(x)＝0及0＜x≤e得x＝.
当0＜x＜时h′(x)＞0，当＜x≤e时h′(x)＜0，即h(x)在上为增函数，在上为减函数，所以当x＝时h(x)取得最大值为h＝ln －.
所以g(x)＜x2在(0，e]上恒成立时，
a的取值范围为.
课件32张PPT。第一章把握热点考向理解教材新知应用创新演练1.3
导数的应用1．3.1 利用导数判断函数的单调性考点一考点二考点三第二课时
利用导数研究函数的最值问题应用创新演练见课时跟踪训练(八)课时跟踪训练(八) 利用导数研究函数的最值问题
1．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是( )
A．π－1 B.－1
C．π D．π＋1
2．函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0,2]上的最大值是3，则a的值为( )
A．2 B．1
C．－2 D．－1
3．函数f(x)＝2＋，x∈(0,5]的最小值为( )
A．2 B．3
C. D．2＋
4．若对任意的x＞0，恒有ln x≤px－1(p＞0)，则p的取值范围是( )
A．(0,1] B．(1，＋∞)
C．(0,1) D．[1，＋∞)
5．函数f(x)＝2x3－6x2在[－2,2]上最小值为________．
6．若关于x的不等式x2＋≥m对任意x∈恒成立，则m的取值范围是________．
7．已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的表达式；
(2)求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值.
8．已知函数f(x)＝ln x－.
(1)若f(x)存在最小值且最小值为2，求a的值；
(2)设g(x)＝ln x－a，若g(x)＜x2在(0，e]上恒成立，求a的取值范围．
答案
1．选C y′＝1－cos x≥0，所以y＝x－sin x在上为增函数．当x＝π时，ymax＝π.
2．选B f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，解得x＝－(舍去)或x＝1，又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，则f(2)最大，即a＋2＝3，所以a＝1.
3．选B 由f′(x)＝－＝＝0得x＝1，
且x∈(0,1)时f′(x)＜0，x∈(1,5]时f′(x)＞0，
∴x＝1时f(x)最小，最小值为f(1)＝3.
4．选D 原不等式可化为ln x－px＋1≤0，令f(x)＝ln x－px＋1，故只需f(x)max≤0，由f′(x)＝－p知f(x)在上单调递增；在上单调递减．故f(x)max＝f＝－ln p，即－ln p≤0，解得p≥1.
5．解析：由题意知，f′(x)＝6x2－12x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2，当x<0或x>2时，f′(x)>0，当0答案：－40
6．解析：设y＝x2＋，则y′＝2x－＝.
∵x≤－，∴y′<0，
即y＝x2＋在上单调递减．
∴当x＝－时，y取得最小值为－.
∵x2＋≥m恒成立，∴m≤－.
答案：
7．解：(1)∵f′(x)＝3ax2＋2x＋b，
∴g(x)＝f(x)＋f′(x)
＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.
∵g(x)是奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，
即对任意实数x有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]，
从而3a＋1＝0，b＝0，
解得a＝－，b＝0，
因此f(x)的表达式为f(x)＝－x3＋x2.
(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，
∴g′(x)＝－x2＋2，令g′(x)＝0.
解得x1＝－(舍去)，x2＝，
而g(1)＝，g()＝，g(2)＝，因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()＝，最小值为g(2)＝.
8．解：(1)f′(x)＝＋＝(x＞0)，
当a≥0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)不存在最小值；
当a＜0时由f′(x)＝0得x＝－a，
且0＜x＜－a时f′(x)＜0，x＞－a时f′(x)＞0.
∴x＝－a时f(x)取最小值，
f(－a)＝ln (－a)＋1＝2，解得a＝－e.
(2)g(x)＜x2即ln x－a＜x2，即a＞ln x－x2，
故g(x)＜x2在(0，e]上恒成立，也就是a＞ln x－x2在(0，e]上恒成立．
设h(x)＝ln x－x2，则h′(x)＝－2x＝，
由h′(x)＝0及0＜x≤e得x＝.
当0＜x＜时h′(x)＞0，当＜x≤e时h′(x)＜0，
即h(x)在上为增函数，在上为减函数，
所以当x＝时h(x)取得最大值为h＝ln －.
所以g(x)＜x2在(0，e]上恒成立时，
a的取值范围为.
