1．3.2 利用导数研究函数的极值
第一课时 利用导数研究函数的极值问题
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已知y＝f(x)的图像(如图)．
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问题1：函数y＝f(x)在b，c，d，e点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？
提示：在b，d点的函数值是这两个点附近的函数值中最大的，而在c，e点的函数值是这两个点附近的函数值中最小的．
问题2：y＝f(x)在b，c，d，e点的导数值是多少？
提示：f′(b)＝f′(c)＝f′(d)＝f′(e)＝0.
问题3：在b，c，d，e点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？
提示：在b，d点附近的导数的符号是左正右负，而在c，e点附近的导数的符号是左负右正．
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1．极值的概念
(1)极大值与极大值点：
已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)(2)极小值与极小值点：
如果在x0 附近都有f(x)>f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．
(3)极值与极值点：
极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
2．求函数y＝f(x)极值的方法
(1)求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根；
(3)考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f′(x)的符号变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果由负变正，则f(x0)是极小值，如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左、右侧，f′(x)的符号不变，则f(x0)不是极值．
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1．对极值概念的理解
(1)函数的极值是一个局部概念，是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大的或是最小的．
(2)在定义域的某个区间内极大值或极小值并不唯一，也可能不存在，并且极大值与极小值之间无确定的大小关系．
2．极值与极值点辨析
(1)函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标，而不是点；极值是函数在极值点处取得的函数值，即函数取得极值时对应点的纵坐标．
(2)极值点一定在区间的内部，端点不可能为极值点．
3．导数与极值的关系
根据极值的定义可知，对于一个可导函数，如果函数y＝f(x)在x0处取得极值，则它在该极值点x0处的导数值等于0，但导数值为0的点不一定是函数的极值点．例如，函数f(x)＝x3可导，且在x＝0处满足f′(0)＝0，但由于当x＜0和x＞0时均有f′(x)＞0，所以x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．
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求函数的极值
[例1] 求下列函数的极值．
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝.
[思路点拨] 首先确定函数的定义域，然后求出函数的导数，利用函数极值的定义求出函数的极值点，进而求出极值．
[精解详析] (1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化状态如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
10
?
－22
?
因此，x＝－1是函数的极大值点，极大值为f(－1)＝10；x＝3是函数的极小值点，极小值为f(3)＝－22.
(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝e.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
?
因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝，
没有极小值．
[一点通] 求函数极值的流程：
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1．函数y＝1＋3x－x3有( )
A．极小值－1，极大值1 B．极小值－2，极大值3
C．极小值－2，极大值2 D．极小值－1，极大值3
解析：y′＝3－3x2，令y′＝3－3x2＝0，得x＝±1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
－1
?
3
?
所以当x＝－1时取得极小值－1，当x＝1时取得极大值3.
答案：D
2．求函数f(x)＝x2e－x的极值．
解：函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝2xe－x＋x2e－x(－x)′＝2xe－x－x2e－x
＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
0
?
?
从表中可以看出，
当x＝0时，函数f(x)有极小值，且f(0)＝0；
当x＝2时，函数f(x)有极大值，且f(2)＝.
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已知极值求参数
[例2] 若函数y＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，试求a，b的值．
[思路点拨]
―→―→―→
[精解详析] 设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，
则f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
依题意得即
解得或
但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3≥0，
故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值．
所以不合题意，舍去；
而当时，经检验知符合题意，
故a，b的值分别为4，－11.
[一点通]
已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
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3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝________.
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，
由题意知－3是3x2＋2ax＋3＝0的根，解3×(－3)2＋2a(－3)＋3＝0得a＝5，经检验a＝5时符合题意．
答案：5
4．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3ax＋1在区间(－∞，＋∞)内既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围是________．
解：依题意，f′(x)＝3x2－2ax＋3a＝0有两个不同实根，
∴Δ＝(－2a)2－4×3×3a＞0，
解得：a＜0或a＞9.
答案：(－∞，0)∪(9，＋∞)
5．设函数f(x)＝x2ex－1＋ax3＋bx2，已知x＝－2和x＝1为f(x)的极值点．
(1)求a和b的值；
(2)讨论f(x)的单调性；
解：(1)f′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx
＝xex－1(x＋2)＋x(3ax＋2b)，
因为x＝－2和x＝1是f(x)的极值点，
所以f′(－2)＝f′(1)＝0，
即解方程组得
(2)因为a＝－，b＝－1，
所以f′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)．
令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝0，x3＝1.
因为当x∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f′(x)<0；
当x∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－2,0)，(1，＋∞)上是单调递增的；
在(－∞，－2)，(0,1)上是单调递减的.
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极值的综合应用
[例3] (12分)已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.
(1)求函数f(x)的极值，并画出其图像(草图)；
(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？
[精解详析] (1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，
得f′(x)＝－3x2＋3，
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.?(2分)
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；
当x∈(－1,1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
所以函数f(x)的极小值为f(－1)＝a－2；
极大值为f(1)＝a＋2.?(5分)
由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图像，如图所示．?(7分)
(2)结合图像，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a－2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．
综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．?(12分)
[一点通]
(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图像问题，一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图像与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图像的交点的横坐标．
(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图像，从直观上判断函数图像与x轴的交点或两个函数图像的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
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6．在例3中当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x) 与x轴仅有三个交点？
解：函数f(x)的大致图像如图所示：
当函数f(x)的极大值a＋2＞0且极小值a－2＜0时，曲线y＝f(x)与x轴仅有三个交点，所以所求实数a的范围是(－2,2)．
7．求函数f(x)＝x3－3x2－a(a∈R)的极值，并讨论a为何值时函数f(x)恰有一个零点．
解：f′(x)＝3x2－6x，函数f(x)的定义域为R，
由f′(x)＝0得x＝0，或x＝2.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化状态如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
－a
?
－4－a
?
因此，函数在x＝0处有极大值，极大值为f(0)＝－a；在x＝2处有极小值，极小值为f(2)＝－4－a.
函数y＝f(x)恰有一个零点即y＝f(x)的图像与x轴只有一个交点(如图)，∴或
即或
解得a＜－4或a＞0，
/
所以当a＞0或a＜－4时，函数f(x)恰有一个零点．
/
根据可导函数极值的定义，可知：
(1)极大(小)值未必是最大(小)值，函数可以有多个数值不同的极大(小)值；
(2)极大(小)值是局部领域内的最大(小)值；
(3)极大(小)值只能在区间的内点取得，常数函数没有极大值，也没有极小值；
(4)f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0取得极值的必要条件，不是充分条件．
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/
1．函数f(x)＝2－x2－x3的极值情况是( )
A．有极大值，没有极小值 B．有极小值，没有极大值
C．既无极大值也无极小值 D．既有极大值又有极小值
解析：f′(x)＝－2x－3x2，令f′(x)＝0有x＝0或x＝－.当x＜－时，f′(x)＜0；当－＜x＜0时，f′(x)＞0；当x＞0时，f′(x)＜0，从而在x＝0时，f(x)取得极大值，在x＝－时，f(x)取得极小值．
答案：D
2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)( )
/
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
解析：由导数与函数极值的关系知，在x0的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x)在x＝x0处取得极大值；若在x0的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x)在x＝x0处取得极小值，设y＝f′(x)图像与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．
答案：C
3．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为( )
A．1，－3 B．1,3
C．－1,3 D．－1，－3
解析：f′(x)＝3ax2＋b，由题意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，∴∴a＝1，b＝－3.
答案：A
4．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出下列命题：
①f(x)是增函数，无极值；
②f(x)是减函数，无极值；
③f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)；
④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．
其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝3x2－6x>0，得x>2或x<0；令f′(x)＝3x2－6x<0，得0答案：B
5．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为________．
解析：∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a，若y′＝0，则a＝－ex，由已知得：x＞0，∴ex＞1，故a＜－1.
答案：(－∞，－1)
6．函数f(x)＝aln x＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＝________，b＝________.
解析：f′(x)＝＋2bx＋3＝，∵函数的极值点为x1＝1，x2＝2，∴x1＝1，x2＝2是方程f′(x)＝＝0的两根，即为2bx2＋3x＋a＝0的两根，∴由根与系数的关系知解得
答案：－2 －
7．求函数f(x)＝＋3ln x的极值．
解：函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＋＝，
令f′(x)＝0得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
3
?
因此当x＝1时，f(x)有极小值，并且f(1)＝3.
8．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．
当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，
∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当a>0时，由f′(x)>0解得x<－，或x>，
由f′(x)<0解得－∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－)，
(，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－，)．
(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，
f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0.∴a＝1.
∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.
由f′(x)＝0解得x＝－1或x＝1，
由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，
结合图像可知m的取值范围是(－3,1)．
课件29张PPT。第一章把握热点考向理解教材新知应用创新演练1.3
导数的应用1．3.1 利用导数判断函数的单调性考点一考点二考点三第一课时
利用导数研究函数的极值问题应用创新演练见课时跟踪训练(七)课时跟踪训练(七) 利用导数研究函数的极值问题
1．函数f(x)＝2－x2－x3的极值情况是( )
A．有极大值，没有极小值 B．有极小值，没有极大值
C．既无极大值也无极小值 D．既有极大值又有极小值
2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
3．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为( )
A．1，－3 B．1,3
C．－1,3 D．－1，－3
4．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出下列命题：
①f(x)是增函数，无极值；
②f(x)是减函数，无极值；
③f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)；
④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．
其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
5．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为________．
6．函数f(x)＝aln x＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＝________，b＝________.
7．求函数f(x)＝＋3ln x的极值．
8．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围．
答案
1．选D f′(x)＝－2x－3x2，令f′(x)＝0有x＝0或x＝－.当x＜－时，f′(x)＜0；当－＜x＜0时，f′(x)＞0；当x＞0时，f′(x)＜0，从而在x＝0时，f(x)取得极大值，在x＝－时，f(x)取得极小值．
2．选C 由导数与函数极值的关系知，在x0的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x)在x＝x0处取得极大值；若在x0的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x)在x＝x0处取得极小值，设y＝f′(x)图像与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．
3．选A f′(x)＝3ax2＋b，由题意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，∴∴a＝1，b＝－3.
4．选B f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝3x2－6x>0，得x>2或x<0；令f′(x)＝3x2－6x<0，得05．解析：∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a，若y′＝0，则a＝－ex，由已知得：x＞0，∴ex＞1，故a＜－1.
答案：(－∞，－1)
6．解析：f′(x)＝＋2bx＋3＝，∵函数的极值点为x1＝1，x2＝2，∴x1＝1，x2＝2是方程f′(x)＝＝0的两根，即为2bx2＋3x＋a＝0的两根，∴由根与系数的关系知解得
答案：－2 －
7．解：函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＋＝，
令f′(x)＝0得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
3
?
因此当x＝1时，f(x)有极小值，并且f(1)＝3.
8．解：(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．
当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，
∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当a>0时，由f′(x)>0解得x<－，或x>，
由f′(x)<0解得－∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－)，
(，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－，)．
(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，
f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0.∴a＝1.
∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.
由f′(x)＝0解得x＝－1或x＝1，
由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，
结合图像可知m的取值范围是(－3,1)．
