1．3.3 导数的实际应用
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问题：将8分成两个非负数之和，使其立方和最小，应该怎么分？
提示：设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和
y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2，且0≤x≤8，
y′＝48x－192.
令y′＝0，即48x－192＝0，得x＝4.
当0≤x<4时y′<0，当40，
∴当x＝4时，y最小．
即分成的这两个数应为4,4.
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最优化问题
在经济生活中，为使经济利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题．
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解决最优化问题的基本步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；
(2)求导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大的一个为最大值，最小的一个为最小值；
(4)依据实际问题的意义给出答案．
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长度、面积与容积的最值问题
[例1] 在高为H、底面半径为R的圆锥内作一个内接圆柱，当圆柱底面半径r为多大时，圆柱的体积最大？
[思路点拨] 建立关于圆柱底面半径r、高h的函数关系式是解题的关键．
[解] 设圆柱底面半径为r、高为h、体积为V，
在圆锥的轴截面△ABC中(如图)，
∵＝，∴h＝H，
∴V＝πr2h＝πr2H
＝πHr2－πr3(0＜r＜R)，
V′＝2πHr－3πr2.
令V′＝0得r＝R或r＝0(舍去)．
由于在(0，R)内函数只有一个极大值点，根据题意知该点即为最大值点，
∴当r＝R时，体积最大且Vmax＝πR2H.
[一点通] 解决几何中的长度、面积、体积的最值问题，关键是正确引入变量，利用相关知识把相关量均用该变量表示，从而将长度、面积、体积表示为所引入变量的函数，再利用导数求解函数的最值，但因为是实际问题，要根据题目中的条件，求出定义域．
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1．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
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(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．
由已知得
a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.
2．要做成一个截面为等腰梯形的水槽，下底长和腰都为a，如图，问斜角θ为多大时，水槽的流量最大？
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解：设横截面面积为S，则
S＝(AB＋ED)·CD，
AB＝a＋2acos θ，CD＝asin θ，
S＝[a＋(a＋2acos θ)]·asin θ
＝a2sin θ(1＋cos θ).
又S′＝a2(2cos2θ＋cos θ－1)，
令S′＝0，即a2(2cos2θ＋cos θ－1)＝0，
得cos θ＝或cos θ＝－1.
因为0<θ<，故cos θ≠－1，则cos θ＝，此时θ＝.
而0<θ<时，S′>0；<θ<时，S′<0.
故当θ＝时，横截面的面积最大，此时，水槽的流量最大．
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用料最省、成本(费用)最低问题
[例2] 如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖) .
(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域．
(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．
[思路点拨] →→→→→
[精解详析] (1)设长为x m，则宽为 m.
据题意
解得≤x≤16，
y＝×400＋×248＋16 000
＝800x＋＋16 000 ，定义域为.
(2)由y′＝800－＝0，
解得x＝18.
当x∈(0,18)时，函数y为减函数；
当x∈(18，＋∞)时，函数y为增函数．
又∵≤x≤16，
∴当x＝16时，ymin＝45 000.
∴当且仅当长为16 m、宽为12.5 m时，总造价y最低为45 000元．
[一点通]
(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际做答．
(2)利用导数的方法解决实际问题．当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
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3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( )
A．32米，16米 B．30米，15米
C．40米，20米 D．36米，18米
解析：设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x米，其他两边的边长均为y米，则xy＝512.
则所用材料l＝x＋2y＝2y＋(y＞0)，
求导数，得l′＝2－.
令l′＝0，解得y＝16或y＝－16(舍去)．
当0＜y＜16时，l′＜0；当y＞16时，l′＞0.所以y＝16是函数l＝2y＋(y＞0)的极小值点，也是最小值点．此时，x＝＝32.
所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省．
答案：A
4．甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P＝v4－v3＋15v，
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．
解：(1)Q＝P·＝·
＝·400
＝－v2＋6 000(0＜v≤100)．
(2)Q′＝－5v，
令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80，
当0＜v＜80时，Q′＜0；
当80＜v≤100时，Q′＞0，
∴v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且从而Qmin＝Q(80)＝(元).
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利润最大问题
[例3] (12分)某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝(x∈N＋)，
(1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数；
(2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？
[解] (1)因为次品率p＝，
所以当每天生产x件时，有x·件次品，
有x件正品．?(2分)
所以T＝200x·－100x·
＝25·(x∈N＋)．?(6分)
(2)T′＝－25·，?(8分)
由T′＝0，得x＝16或x＝－32(舍去)．?(9分)
当00；
当x>16时，T′<0.
所以当x＝16时，T最大，
即该厂的日产量定为16件时，能获得最大盈利．?(12分)
[一点通] 利润问题是经济生活中最为常见的问题．一般来说，利润L等于总收入减去总成本，而总收入等于(正品)产量乘以价格．由此可以得到利润L与产量的函数关系式，进而用导数求最大利润．
另外，如果依据条件所确定的函数关系中含有参数a，在解决时，一定要根据情况确定分类标准，对参数a进行讨论，做到不重不漏．
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5．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产( )
A．6千台 B．7千台
C．8千台 D．9千台
解析：设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，
∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．
令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．
答案：A
6．甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x＝2 000.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格)．
(1)将乙方的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y＝0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？
解：(1)因为赔付价格为s元/吨，所以乙方的实际年利润为w＝2 000－st.
由w′＝－s＝，
令w′＝0得t0＝2.
当t＜t0时，w′＞0；当t＞t0时w′＜0，
所以t＝t0时，w取得最大值．因此乙方取得最大利润的年产量t0＝2吨．
(2)设甲方净收入为v元，则v＝st－0.002t2.
将t＝2代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式，
v＝－，
又v′＝－＋＝，
令v′＝0，得s＝20.
当s＜20时，v′＞0；当s＞20时，v′＜0，
所以s＝20时，v取得最大值．
因此甲方向乙方要求赔付价格s＝20(元/吨)时，获最大净收入．
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1．利用导数解决生活中最优化问题的基本思路
解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，利用数学知识建立实际问题的数学模型，再对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，最后把数学结论返回到实际问题中去，其思路如下：
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2．解决优化问题时应注意的问题
(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．
(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．
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1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为s＝t3－2t2，那么速度为0的时刻是( )
A．1秒末 B．0秒
C．2秒末 D．0或1秒末
解析：由题意可得t≥0，且s′＝4t2－4t，令s′＝0，解得t1＝0，t2＝1.
答案：D
2．把一段长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A. cm2 B．4 cm2
C．3 cm2 D．2 cm2
解析：设一段为x，则另一段为12－x(0＜x＜12)，
则S(x)＝×2×＋×2×
＝，
∴S′(x)＝.
令S′(x)＝0，得x＝6，
当x∈(0,6)时，S′(x)＜0，
当x∈(6,12)时，S′(x)＞0，
∴当x＝6时，S(x)最小．
∴S＝＝2(cm2)．
答案：D
3．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为( )
A. cm B．100 cm
C．20 cm D. cm
解析：设高为h，体积为V，
则底面半径r2＝202－h2＝400－h2，
∴V＝πr2h＝(400h－h3)，
V′＝(400－3h2)，
令V′＝0，
得h＝或h＝－(舍)，
则0＜h＜时，V′＞0，h＞时，V′＜0，
故h＝时V最大．
答案：A
4．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
解析：设毛利润为L(p)，由题意知
L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以，L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23 000.
因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．
答案：D
5.如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．
解析：设CD＝x，则点C坐标为，
点B坐标为，
∴矩形ABCD的面积
S＝f(x)＝x·
＝－＋x，x∈(0,2)．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍)，x2＝，
∴x∈时，f′(x)＞0，f(x)是递增的，
x∈时，f′(x)＜0，f(x)是递减的，
当x＝时，f(x)取最大值.
答案：
6．书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分________次进货、每次进________册，可使所付的手续费与库存费之和最少．
解析：设每次进书x千册(0＜x＜150)，手续费与库存费之和为y元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即，故有y＝×30＋×40，
y′＝－＋20＝，
∴当0＜x＜15时y′＜0，当15＜x＜150时y′＞0.
故当x＝15时，y取得最小值，
此时进货次数为＝10(次)．
即该书店分10次进货，每次进15 000册书，所付手续费与库存费之和最少．
答案：10 15 000
7．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加，年销售量y关于x的函数为y＝3 240，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？(年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量)
解：由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x)，
每辆车的出厂价为13(1＋0.7x)，
年利润为f(x)＝[13(1＋0.7x)－10(1＋x)]·y
＝(3－0.9x)×3 240×＝
3 240(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，
则f′(x)＝3 240(2.7x2－9.6x＋4.5)
＝972(9x－5)(x－3)，
由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3(舍去)．
当x∈时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；
当x∈时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．
所以当x＝时，f(x)取极大值，f＝20 000，因为f(x)在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值．
所以当x＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元．
8．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．
解：(1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝(0≤x≤10)，
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5，x＝－(舍去)．
当0＜x＜5时，f′(x)＜0，
当5＜x＜10时，f′(x)＞0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．
课件31张PPT。第一章把握热点考向理解教材新知应用创新演练1.3
导数的应用1．3.3 导数的实际应用考点一考点二考点三应用创新演练见课时跟踪训练(九)课时跟踪训练(九) 导数的实际应用
1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为s＝t3－2t2，那么速度为0的时刻是( )
A．1秒末 B．0秒
C．2秒末 D．0或1秒末
2．把一段长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A. cm2 B．4 cm2
C．3 cm2 D．2 cm2
3．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为( )
A. cm B．100 cm
C．20 cm D. cm
4．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
5．如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．
6．书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分________次进货、每次进________册，可使所付的手续费与库存费之和最少．
7．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加，年销售量y关于x的函数为y＝3 240，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？(年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量)
8．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．
答案
1．选D 由题意可得t≥0，且s′＝4t2－4t，令s′＝0，解得t1＝0，t2＝1.
2．选D 设一段为x，则另一段为12－x(0＜x＜12)，
则S(x)＝×2×＋×2×
＝，
∴S′(x)＝.
令S′(x)＝0，得x＝6，
当x∈(0,6)时，S′(x)＜0，
当x∈(6,12)时，S′(x)＞0，
∴当x＝6时，S(x)最小．
∴S＝＝2(cm2)．
3．选A 设高为h，体积为V，
则底面半径r2＝202－h2＝400－h2，
∴V＝πr2h＝(400h－h3)，
V′＝(400－3h2)，
令V′＝0，
得h＝或h＝－(舍)，
则0＜h＜时，V′＞0，h＞时，V′＜0，
故h＝时V最大．
4．选D 设毛利润为L(p)，由题意知
L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以，L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23 000.
因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．
5．解析：设CD＝x，则点C坐标为，
点B坐标为，
∴矩形ABCD的面积
S＝f(x)＝x·
＝－＋x，x∈(0,2)．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍)，x2＝，
∴x∈时，f′(x)＞0，f(x)是递增的，
x∈时，f′(x)＜0，f(x)是递减的，
当x＝时，f(x)取最大值.
答案：
6．解析：设每次进书x千册(0＜x＜150)，手续费与库存费之和为y元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即，故有y＝×30＋×40，
y′＝－＋20＝，
∴当0＜x＜15时y′＜0，当15＜x＜150时y′＞0.
故当x＝15时，y取得最小值，
此时进货次数为＝10(次)．
即该书店分10次进货，每次进15 000册书，所付手续费与库存费之和最少．
答案：10 15 000
7．解：由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x)，
每辆车的出厂价为13(1＋0.7x)，
年利润为f(x)＝[13(1＋0.7x)－10(1＋x)]·y
＝(3－0.9x)×3 240×＝
3 240(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，
则f′(x)＝3 240(2.7x2－9.6x＋4.5)
＝972(9x－5)(x－3)，
由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3(舍去)．
当x∈时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；
当x∈时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．
所以当x＝时，f(x)取极大值，f＝20 000，因为f(x)在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值．
所以当x＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元．
8．解：(1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝(0≤x≤10)，
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5，x＝－(舍去)．
当0＜x＜5时，f′(x)＜0，
当5＜x＜10时，f′(x)＞0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．
