1.4/定积分与微积分基本定理
1．4.1 曲边梯形面积与定积分
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曲边梯形的面积
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如图，阴影部分是由直线x＝1，x＝2，y＝0和曲线f(x)＝x2所围成的曲边梯形，
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问题1：曲边梯形与“直边图形”的主要区别是什么？
提示：前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．
问题2：能否用求直边图形面积的方法求曲边梯形的面积？
提示：不能．
问题3：当曲边梯形的高很小时，是否可用“直边图形”的面积近似代替曲边梯形的面积？
提示：可以．
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1．曲边梯形
曲线与平行于y轴的直线和x轴所围成的图形，称为曲边梯形．
2．求曲边梯形面积的方法
求由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形如图①的面积的步骤：
①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；
②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值；
③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；
④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．
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定积分
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问题1：求曲边梯形的面积与变力所做功的步骤是什么？
提示：分割、近似代替、求和、取极限．
问题2：你能将区间[a，b]等分吗？
提示：可以．
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定积分的概念
设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上，用分点a＝x0其中f(x)叫做被积函数，a叫做积分下限，b叫做积分上限，f(x)dx叫做被积式，此时称函数f(x)在区间[a，b]上可积．
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1．“分割”的目的在于更精确地实施“以直代曲”．例子中以“矩形”代替“曲边梯形”，随着分割的等分数越多，这种“代替”就越精确．当n越大时，所有“小矩形的面积和就越逼近曲边梯形的面积”．
2．定积分f(x)dx是一个常数，即定积分是一个数值，它仅仅取决于被积函数和积分区间，而与积分变量用什么字母表示无关，如x2dx＝t2dt.
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求曲边梯形的面积
[例1] 求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1所围成的曲边梯形的面积[参考公式12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)]．
[思路点拨] 按分割、近似代替、求和、取极限求值四步骤进行．
[精解详析] 令f(x)＝x2＋1.
(1)分割
将区间[0,2]n等分，分点依次为
x0＝0，x1＝，x2＝，…，xn－1＝，xn＝2.
第i个区间为(i＝1,2，…，n)，每个区间长度为Δx＝－＝.
(2)近似代替、求和
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，
Sn＝·Δx＝·＝2＋2.
＝(12＋22＋…＋n2)＋2＝·＋2
＝＋2.
(3)取极限S＝liSn＝li ＝，即所求曲边梯形的面积为.
[一点通] 求曲边梯形面积的过程：
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1．下列关于函数f(x)＝x2在区间内各点处的函数值的说法正确的是( )
A．f(x)的值变化很小
B．f(x)的值变化很大
C．f(x)的值不变化
D．当n很大时，f(x)的值变化很小
解析：当n很大时，区间内的值相差很小，所以函数值相差很小，故选D.
答案：D
2．用以直代曲的思想，求由y＝3x，x＝1，y＝0围成的图形的面积．
解：(1)分割：把区间[0,1]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)．其长度为Δx＝，把曲边梯形分成n个小曲边梯形．
(2)近似代替：用小矩形面积ΔSi(i＝1,2，…，n)近似代替小曲边梯形面积，ΔSi＝Δx＝3··
＝，(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：Si＝[1＋2＋…＋(n－1)]
＝·.
(4)取极限：S＝liSi＝li ·＝.
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利用定积分表示曲边梯形的面积
[例2] 利用定积分表示由曲线y＝x－2，x＝y2围成的平面区域的面积S.
[思路点拨] 用定积分表示平面区域的面积，首先要确定已知曲线所围成的区域，由区域的形状选择积分函数，再确定积分上、下限，当公式S＝|f(x)－g(x)|dx中的f(x)或g(x)是分段函数时，面积要分块表示．
[精解详析] 曲线所围成的平面区域如图所示，
S＝A1＋A2，其中，
A1由y＝，y＝－，x＝1围成，
A2由y＝，y＝x－2，x＝1和x＝4围成．
∴A1＝[－(－)]dx
＝2dx.
A2＝[－(x－2)]dx.
∴S＝2 dx＋(－x＋2)dx.
[一点通]
(1)定积分的几何意义：当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分f(x)dx的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积．一般情况下，如图，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图像以及直线x＝a、x＝b之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号．
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(2)利用定积分表示曲线围成的面积时，关键是弄清定积分的几何意义，特别注意符号问题．定积分的值可正可负可为零，而面积是正值．
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3．利用定积分表示下图中阴影部分的面积，
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答案：(1) dx (2)(－x2＋1)dx
4．利用定积分表示由抛物线y2＝8x(y>0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积．
解：由题意，作图形，并解方程组得
x＝2，y＝4.
所以y2＝8x与直线x＋y－6＝0的交点为(2,4)．
所以所求面积为
S＝dx＋(6－x)dx.
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利用定积分的几何意义求定积分
[例3] (12分)说明下列定积分的几何意义，并根据其几何意义求出定积分．
(1)3dx；
(2)2xdx；
(3)dx.
[精解详析] (1)3dx表示的是图(1)中阴影部分所示长方形的面积，由于这个长方形的面积是6，
所以3dx＝6.?(4分)
(2)2xdx表示的是图(2)中阴影所示的梯形面积，其面积为5.
∴2xdx＝5.?(8分)
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(3)dx表示的是图(3)中阴影部分的面积，
该图形是一个以原点为圆心，半径为a的上半圆的面积，其面积为a2.
∴dx＝a2.?(12分)
[一点通] 利用定积分的几何意义求定积分f(x)dx，关键是确定由曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b及x轴所围成的图形的形状，若图形是三角形、梯形、矩形、圆(或一部分)，则可用相应面积公式计算．
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5．不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式．
(1)xdx________x2dx；
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(2)xdx________xdx；
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(3)dx________2dx.
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答案：(1)＞ (2)< (3)＜
6．利用定积分的几何意义，说明下列等式．
(1)2xdx＝1；(2)dx＝.
解：(1)如图1，2xdx表示由曲线y＝2x，直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的图形(直角三角形)的面积，而S△＝×2×1＝1，故2xdx＝1.
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(2)如图2，dx表示圆x2＋y2＝1在x轴上方部分的面积．
由S半圆＝，
得dx＝.
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几类曲边梯形的面积与定积分的关系
图示
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面积S
S＝f(x)dx
S＝－f(x)dx
S＝f(x)dx－f(x)dx
S＝[f(x)－g(x)]dx
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1．在计算由曲线y＝－x2以及直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1,1] n等分，则每个小区间的长度为( )
A. B.
C. D.
解析：每个小区间长度为：＝.
答案：B
2．求由抛物线y＝2x2与直线x＝0，x＝t(t＞0)，y＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n个小区间，则第i－1个区间为( )
A. B.
C. D.
解析：每个小区间长度为，故第i－1个区间的左端点为：0＋(i－2)×＝，右端点为＋＝.
答案：D
3．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值可以用下列哪个值近似代替( )
A．f B．f
C．f D．f(0)
解析：当n很大时，f(x)＝x2在区间上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替．
答案：C
4．如图，阴影部分的面积为( )
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A.f(x)dx B.g(x)dx
C.[f(x)－g(x)]dx D.[g(x)－f(x)]dx
解析：由题图易知，当x∈[a，b]时，f(x)>g(x)，
∴阴影部分的面积为[f(x)－g(x)]dx.
答案：C
5．把y＝sin x，x＝0，x＝，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________．
解析：∵当00，
∴y＝sin x，x＝0，x＝，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为sin xdx.
答案：sin xdx.
6．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：
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(1)S1＝________(如图1)；
(2)S2＝________(如图2)；
(3)S3＝________(如图3)．
答案：(1) sinxdx (2)dx (3)xdx
7．利用定积分表示曲线y＝x2与x＋y＝2所围成图形的面积．
解：由得交点的横坐标为x＝1及x＝－2，如图，∴S＝ [(2－x)－x2]dx＝ (2－x－x2)dx.
8．用定积分的几何意义求dx.
解：由y＝可化为x2＋y2＝4(y≥0)，其图像如图．
dx等于圆心角为60°的弓形CD的面积与矩形ABCD的面积之和．
S弓形＝××22－×2×2sin ＝－.
S矩形＝AB·BC＝2.
∴dx＝2＋－＝＋.
课件30张PPT。第一章把握热点考向理解教材新知应用创新演练1.4
定积分与微积分基本定理1．4.1 曲边梯形面积与定积分考点一考点二知识点一知识点二考点三应用创新演练见课时跟踪训练(十)课时跟踪训练(十) 曲边梯形面积与定积分
1．在计算由曲线y＝－x2以及直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1,1] n等分，则每个小区间的长度为( )
A. B.
C. D.
2．求由抛物线y＝2x2与直线x＝0，x＝t(t＞0)，y＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n个小区间，则第i－1个区间为( )
A. B.
C. D.
3．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值可以用下列哪个值近似代替( )
A．f B．f
C．f D．f(0)
4．如图，阴影部分的面积为( )
A.f(x)dx B.g(x)dx
C.[f(x)－g(x)]dx D.[g(x)－f(x)]dx
5．把y＝sin x，x＝0，x＝，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________．
6．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：
(1)S1＝________(如图1)；
(2)S2＝________(如图2)；
(3)S3＝________(如图3)．
7．利用定积分表示曲线y＝x2与x＋y＝2所围成图形的面积．
8．用定积分的几何意义求dx.
答案
1．选B 每个小区间长度为：＝.
2．选D 每个小区间长度为，故第i－1个区间的左端点为：0＋(i－2)×＝，右端点为＋＝.
3．选C 当n很大时，f(x)＝x2在区间上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替．
4．选C 由题图易知，当x∈[a，b]时，f(x)>g(x)，
∴阴影部分的面积为[f(x)－g(x)]dx.
5．解析：∵当00，
∴y＝sin x，x＝0，x＝，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为sin xdx.
答案：sin xdx.
6．(1) sinxdx (2)dx (3)xdx
7.解：由得交点的横坐标为x＝1及x＝－2，如图，
∴S＝[(2－x)－x2]dx＝ (2－x－x2)dx.
8.解：由y＝可化为x2＋y2＝4(y≥0)，其图像如图．
dx等于圆心角为60°的弓形CD的面积与矩形ABCD的面积之和．
S弓形＝××22－×2×2sin ＝－.
S矩形＝AB·BC＝2.
∴dx＝2＋－＝＋.
