1．4.2 微积分基本定理
已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x，
问题1：f(x) 和F′(x)有何关系？
提示：F′(x)＝f(x)．
问题2：利用定积分的几何意义求(2x＋1)dx的值．
提示： (2x＋1)dx＝6.
问题3：求F(2)－F(0)的值．
提示：F(2)－F(0)＝4＋2＝6.
问题4：(2x＋1)dx与F(2)－F(0)有什么关系？
提示：f(x)dx＝F(2)－F(0)．
1．微积分基本定理
如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则
f(x)dx＝F(b)－F(a)，其中F(x)叫做f(x)的一个原函数，由于[F(x)＋c]′＝f(x)，F(x)＋c也是f(x)的原函数，其中c为常数．
2．微积分基本定理的表示形式
一般地，原函数在[a，b]上的改变量F(b)－F(a)简记作F(x)|，因此，微积分基本定理可以写成形式：f(x)dx＝F(x)|＝F(b)－F(a)．
1．微积分基本定理表明，计算定积分f(x)dx的关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．
2．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，最重要的是它也提供了计算定积分的一种有效方法．
3．定积分的性质
(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；
(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；
(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a定积分的计算
[例1] 求下列定积分：
(1)(x2＋2x＋3)dx；
(2) (cos x－ex)dx；
(3)sin2dx.
[思路点拨] (1)(2)先求被积函数的原函数F(x)，然后利用微积分基本定理求解；(3)则需先对被积函数变形，再计算．
[精解详析] (1)(x2＋2x＋3)dx
＝x2dx＋2xdx＋3dx
＝＋x2＋3x＝.
(2)(cos x－ex)dx＝cos xdx－exdx
＝sin x－ex＝－1.
(3)sin2＝，
而′＝－cos x，
∴sin2dx＝dx
＝＝－＝.
[一点通]
由微积分基本定理求定积分的步骤
当被积函数为两个函数的乘积时，一般要转化为和的形式，便于求得函数F(x)，再计算定积分，具体步骤如下．
第一步：求被积函数f(x)的一个函数F(x)；
第二步：计算函数的增量F(b)－F(a)．
1.dx等于( )
A．－2ln 2 B．2ln 2
C．－ln 2 D．ln 2
解析：dx＝(ln x)＝ln 4－ln 2＝ln 2.
答案：D
2．计算下列定积分：
(1)(x3－2x)dx；
(2)(x＋cos x)dx；
(3)dx.
解：(1)(x3－2x)dx＝＝－.
(2)(x＋cos x)dx＝＝＋1.
(3)f(x)＝＝－，
取F(x)＝ln x－ln (x＋1)＝ln ，
则F′(x)＝－，
所以dx＝dx
＝ln ＝ln .
3．计算定积分|x2－1|dx.
解：|x2－1|dx＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx
＝＋＝.
4．已知f(x)＝
求定积分f(x)dx.
解：f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx，
又(2x2－2πx)′＝4x－2π，(sin x)′＝cos x，
所以(4x－2π)dx＋cos xdx
＝(2x2－2πx)＋sin x
＝－π2－0＋0－1＝－－1.
∴f(x)dx＝－－1.
利用定积分求平面图形的面积
[例2] 求抛物线y2＝2x和直线y＝－x＋4所围成的图形的面积．
[思路点拨] 结合图形，先求出两曲线的交点坐标．
思路一：选x为积分变量，将所求面积转化为两个积分的和求解；
思路二：选y作积分变量，将所求面积转化为一个积分的计算求解．
[精解详析] 先求抛物线和直线的交点，解方程组求出交点坐标为A(2,2)和B(8，－4)．
法一：选x为积分变量，变化区间为[0,8]，将图形分割成两部分(如图1)，则面积为
S＝S1＋S2＝2dx＋(－x＋4)dx
＝x＋
＝18.
图1 图2
法二：选y作积分变量，则y的变化区间为[－4,2]，如图2所求的面积为
S＝dy＝
＝18.
[一点通] 利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤：
(1)画出图形．
(2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限．
(3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：
①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和积分下限比较简单．
(4)写出平面图形的面积的定积分表达式．
(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．
5．求曲线y＝ex，y＝e－x及直线x＝1所围成的图形的面积．
解：如图，由
解得交点为(0,1)，
所求面积为
S＝(ex－e－x)dx＝(ex＋e－x)＝e＋－2.
6．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成图形的面积．
解：由解得x＝0或x＝3.如图．
从而所求图形的面积
S＝(x＋3)dx－(x2－2x＋3)dx
＝[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx
＝(－x2＋3x)dx＝＝.
微积分基本定理的综合问题
[例3] (12分)已知f(x)是二次函数，其图像过点(1,0)，且f′(0)＝2，f(x)dx＝0，求f(x)的解析式．
[精解详析] 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∴a＋b＋c＝0.①?(2分)
∵f′(x)＝2ax＋b，
∴f′(0)＝b＝2.②?(4分)
∵f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx
＝
＝a＋b＋c＝0.③?(6分)
由①②③得?(10分)
∴f(x)＝－x2＋2x－.?(12分)
[一点通]
含有参数的定积分问题的处理办法
(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．
(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念．
7．(湖南高考)若x2dx＝9，则常数T的值为________．
解析：∵x2dx＝T3＝9，T>0，∴T＝3.
答案：3
8．设f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，则f(x)的解析式为________．
解析：设f(x)＝kx＋b，
f(x)dx＝＝－0＝＋b，
xf(x)dx＝(kx2＋bx)dx
＝
＝＋.
∴∴
∴f(x)＝4x＋3.
答案：f(x)＝4x＋3
9．已知f(x)＝(12t＋4a)dt，F(a)＝[f(x)＋3a2]dx，求函数F(a)的最小值．
解：∵f(x)＝(12t＋4a)dt
＝(6t2＋4at)
＝6x2＋4ax－(6a2－4a2)
＝6x2＋4ax－2a2，
∴F(a)＝[f(x)＋3a2]dx
＝(6x2＋4ax＋a2)dx
＝(2x3＋2ax2＋a2x)
＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1≥1，
∴当a＝－1时，F(a)最小值＝1.
1．求定积分的一些常用技巧：
(1)对被积函数，要先化简，再求积分．
(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分．
2．在利用定积分求平面图形的面积时，要注意f(x)≥0的条件．当恒有f(x)＜0时，定积分f(x)dx为负值，从而曲边梯形的面积为f(x)dx的相反数．
1．(陕西高考)定积分(2x＋ex)dx的值为( )
A．e＋2 B．e＋1
C．e D．e－1
解析：(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)＝(1＋e)－(0＋e0)＝e，因此选C.
答案：C
2．设f(x)＝则f(x)dx的值是( )
A. x2dx B.2xdx
C.x2dx＋2xdx D. 2xdx＋x2dx
解析：f(x)dx＝2xdx＋x2dx.
答案：D
3．(山东高考)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A．2 B．4
C．2 D．4
解析：由4x＝x3，解得x＝0或x＝2或x＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为＝＝4.
答案：D
4．若dx＝3＋ln 2，则a的值是( )
A．6 B．4
C．3 D．2
解析：dx＝(x2＋ln x)＝(a2＋ln a)－(1＋ln 1)＝(a2－1)＋ln a＝3＋ln 2.∴∴a＝2.
答案：D
5．(江西高考)计算定积分(x2＋sin x)dx＝________.
解析：(x2＋sin x)dx＝＝.
答案：
6．由y＝x2，y＝x2及x＝1围成的图形的面积S＝________.
解析：图形如图所示：
S＝x2dx－x2dx
＝x2dx＝x3|＝.
答案：
7．计算下列定积分：
(1)(2)dx；
(3)
解：(1)因为(2＋x2)2＝4＋4x2＋x4，
又′＝4＋4x2＋x4，
所以
＝
＝|
＝－
＝.
(2)因为cos＝cos x＋sin x，
所以dx＝dx
＝
＝sin x－cos x
＝－sin－
＝－＋＋＝0.
(3)因为f(x)＝|x＋3|＝
所以＝
＝＋|＝5.
8．在曲线y＝x2(x≥0)上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为.求切点A的坐标以及切线方程．
解：由题意可设切点A的坐标为(x0，x)，
则切线方程为y＝2x0x－x，可得切线与x轴的交点坐标为.画出草图，可得曲线y＝x2，直线y＝2x0x－x与x轴所围图形如图所示．
故S＝S1＋S2
＝x2dx＋[x2dx－ (2x0x－x)dx]
＝x3＋x3－(x0x2－xx)
＝＝，
解得x0＝1，所以切点坐标为A(1,1)，
所求切线方程为y＝2x－1.
课件28张PPT。第一章把握热点考向理解教材新知应用创新演练1.4
定积分与微积分基本定理1．4.2 微积分基本定理考点一考点二考点三应用创新演练见课时跟踪训练(十一)课时跟踪训练(十一) 微积分基本定理
1．(陕西高考)定积分(2x＋ex)dx的值为( )
A．e＋2 B．e＋1
C．e D．e－1
2．设f(x)＝则f(x)dx的值是( )
A. x2dx B.2xdx
C.x2dx＋2xdx D. 2xdx＋x2dx
3．(山东高考)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A．2 B．4
C．2 D．4
4．若dx＝3＋ln 2，则a的值是( )
A．6 B．4
C．3 D．2
5．(江西高考)计算定积分(x2＋sin x)dx＝________.
6．由y＝x2，y＝x2及x＝1围成的图形的面积S＝________.
7．计算下列定积分：
(1)(2)
dx；
(3)
8．在曲线y＝x2(x≥0)上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为.求切点A的坐标以及切线方程．
答案
1．选C (2x＋ex)dx＝(x2＋ex)＝(1＋e)－(0＋e0)＝e，因此选C.
2．选D f(x)dx＝2xdx＋x2dx.
3．选D 由4x＝x3，解得x＝0或x＝2或x＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为＝＝4.
4．选D dx＝(x2＋ln x)＝(a2＋ln a)－(1＋ln 1)＝(a2－1)＋ln a＝3＋ln 2.∴∴a＝2.
5．解析：(x2＋sin x)dx＝＝.
答案：
6.解析：图形如图所示：
S＝x2dx－x2dx
＝x2dx＝x3|＝.
答案：
7．解：(1)因为(2＋x2)2＝4＋4x2＋x4，
又′＝4＋4x2＋x4，
所以
＝
＝
＝－
＝.
(2)因为cos＝cos x＋sin x，
所以dx＝dx
＝
＝sin x－cos x
＝－sin－
＝－＋＋＝0.
(3)因为f(x)＝|x＋3|＝
所以＝
＝＋＝5.
8．解：由题意可设切点A的坐标为(x0，x)，
则切线方程为y＝2x0x－x，可得切线与x轴的交点坐标为.画出草图，可得曲线y＝x2，直线y＝2x0x－x与x轴所围图形如图所示．
故S＝S1＋S2
＝x2dx＋[x2dx－ (2x0x－x)dx]
＝x3＋x3－(x0x2－xx)
＝＝，
解得x0＝1，所以切点坐标为A(1,1)，
所求切线方程为y＝2x－1.
