知识整合与阶段检测
/[对应学生用书P30]
一、导数的概念和几何意义
1．导数的概念
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)＝li .
[说明]
(1)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)是一个常数，而函数y＝f(x)在一个区间上的导数指的是这个函数在这个区间上每点处的导数构成的一个函数，它实际上是“导函数”的简称；
(2)函数y＝f(x) 和它的导数y′＝f′(x)具有相同的定义域，并且y′＝f′(x)在定义域上点x0处的函数值就是函数y＝f(x)在点x0处的导数值，这样求函数在点x0处的导数值就可以先求出这个函数的导数，再求这个导数在点x0处的函数值；
(3)并不是所有的函数在其定义域上每一点处都有导数，如函数y＝|x|在点0处就没有导数，但这个函数在定义域的其他点处都有导数．
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．
利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得
y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)．①
又y1＝f(x1)，②
由①②求出x1，y1的值，
即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
二、导数的运算
1．导数的四则运算法则
导数的四则运算法则主要指和、差、积、商的导数计算法则，即和的导数：(u＋v)′＝u′＋v′，差的导数：(u－v)′＝u′－v′，积的导数：(uv)′＝u′v＋uv′，商的导数：()′＝(v≠0)．
2．常用函数的导数
除掌握好导数的四则运算法则外还需要牢记一些常用函数的导数，以提高解题效率．常见的有以下8个：①c′＝0(c为常数)，②(xn)′＝nxn－1(n∈Q)，③(sin x)′＝cos x，④(cos x)′＝－sin x，⑤(ln x)′＝，⑥(logax)′＝，⑦(ex)′＝ex，⑧(ax)′＝axln a.
3．复合函数的求导法则
设复合函数μ＝g(x)在点x处可导，y＝f(μ)在点μ处可导，则复合函数f(g(x))在点x处可导，且f′(x)＝f′(μ)·g′(x)，即yx′＝yμ′·μx′.利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自变量．
[说明] 求导数时，先化简再求导是导数计算的基本原则．一般情况下，有四类函数求导数在解题时较容易出错，需要特别注意，即分式函数、对数函数、三角函数和复合函数．
三、导数的应用
1．导数与函数的单调性
(1)在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
[说明] f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，∴f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件．
(2)利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为：
①求导数f′(x)；
②解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；
③确定并指出函数的单调增区间、减区间．
特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．
2．导数与函数的极值和最值
函数的极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质；函数的最值是个整体性概念，最大值必是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必是整个区间上的所有函数值中的最小值．
(1)应用导数求函数极值的一般步骤：
①确定函数f(x)的定义域；
②解方程f′(x)＝0的根；
③检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．
若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；
若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；
否则，此根不是f(x)的极值点．
[说明] 可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′＝0，但x＝0不是极值点．此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点．
(2)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将①求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．
特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．
四、定积分
1．求定积分
求导运算与求原函数运算互为逆运算，求定积分的关键是要找到被积函数的原函数．为避免出错，在求出原函数后，可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证．
2．利用定积分求平面图形的面积
将求平面图形的面积转化为定积分运算时，必须确定的是被积函数，积分变量，积分上、下限．一般步骤为：
①画图；
②确定要素(确定被积函数和积分上、下限)；
③转化求值．
要注意当所围成的图形在x轴下方时积分值为负，因此，需对其定积分取绝对值．
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(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．下列各式正确的是( )
A．(sin a)′＝cos a(a为常数) B．(cos x)′＝sin x
C．(sin x)′＝cos x D．(x－5)′＝－x－6
解析：由导数公式知选项A中(sin a)′＝0；选项B中(cos x)′＝－sin x；选项D中(x－5)′＝－5x－6.
答案：C
2．函数y＝x2cos x的导数为( )
A．2xcos x B．－x2sin x
C．2xcos x＋x2sin x D．2xcos x－x2sin x
解析：y′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x.
答案：D
3．f(x)＝ax3＋2，若f′(1)＝4，则a的值等于( )
A. B.
C. D．1
解析：f′(x)＝3ax2＋，∴f′(1)＝3a＋1＝4，
∴a＝1.
答案：D
4．使函数y＝xsin x＋cos x是增函数的区间可能是( )
A. B．(π，2π)
C. D．(2π，3π)
解析：y′＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，
故当x∈时，y′＞0，函数为增函数．
答案：C
5．函数f(x)＝3x－4x3(x∈[0,1])的最大值是( )
A．1 B.
C．0 D．－1
解析：f′(x)＝3－12x2，
令f′(x)＝0，则x＝－(舍去)或x＝，
f(0)＝0，f(1)＝－1，
f＝－＝1.
∴f(x)在[0,1]上的最大值为1.
答案：A
6．(重庆高考)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
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A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
解析：由图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值，选D.
答案：D
7．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是( )
A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7
C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点．
答案：A
8．曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短 距离是( )
A. B．2
C．3 D．0
解析：设与直线2x－y＋3＝0平行的y＝ln (2x－1)的切线为l，切点为(x0，y0)，
则y′＝，由＝2.∴x0＝1，
∴切点为(1,0)，切线l为：2x－y－2＝0，则易知距离为＝.
答案：A
9．由y＝－x2与直线y＝2x－3围成的图形的面积是( )
A. B.
C. D．9
解析：解得交点A(－3，－9)，B(1，－1)．
由y＝－x2与直线y＝2x－3围成的图形的面积
S＝(－x2)dx－(2x－3)dx
＝－x3－(x2－3x)＝.
答案：B
10．若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：由f(x)＝2x2－ln x可知定义域为(0，＋∞)，所以k－1≥0，k≥1.故排除B，C两项，又f′(x)＝4x－，令f′(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去)，f(x)在上单调递减，在上单调递增．由题意知且k≥1，得1≤k＜.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
11.＝________.
解析：(x＋x)dx＝＝＋＝.
答案：
12．(广东高考)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
解析：曲线方程为y＝x3－x＋3，则y′＝3x2－1，又易知点(1,3)在曲线上，有y′|x＝1＝2，即在点(1,3)处的切线方程的斜率为2，所以切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
13．已知a≤4x3＋4x2＋1对任意x∈[－1,1]都成立，则实数a的取值范围是________．
解析：设f(x)＝4x3＋4x2＋1，
则f′(x)＝12x2＋8x＝4x(3x＋2)，
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－.
又f(－1)＝1，f＝，f(0)＝1，f(1)＝9，
故f(x)在[－1,1]上的最小值为1，故a≤1.
答案：(－∞，1]
14.已知函数y＝xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：
①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；
②函数f(x)在区间(－1,1)上单调递增；
③函数f(x)在x＝－处取得极大值；
④函数f(x)在x＝1处取得极小值．
其中正确的说法________．
解析：①由图像知，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)>0，故f′(x)>0，f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，故①正确；
②当x∈(－1,0)时，xf′(x)>0，故f′(x)<0；当x∈(0,1)时，xf′(x)<0，故f′(x)<0.综上，当x∈(－1,0)∪(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在区间(－1,0)(0,1)上是减函数，故②错误；
③f(x)在区间(－1,0)上单调递减，故x＝－不是极值点，故③错误；
④f(x)在区间(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故f(x)在x＝1处取得极小值，故④正确．
答案：①④
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)(安徽高考)设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a>0)．
(1)求f(x)的最小值；
(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．
解：(1)法一：由题设和均值不等式可知，
f(x)＝ax＋＋b≥2＋b，
其中等号成立当且仅当ax＝1，
即当x＝时，f(x)取最小值为2＋b.
法二：f(x)的导数f′(x)＝a－＝，
当x>时，f′(x)>0，f(x)在上单调递增；
当0所以当x＝时，f(x)取最小值为2＋b.
(2)由题设知，f′(x)＝a－，f′(1)＝a－＝，
解得a＝2或a＝－(不合题意，舍去)．
将a＝2代入f(1)＝a＋＋b＝，
解得b＝－1.所以a＝2，b＝－1.
16．(本小题满分12分)已知某公司生产的某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件，需另投入1.9万元，设R(x)(单位：万元)为销售收入，据市场调查知R(x)＝其中x是年产量(单位：千件)．
(1)写出年利润W关于年产量x的函数关系式；
(2)年产量为多少时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？
解：(1)依题意有：
W＝
即W＝
(2)设f(x)＝－x3＋8.1x－10(0≤x≤10)，
f′(x)＝－x2＋8.1，
由f′(x)＝0，得x＝9或x＝－9(舍去)．
当0≤x＜9时，f′(x)＞0；
当9＜x≤10时，f′(x)＜0，
所以当x＝9时，f(x)取得最大值38.6.
当x＞10时，－1.9x＜＜38.6.
所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．
17．(本小题满分12分)已知三次方程的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(1)＝0，f′(2)＝3，f′(3)＝12.
(1)求f(x)－f(0)的表达式；
(2)若对任意的x∈[－1,4]，都有f(x)>f′(x)成立，求f(0)的取值范围．
解：(1)设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由题意知∴
∴f(x)－f(0)＝x3－3x2＋3x.
(2)f′(x)＝3x2－6x＋3，
∵任意的x∈[－1,4]，f(x)>f′(x)，
∴f(x)－f′(x)＝x3－6x2＋9x＋f(0)－3>0，
∴f(0)>－x3＋6x2－9x＋3.
令F(x)＝－x3＋6x2－9x＋3，
则F′(x)＝－3x2＋12x－9.
由－3x2＋12x－9＝0，得x＝1，或x＝3.
又F(－1)>F(3)，F(－1)>F(1)，F(－1)>F(4)，
故F(x)在[－1,4]上的最大值为F(－1)＝19.
故f(0)的取值范围是(19，＋∞)．
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ax2＋2ln (1－x)(a为常数)．
(1)若f(x)在x＝－1处有极值，求a的值并判断x＝－1是极大值点还是极小值点；
(2)若f(x)在[－3，－2]上是增函数，求a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝2ax－，x∈(－∞，1)，
f′(－1)＝－2a－1＝0，
所以a＝－.
这时，f(x)＝－x2＋2ln (1－x)，
f′(x)＝－x－＝.
∵x＜1，∴1－x＞0，x－2＜0
因此，当x＜－1时f′(x)＞0，
当－1＜x＜1时f′(x)＜0
∴x＝－1是f(x)的极大值点．
(2)f′(x)≥0在x∈[－3，－2]上恒成立，
f′(x)≥0即2ax－≥0.
∴a≤在x∈[－3，－2]上恒成立，
∵－x2＋x＝－2＋∈[－12，－6]，
∈
∴min＝－，a≤－.
即a的取值范围为.
