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高考八大高频考点例析[对应学生用书P60]
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导数的几何意义及运算
考查方式
从近几年的高考试题分析，对该部分内容的考查，主要考查利用导数的几何意义求切线方程；导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导；题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等左右，在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查解析几何的相关知识．
备考指要
函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)，于是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．求切线方程时，应明确“在某点处的切线方程”和“过某点的切线方程”的不同；熟练掌握基本函数的导数及导数的四则运算.
[例1] (新课标全国卷)曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．
[解析] ∵y＝x(3ln x＋1)，
∴y′＝3ln x＋1＋x·＝3ln x＋4.
∴k＝f′(1)＝4，
∴所求切线的方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.
[答案] y＝4x－3
1．(江西高考)若曲线y＝xln x上点P 处的切线平行于直线 2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
解析：由题意得y′＝ln x＋x·＝1＋ln x，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，n)，则1＋ln m＝2，解得m＝e，所以n＝eln e＝e，即点P的坐标为(e，e)．
答案：(e，e)
2．已知函数f(x)＝，则f′(1)＝________.
解析：∵f′(x)＝′＝′＋′
＝＋
＝
＝.
∴f′(1)＝2ln 2－3.
答案：2ln 2－3
3．已知f(x)＝x3＋x2·f′(1)＋3x·f′(－1)，则f′(1)＋f′(－1)＝________.
解析：f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋3f′(－1)，
∴f′(1)＝3＋2f′(1)＋3f′(－1)，
f′(－1)＝3－2f′(1)＋3f′(－1)．
解得：f′(1)＝，f′(－1)＝－，
∴f′(1)＋f′(－1)＝－.
答案：－
4．设曲线y＝x3在x＝1处的切线为l.
(1)求切线l的方程；
(2)证明：切线l与曲线y＝x3有两个不同的公共点．
解：(1)y′＝3x2，切线l的斜率为3，
l的方程为y－1＝3(x－1)，
即y＝3x－2.
(2)证明：将y＝3x－2代入y＝x3，并整理，得
x3－3x＋2＝0，即(x－1)2(x＋2)＝0.
解得x＝1或x＝－2.
∴l与曲线y＝x3有两个不同的公共点A(1,1)与B(－2，－8).
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利用导数研究函数的单调性
考查方式
利用导数研究函数的单调性是导数最重要的应用之一．主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性，在高考命题中，三种类型均有可能出现，若以选择题或填空题的形式出现，难度则以中，低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主．
备考指要
利用导数的符号判断函数的单调性是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想．在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．
特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接 .
[例2](浙江高考)已知a∈R，函数f(x)＝4x3－2ax＋a.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)证明：当0≤x≤1时，f(x)＋|2－a|>0.
[解] (1)由题意得f′(x)＝12x2－2a.
当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
当a>0时，f′(x)＝12，此时函数f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为 .
(2)证明：由于0≤x≤1，故当a≤2时，
f(x)＋|2－a|＝4x3－2ax＋2≥4x3－4x＋2.
当a>2时，f(x)＋|2－a|＝4x3＋2a(1－x)－2≥4x3＋4(1－x)－2＝4x3－4x＋2.
设g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，
则g′(x)＝6x2－2＝6，于是
x
0
1
g′(x)
－
0
＋
g(x)
1
递减?
极小值
递增?
1
所以，g(x)min＝g＝1－>0.
所以当0≤x≤1时，2x3－2x＋1>0.
故f(x)＋|2－a|≥4x3－4x＋2>0.
5．已知函数f(x)＝x2(x－3)，则f(x)在R上的单调递减区间是________，单调递增区间是________________________．
解析：f′(x)＝3x2－6x，由f′(x)>0得x>2或x<0；
由f′(x)<0得0所以函数f(x)的单调递减区间是(0,2)，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)．
答案：(0,2) (－∞，0)和(2，＋∞)
6．设f(x)，g(x)是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0，则当a＜x＜b时有( )
A．f(x)·g(x)＞f(b)·g(b)
B．f(x)·g(a)＞f(a)·g(x)
C．f(x)·g(b)＞f(b)·g(x)
D．f(x)·g(x)＞f(a)·g(a)
解析：∵′＝＜0，
∴函数在R上是减函数，∵x＜b.∴＞.
∴f(x)g(b)＞f(b)g(x)．
答案：C
7．已知函数f(x)＝ax(a∈R)，g(x)＝ln x－1.若函数h(x)＝g(x)＋1－f(x)－2x存在单调递减区间，求a的取值范围．
解：h(x)＝ln x－x2－2x(x＞0)，
则h′(x)＝－ax－2.
若使h(x)存在单调递减区间，
则h′(x)＝－ax－2＜0在(0，＋∞)上有解．
而当x＞0时，
h′(x)＝－ax－2＜0?ax＞－2?a＞－，
问题转化为a＞－在(0，＋∞)上有解，故a大于函数t＝－在(0，＋∞)上的最小值．
又t＝－＝2－1，故t在(0，＋∞)上的最小值为－1，所以a＞－1.
∴a的取值范围为(－1，＋∞).
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利用导数研究函数的极值和最值
考查方式
利用导数研究函数的极值是高考对导数考查的一个重点内容，经常与函数单调性、函数图像的考查融合在一起，研究方程根的情况、不等式的证明等．本部分内容是高考的重点和热点．在高考试题中，既有选择题、填空题的形式，也有解答题的形式．基本上是中档或中档偏难题目．
备考指要
利用导数研究函数的极值和最值应明确求解步骤，求解时切记函数的定义域，正确区分最值与极值不同，函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值比较大小．而最值是在整个区间上对函数值比较大小．函数的极值可以有多个，但最值只能有一个，极值只能在区间内取得，而最值还可以在端点处取得，最值只要不在端点处，必是一个极值.
[例3] (新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
[解] (1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).
令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，
极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
8．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝4x3－4x，且f(x)的图像过点(0，－5)，当函数f(x)取得极小值－6时，x的值应为( )
A．0 B．－1
C．±1 D．1
解析：f(x)＝x4－2x2＋c.因为过点(0，－5)，所以c＝－5.由f′(x)＝4x(x2－1)，得f(x)有三个极值点，列表判断±1均为极小值点，且f(1)＝f(－1)＝－6.
答案：C
9．函数y＝x＋2cos x在区间上的最大值是________．
解析：令y′＝1－2sin x＝0，得x＝，比较0，，处的函数值，得ymax＝＋.
答案：＋
10．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2,1)内x＝－1时取极小值，x＝时取极大值．
(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；
(2)求函数y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值．
解：(1)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b.
又x＝－1，x＝分别对应函数取得极小值、极大值，
所以－1，为方程－3x2＋2ax＋b＝0的两个根．
所以a＝－1＋，－＝(－1)×.
于是a＝－，b＝2，
则f(x)＝－x3－x2＋2x.
当x＝－2时，f(－2)＝2，即(－2,2)在曲线上．
又切线斜率为k＝f′(－2)＝－8，
所求切线方程为y－2＝－8(x＋2)，
即为8x＋y＋14＝0.
(2)当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x
－2
(－2，－1)
－1
1
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
2
?
－
?
?
则f(x)在[－2,1]上的最大值为2，最小值为－.
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导数的实际应用
考查方式
最值的综合应用问题是高中数学最重要的题型之一，导数知识为解决数学及其他学科的实际应用题提供了很大的方便，近几年的高考中也越来越重视，已成为高考命题的一个新热点，试题多以解答题形式出现，难度一般为中等偏难题目．
备考指要
利用导数解决生活中的优化问题时：
(1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还要注意确定出函数关系式中自变量的定义区间．
(2)一定要注意求得结果的实际意义，不符合实际的值应舍去．
(3)如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.
[例4] (福建高考)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2.其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
[解] (1)因为x＝5时，y＝11，
所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
y＝＋10(x－6)2.
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
42
?
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
11．某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝1 200＋x3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时，总利润最大．
解析：设产品的单价为P万元，根据已知可设P2＝，其中k为比例系数，∵当x＝100时，P＝50，
∴k＝250 000，∴P2＝，∴P＝，x>0.
设总利润为y万元，则
y＝·x－1 200－x3＝500－x3－1 200.
求导数，得y′＝－x2.
令y′＝0，解得x＝25.
当x∈(0,25)时，y′>0；当x∈(25，＋∞)时，y′<0.
因此，x＝25是函数y＝500－x3－1 200的极大值点，也是最大值点．所以当产量为25件时，总利润最大，故应填25.
答案：25
12.某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区(如图中阴影部分)，形状为直角梯形QPRE(线段EQ和RP为两个底边)，已知AB＝2 km，BC＝6 km，AE＝BF＝4 km，其中AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线段．试求该高科技工业园区的最大面积．
解：以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系如图，
则A(0,0)，F(2,4)，由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为y＝ax2(a>0)，由4＝a×22得，a＝1，则AF所在抛物线的方程为y＝x2，
又∵E(0,4)，C(2,6)，
∴EC所在直线的方程为y＝x＋4.
设P(x，x2)(0则PQ＝x，QE＝4－x2，PR＝4＋x－x2，
∴工业园区的面积
S＝(4－x2＋4＋x－x2)·x
＝－x3＋x2＋4x(0∴S′＝－3x2＋x＋4.
令 S′＝0得x＝或x＝－1(舍去)，
当x变化时，S′和S的变化情况如下表：
x
S′
＋
0
－
S
?
?
由表格可知，当x＝时，S取得最大值，
即该高科技工业园区的最大面积为 km2.
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定积分的应用
考查方式
定积分及其应用是新课标中的新增内容，考纲对该部分知识点的要求均为“了解”，所以该部分不作为高考考查的重点，但在历年高考中都有，均以选择题或填空题的形式考查，题目较为简单，考查的重点是简单定积分的求解与曲边图形面积的求解．
备考指要
定积分是解决求平面图形，特别是不规则图形的面积、变速直线运动的路程及变力做功等问题的强有力的工具．求解时，要求我们必须熟练记忆定积分的几个常见公式；还要注意找出被积函数和积分上、下限.
[例5] (山东高考)设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.
[解析] 由已知得S＝dx＝x|＝a，所以a＝，所以a＝.
[答案]
13．定积分 dθ的值为( )
A．0 B.
C．2 D．2
解析： dθ＝|cos θ|dθ
＝cos θdθ－cos θdθ＝sin θ－sin θ＝2.
答案：C
14．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为( )
A. B.
C. D.
解析：由题可知y＝x2，y＝x3围成的封闭图形的面积为
(x2－x3)dx＝
＝－＝.
答案：A
15．若f(x)＝则f(x)dx＝________.
解析：f(x)dx＝(－x)dx＋(x2＋3)dx
＝－x2＋＝.
答案：
16.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．
解析：长方形区域的面积为3，阴影部分的面积为3x2dx＝1，所以点M取自阴影部分的概率为.
答案：
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合情推理与演绎推理
考查方式
归纳推理、类比推理、演绎推理等问题是高考的热点，归纳、类比推理大多数出现在填空题中，为中、低档题，突出了“小而巧”，主要考查类比、归纳推理能力；演绎推理大多数出现在解答题中，为中、高档题目，在知识的交汇点处命题，考查学生分析问题、解决问题以及逻辑推理能力．
备考指要
对本部分知识的学习，要注意做好以下两点：一要熟悉归纳推理、类比推理、演绎推理的一般原理、步骤、格式，搞清合情推理与演绎推理的联系与区别；二要把握归纳推理、类比推理、演绎推理的基本应用，在给定的条件下，能够运用归纳推理、类比推理获得新的一般结论，能够运用演绎推理对数学问题进行严格的证明.
[例6] (陕西高考)观察下列不等式
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
……
照此规律，第五个不等式为________．
[解析] 观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋＋＋＋＋…＋<(n∈N＋，n≥2)，
所以第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.
[答案] 1＋＋＋＋＋<
17．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2>0”，你认为这个推理( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．是正确的
解析：这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a2>0”．显然这是个错误的推理，究其原因，是大前提错误，尽管推理形式是正确的，但是结论是错误的．
答案：A
18．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面( )
A．各正三角形内任一点
B．各正三角形的某高线的中点
C．各正三角形的中心
D．各正三角形外的某点
解析：正三角形的边对应正四面体的面(正三角形)，所以边的中点对应的就是正四面体各面(正三角形)的中心．
答案：C
19．下面的数组均由三个数组成：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，…，(an，bn，cn)．
(1)请写出cn的一个表达式，cn＝________；
(2)若数列{cn}的前n项和为Mn，则M10＝______.(用数字作答)
解析：(1)通过观察归纳，得an＝n，bn＝2n，cn＝an＋bn＝n＋2n.
(2)M10＝(1＋2＋…＋10)＋(2＋22＋…＋210)＝2 101.
答案：n＋2n 2 101
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直接证明与间接证明
考查方式
近几年试题对本部分内容的考查是应用直接证明和间接证明解决数列，三角恒等式、立体几何中的平行、垂直，不等式，解析几何等问题，题型大多为解答题，难度为中、高档．
备考指要
在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的.
[例7] (福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
[解] (1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)法一：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α
＝.
法二：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)
＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.
20．设a，b，c大于0，则3个数：a＋，b＋，c＋的值( )
A．都大于2 B．至多有一个不大于2
C．都小于2 D．至少有一个不小于2
解析：令a＝b＝c＝1，则3个数都等于2，可排除A，B，C或利用反证法可证明D正确，假设三个数都小于2，则a＋＋b＋＋c＋＜6，而a＋＋b＋＋c＋≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾．故选D.
答案：D
21．设数列{an}满足a1＝0且－＝1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，记Sn＝k，证明：Sn<1.
解：(1)由题设－＝1，
得是公差为1的等差数列．
又＝1，故＝n.所以an＝1－.
(2)证明：由(1)得
bn＝＝＝－，
Sn＝k＝(－)＝1－<1.
22．已知an＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，是否存在关于n的整式q(n)使得等式a1＋a2＋…＋an－1＝q(n)(an－1)对大于1的一切正整数n都成立，并证明你的结论．
解：假设存在q(n)，首先探索q(n)的表达式．
探索：当n＝2时，由a1＝q(2)(a2－1)，
即1＝q(2)(1＋－1)，解得q(2)＝2，
同理可求，当n＝3时，q(3)＝3；当n＝4时，q(4)＝4.
猜想：q(n)＝n(n≥2，n∈N＋)
证明：下面用数学归纳法证明q(n)＝n(n≥2，n∈N＋)时，a1＋a2＋…＋an－1＝q(n)(an－1)．
(1)当n＝2时，可知等式成立；
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时，等式成立，
即a1＋a2＋…＋ak－1＝k(ak－1)，
那么当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋ak－1＋ak＝k(ak－1)＋ak＝(k＋1)ak－k
＝(k＋1)ak－(k＋1)＋1＝(k＋1)
＝(k＋1)(ak＋1－1)，
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，存在q(n)＝n(n≥2，n∈N＋)，使等式a1＋a2＋…＋an－1＝q(n)(an－1)对大于1的一切正整数n都成立．
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复 数
考查方式
复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，并且一般在前三题的位置上，主要考查对复数概念的理解以及复数的加、减、乘、除四则运算．
备考指要
要明确复数的分类及复数运算，掌握化归思想，设出复数z的代数形式，即复数问题实数化.
[例8] (北京高考)在复平面内，复数对应的点的坐标为( )
A．(1,3) B．(3,1)
C．(－1,3) D．(3，－1)
[解析] 由＝＝＝1＋3i，得该复数对应的点为(1,3)．
[答案] A
23．设a，b为实数，若复数＝1＋i，则( )
A．a＝，b＝ B．a＝3，b＝1
C．a＝，b＝ D．a＝1，b＝3
解析：由＝1＋i，得1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i，即得a＝，b＝.
答案：A
24．(新课标全国卷Ⅰ)设z＝＋i，则|z|＝( )
A. B.
C. D．2
解析：＋i＝＋i＝＋i＝＋i，则|z|＝ ＝，选B.
答案：B
25．设复数z1＝1＋i，z2＝2＋bi，若为纯虚数，则实数b＝( )
A．－2 B．2
C．－1 D．1
解析：＝＝＝为纯虚数，得2＋b＝0，即b＝－2.
答案：A
26．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A．|z－|＝2y B．z2＝x2＋y2
C．|z－|≥2x D．|z|≤|x|＋|y|
解析：|z－|＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|，故A错；z2＝x2－y2＋2xyi，故B错；|z－|＝|2y|≥2x不一定成立，故C错，|z|＝≤|x|＋|y|，故D项正确．
答案：D
课件61张PPT。高考八大高频考点例析 考点一考点二考点三考点四考点五考点六模块综合检测考点七考点八模块综合检测见阶段质量检测(四)
