2019年数学人教B版选修2-2新设计同步（讲义+课件+课时跟踪检测）： 模块综合检测

阶段质量检测(四)　模块综合检测
[考试时间：90分钟　试卷总分：120分],,
题　号
一
二
三
总　分
15
16
17
18
得　分
第Ⅰ卷　(选择题)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(北京高考)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于(　　)
A.第一象限 B. 第二象限
C.第三象限 D. 第四象限
2.定义新运算为a?b＝，则2?(3?4)的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A.e2 B．2e2
C．e2 D.
4．若复数z满足3－i＝z(－2i)，则复数z在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图像是一条直线；③一次函数的图像是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是(　　)
A．②①③ B．③①②
C．①②③ D．②③①
6．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N＋)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是(　　)
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
7．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 014的末四位数字为(　　)
A．3125 B．5625
C．0625 D．8125
8．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋1与直线y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是(　　)
A．1 B.
C. D．2
9．下面给出了关于复数的四种类比推理，
①复数的加减法运算，可以类比多项式的加减法运算法则．
②由向量a的性质|a|2＝a2，可以类比得到复数z的性质：|z|2＝z2.
③方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)有两个不同实根的条件是b2－4ac>0，类比可得方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈C)有两个不同复数根的条件是b2－4ac>0.
④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义．
其中类比得到的结论正确的是(　　)
A．①③ B．②④
C．②③ D．①④
10．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－ ]∪[，＋∞) B．[－，]
C．(－∞，－)∪(，＋∞) D．(－，)
答　题　栏
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
第Ⅱ卷　(非选择题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上)
11．设函数f(θ)＝＋＋tan θ，则f′(0)＝________.
12．(陕西高考)观察下列等式
(1＋1)＝2×1
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5
……
照此规律，第n个等式可为________________________________．
13．(上海高考)已知函数y＝f(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)，B，C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图像与x轴围成的图形的面积为________．
14．已知复数z＝＋(1－i)2(i是虚数单位)，b是z的虚部，且函数f(x)＝loga(2x2－bx)(a>0，且a≠1)在区间内f(x)>0恒成立，则a的取值范围是________．
三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x＋－1.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设m∈R，若x0∈[1，e]，使得不等式m－f(x0)＜0成立，求实数m的取值范围．
16．(本小题满分12分)要做一个长方体带盖的箱子，其体积为72 cm3，底面两邻边长之比为1∶2，问它的长、宽、高各为多少时，才能使表面积最小？并求出最小值．
17．(本小题满分12分)已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.
(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论．
18．(本小题满分14分)(新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝aexln x＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.
(1)求a，b；
(2)证明：f(x)>1.
答案
1．选D　(2－i)2＝3－4i，其在复平面内对应的点(3，－4)位于第四象限．
2．选C　∵a?b＝，∴3?4＝＝1,2?1＝＝3.
3．选D　∵f′(x)＝ex，∴曲线在点(2，e2)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝e2，切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
即e2x－y－e2＝0，切线与x轴和y轴的交点坐标分别为A(1,0)，B(0，－e2)，
则切线与坐标轴围成的△OAB的面积为×1×e2＝.
4．选A　z＝＝＝＋i，其对应点在第一象限．
5．选B　该三段论应为：一次函数的图像是一条直线(大前提)，y＝2x＋5是一次函数(小前提)，y＝2x＋5的图像是一条直线(结论)，故B正确．
6．选D　当n＝1时，应为1＋2＋3＋4.
7．选B　∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125,510＝9 765 625，…
∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字为f(n)，
则f(2 014)＝f(502× 4＋6)＝f(6)．
∴52 014与56的末四位数字相同，均为5625.
8．选B　由知或故所求面积S＝(－x2＋2x＋1)dx－dx
＝－x＝.
9．选D　②中|z|2∈R，z2不一定是实数．③中复数集中不能比较大小，不能用b2－4ac来确定根的个数．
10．选B　依题意可知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是单调减函数，所以f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，则Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.
11．解析：f′(θ)＝－＋，∴f′(0)＝－0＋1＝.
答案：
12．解析：由前三个式子观察归纳可得结论．
答案：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
13．解析：由题意可得f(x)＝所以y＝xf(x)＝
与x轴围成图形的面积为(10x2)dx＋(10x－10x2)dx＝x3＋＝.
答案：
14．解析：∵z＝＋(1－i)2＝i＋(－2i)，∴z＝－i.∴b＝－1.∴f(x)＝loga(2x2＋x)．当x∈时，
u(x)＝2x2＋x∈(0,1)．又∵f(x)>0恒成立，∴0答案：(0,1)
15．解：(1)f′(x)＝－＝，x＞0.
令f′(x)＞0，得x＞1，
因此函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)．
令f′(x)＜0，得0＜x＜1，
因此函数f(x)的单调递减区间是(0,1)．
(2)依题意，m＜f(x)min在x∈[1，e]上成立．
由(1)知，f(x)在x∈[1，e]上是增函数，
∴f(x)min＝f(1)＝ln 1＋1－1＝0.
∴m<0，
∴m的取值范围是(－∞，0)．
16．解：设长方体箱子的底边长为x cm,2x cm，
则高为＝ cm.
所以其表面积为
S(x)＝4x2＋2(x＋2x)＝4x2＋(x＞0)，
令S′(x)＝8x－＝＝0，得x＝3，
且当x∈(0,3)时，S′(x)＜0；
当x∈(3，＋∞)时，S′(x)＞0.
故当x＝3时，S(x)有极小值，也就是最小值，
为S(3)＝4×32＋＝108(cm2)，
此时x＝3,2x＝6，＝4.
即当长方体箱子的底边长为3 cm、6 cm，高为4 cm时长方体箱子的表面积最小，最小面积为108 cm2.
17．解：(1)Sn＋an＝2n＋1，当n＝1时，S1＝a1，
∴a1＋a1＝2×1＋1，得a1＝.
当n＝2时，S2＝a1＋a2，则a1＋a2＋a2＝5，
将a1＝代入得a2＝.同理可得a3＝.
∴an＝＝2－.
(2)证明：当n＝1时，结论成立．
假设当n＝k(k∈N＋)时，命题成立，即ak＝2－.
当n＝k＋1时，Sn＋an＝2n＋1，
则a1＋a2＋…＋ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1.
∵a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak，
∴2ak＋1＝4－，ak＋1＝2－成立．
∴根据(1)和(2)，可知对任意n∈N＋，结论均成立．
18．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝aexln x＋ex－ex－1＋ex－1.
由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e.
故a＝1，b＝2.
(2)证明：由(1)知，f(x)＝exln x＋ex－1，
从而f(x)>1等价于xln x>xe－x－.
设函数g(x)＝xln x，则g′(x)＝1＋ln x.
所以当x∈时，g′(x)<0；
当x∈时，g′(x)>0.
故g(x)在上单调递减，在上单调递增，
从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g＝－.
设函数h(x)＝xe－x－，则h′(x)＝e－x(1－x)．
所以当x∈(0,1)时，h′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.
故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.