2.1合情推理与演绎推理
2．1.1 合 情 推 理
推 理
1.推理的概念与分类
(1)根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式就是推理．
(2)推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提；一部分是由已知判断推出的判断，叫做结论．
(3)推理一般分为合情推理与演绎推理．
2．合情推理
前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．常用的合情推理有归纳推理和类比推理.
归纳推理
问题1：图(甲)是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn的长度构成数列{an}．
试计算a1，a2，a3，a4的值．
提示：由图知：a1＝OA1＝1，
a2＝OA2＝＝＝，
a3＝OA3＝＝＝，
a4＝OA4＝＝＝＝2.
问题2：由问题1中的结果，你能猜想出数列{an}的通项公式an吗？
提示：能猜想出an＝.(n∈N＋)
问题3：直角三角形，等腰三角形，等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？
提示：所有三角形的内角和都是180°.
问题4：以上两个推理有什么共同特点？
提示：都是由特殊推想出一般结论．
归纳推理
(1)定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)，归纳是从特殊到一般的过程．
(2)归纳推理的一般步骤：
①通过观察个别情况发现某些相同性质；
②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).
类 比 推 理
已知三角形的如下性质
(1)三角形的两边之和大于第三边；
(2)三角形的面积等于高与底乘积的.
问题1：试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质．
提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．
(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的.
问题2：以上两个推理有什么共同特点？
提示：根据三角形的特征，推出四面体的特征．
问题3：以上两个推理是归纳推理吗？
提示：不是．归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上两个推理是从其中一类事物的性质去推测另一类事物的性质的推理．
类比推理
(1)定义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)．
(2)类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
1．归纳推理的特点：
(1)归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论，该结论超越了前提所包含的范围．
(2)归纳出的结论具有猜测性质，是否属实，还需逻辑证明和实践检验，即结论不一定可靠．
2．类比推理的特点：
(1)类比是由已经解决的问题和已经获得的知识出发，推测正在研究的事物的属性，提出新问题作出新发现．
(2)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它有发现功能．
3．归纳推理和类比推理都属于合情推理．
数、式中的归纳推理
[例1] 根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式：
(1)a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)；
(2)a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)．
[思路点拨] →→→→
[精解详析] (1)由an＋1＝2an＋1及a1＝1得a2＝2×1＋1＝3，
a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，
a5＝2×15＋1＝31.
由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，
a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，
可归纳猜想an＝2n－1(n∈N＋)．
(2)当n＝1时，a1＝1，由an＋1＝(n∈N＋)得
a2＝＝，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝.
可归纳猜想：{an}的通项公式an＝.
[一点通] 归纳猜想数列通项公式的具体步骤是：
(1)通过条件求得数列中的前几项；
(2)观察数列的前几项寻求项的规律，猜测数列的通项公式．
1．将全体正整数排成一个三角形数阵：
根据以上排列规律，数阵中第n行(n≥3)的从左到右的第3个数是________．
解析：前1行共1个数；
前2行共1＋2＝3个数；
前3行共1＋2＋3＝6个数；
前4行共1＋2＋3＋4＝10个数；
前5行共1＋2＋3＋4＋5＝15个数；
…
前n－1行共1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)＝个数．
因此，第n行第3个数是全体正整数中第＋3个，即.
答案：
2．在数列{an}中，a1＝1且Sn，Sn＋1,2S1成等差数列，计算S2，S3，S4并猜想Sn的表达式．
解：依题意得2Sn＋1＝Sn＋2S1，S1＝a1＝1.
当n＝1时，2S2＝S1＋2S1，
∴S2＝S1＝；
当n＝2时，2S3＝S2＋2S1＝＋2＝；
∴S3＝；
当n＝3时，2S4＝S3＋2S1＝＋2＝，
∴S4＝；
猜想Sn＝(n∈N＋).
几何中的归纳推理
[例2] 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼合成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )
A．26 B．31
C．32 D．36
[思路点拨] 解答本题可有两种思路：第一种，直接数个数，找到变化规律后再猜想；第二种，看图形的排列规律，每相邻的两块无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形．
[精解详析] 法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案
1
2
3
…
个数
6
11
16
…
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.
法二：由图案的排列规律可知第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.
答案：B
[一点通] 解决图形中归纳推理的方法
(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系；
(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．
3．如图，第n个图形是由正(n＋2)边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中的顶点个数为( )
A．(n＋1)(n＋2) B．(n＋2)(n＋3)
C．n2 D．n
解析：第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n个图形共有(n＋2)×(n＋3)个顶点．
答案：B
4．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是________．
解析：第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.
答案：28
类比推理的应用
[例3] (12分)如图所示，在平面上，设ha，hb，hc分别是△ABC三条边上的高，P为△ABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为pa，pb，pc，可以得到结论＋＋＝1.
证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．
[精解详析] ＝＝，
同理，＝，＝，?(2分)
∵S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC，
∴＋＋＝＝1.?(4分)
类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD中，设ha，hb，hc，hd分别是四面体的四个顶点到对面的距离，P为四面体内任意一点，P到相应四个面的距离分别为pa，pb，pc，pd，可以得到结论＋＋＋＝1.?(8分)
证明如下：＝＝，
同理，＝，＝，＝，?(10分)
∵VP－BCD＋VP－ACD＋VP－ABD＋VP－ABC＝VA－BCD，
∴＋＋＋
＝＝1.?(12分)
[一点通]
(1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．
(2)平面图形与空间图形类比如下：
平面图形
点
线
边长
面积
线线角
三角形
空间图形
线
面
面积
体积
二面角
四面体
5．实数的乘法与向量的数量积有以下类似的性质：
a·b＝b·a，a·b＝b·a，
(a＋b)·c＝a·c＋b·c，(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
则由①(a·b)·c＝a·(b·c)，
②若a≠0，a·c＝a·b，则b＝c，
猜想对于向量的数量积有什么样的结论，猜想是否正确？
解：猜想：①(a·b)·c＝a·(b·c)，
②若a≠0，a·c＝a·b，则b＝c，
这两个结论都不正确．
①式左边表示与c共线的向量，右边表示与a共线的向量，c与a不一定共线，就不一定相等．
②a·c＝a·b，|a||c| cos〈a，c〉＝|a| |b|cos〈a，b〉，可得|c| cos〈a，c〉＝|b| cos〈a，b〉，
则c，b在a方向上的投影相等，b，c不一定相等．
6．如图所示，在△ABC中，a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边．写出对空间四面体性质的猜想．
解：如图所示，在四面体P—ABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，
α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
猜想S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
1．用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．
2．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
3．多用下列技巧会提高所得结论的准确性：
(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些．
(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．
(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．
1．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是( )
A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2
B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2
D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2
解析：观察很容易发现规律：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
答案：B
2．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( )
A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
答案：D
3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
解析：由图形的变化规律可以看出，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，第一个图形为8根，
可以写成a1＝8＝6＋2.又a2＝14＝6×2＋2，a3＝20＝6×3＋2，…
所以可以猜测，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n＋2.
答案：C
4．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到( )
A．空间中平行于同一直线的两直线平行
B．空间中平行于同一平面的两直线平行
C．空间中平行于同一直线的两平面平行
D．空间中平行于同一平面的两平面平行
解析：利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．
答案：D
5．(山东高考)设函数f(x)＝(x＞0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
解析：由已知可归纳如下：f1(x)＝，
f2(x)＝，f3(x)＝，
f4(x)＝，…，
fn(x)＝.
答案：
6．给出下列推理：
(1)三角形的内角和为(3－2)·180°，
四边形的内角和为(4－2)·180°，
五边形的内角和为(5－2)·180°，
…
所以凸n边形的内角和为(n－2)·180°；
(2)三角函数都是周期函数，y＝tan x是三角函数，
所以y＝tan x是周期函数；
(3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；
(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两条直线同时垂直于某个平面，则这两条直线互相平行．
其中属于合情推理的是________．(填序号)
解析：根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理．
答案：(1)(3)(4)
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1且Sn－1＋＋2＝0(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．
解：当n＝1时，S1＝a1＝1；
当n＝2时，＝－2－S1＝－3，∴S2＝－；
当n＝3时，＝－2－S2＝－，∴S3＝－；
当n＝4时，＝－2－S3＝－，∴S4＝－.
猜想：Sn＝－(n∈N＋)．
8．已知椭圆具有以下性质：已知M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1(a＞0，b＞0)写出类似的性质，并加以证明．
解：类似的性质为：已知M，N是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
证明如下：设点M、P的坐标为(m，n)，(x，y)，则N点的坐标为(－m，－n)．
∵点M(m，n)在已知双曲线－＝1上，
∴－＝1，得n2＝m2－b2，同理y2＝x2－b2.
∴y2－n2＝(x2－m2)．
则kPM·kPN＝·＝＝·
＝(定值)．
课件33张PPT。第二章把握热点考向理解教材新知应用创新演练2.1
合情推理与演绎推理2．1.1
合 情 推 理考点一考点二知识点一知识点二考点三知识点三应用创新演练见课时跟踪训练(十二)课时跟踪训练(十二) 合情推理
1．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是( )
A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2
B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2
D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2
2．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( )
A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
4．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到( )
A．空间中平行于同一直线的两直线平行
B．空间中平行于同一平面的两直线平行
C．空间中平行于同一直线的两平面平行
D．空间中平行于同一平面的两平面平行
5．(山东高考)设函数f(x)＝(x＞0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
6．给出下列推理：
(1)三角形的内角和为(3－2)·180°，
四边形的内角和为(4－2)·180°，
五边形的内角和为(5－2)·180°，
…
所以凸n边形的内角和为(n－2)·180°；
(2)三角函数都是周期函数，y＝tan x是三角函数，
所以y＝tan x是周期函数；
(3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；
(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两条直线同时垂直于某个平面，则这两条直线互相平行．
其中属于合情推理的是________．(填序号)
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1且Sn－1＋＋2＝0(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．
8．已知椭圆具有以下性质：已知M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1(a＞0，b＞0)写出类似的性质，并加以证明．
答案
1．选B 观察很容易发现规律：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
2．D
3．选C 由图形的变化规律可以看出，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，第一个图形为8根，
可以写成a1＝8＝6＋2.又a2＝14＝6×2＋2，a3＝20＝6×3＋2，…
所以可以猜测，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n＋2.
4．选D 利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．
5．解析：由已知可归纳如下：f1(x)＝，
f2(x)＝，f3(x)＝，
f4(x)＝，…，
fn(x)＝.
答案：
6．解析：根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理．
答案：(1)(3)(4)
7．解：当n＝1时，S1＝a1＝1；
当n＝2时，＝－2－S1＝－3，∴S2＝－；
当n＝3时，＝－2－S2＝－，∴S3＝－；
当n＝4时，＝－2－S3＝－，∴S4＝－.
猜想：Sn＝－(n∈N＋)．
8．解：类似的性质为：已知M，N是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
证明如下：设点M、P的坐标为(m，n)，(x，y)，则N点的坐标为(－m，－n)．
∵点M(m，n)在已知双曲线－＝1上，
∴－＝1，得n2＝m2－b2，同理y2＝x2－b2.
∴y2－n2＝(x2－m2)．
则kPM·kPN＝·＝＝·
＝(定值)．
