2.3/数学归纳法
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在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．
问题1：试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？
提示：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．
问题2：利用这种思想方法能解决哪类数学问题？
提示：一些与正整数n有关的问题．
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1．数学归纳法
一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一个值n0时命题成立；(2)在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．
2．数学归纳法的框图表示
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1．数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的证明．
2．应用数学归纳法时应注意：
(1)验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不可；
(2)在证明n＝k＋1命题成立时，必须使用归纳假设的结论，否则就不是数学归纳法．
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用数学归纳法证明等式
[例1] 用数学归纳法证明：
＋＋…＋＝.
[思路点拨] →→→
[精解详析] (1)当n＝1时＝成立．
(2)假设当n＝k时等式成立，即有＋＋…＋＝，
则＋＋…＋＋＝＋＝，
即当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)可得对于任意的n∈N＋等式都成立．
[一点通] 用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，关键在于先“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项；再“两凑”，将n＝k＋1时的式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需的形式——凑结论．
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1．用数学归纳法证明：
1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2
(其中n∈N＋)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，
即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2.
那么，当n＝k＋1时，
1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]
＝(k＋1)(k2＋4k＋4)
＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，
即当n＝k＋1时等式也成立．
根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N＋都成立．
2．用数学归纳法证明：
1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.
证明：(1)当n＝1时，左边＝1－＝，
右边＝，命题成立．
(2)假设当n＝k时命题成立，即
1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，
那么当n＝k＋1时，
1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－
＝＋＋…＋＋.
上式表明当n＝k＋1时命题也成立．
由(1)(2)知，等式对任意正整数n都成立.
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用数学归纳法证明不等式
[例2] 证明不等式1＋＋＋…＋＜2(n∈N＋)．
[思路点拨] 运用数学归纳法证明，证明时仔细观察不等式的结构特征，在第二步证明当n＝k＋1时如何进行不等式的变换是关键．
[精解详析] (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2.
左边＜右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立，
即1＋＋＋…＋＜2.
则当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋
＜2＋＝
＜＝＝2.
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
由(1)、(2)可知，原不等式对任意n∈N＋都成立．
[一点通] 用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f(k)＞g(k)，求证f(k＋1)＞g(k＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点：
(1)先凑假设，作等价变换；
(2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论．
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3．证明1＋＋＋＋…＋>(n∈N＋)，假设n＝k时成立，当n＝k＋1时，左端增加的项数是( )
A．1项 B．k－1项
C．k项 D．2k项
解析：当n＝k时，不等式左端为1＋＋＋＋…＋；
当n＝k＋1时，不等式左端为1＋＋＋…＋＋＋…＋增加了＋…＋项，共(2k＋1－1)－2k＋1＝2k项．
答案：D
4．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＜1－(n≥2，n∈N＋)．
证明：(1)当n＝2时，左式＝＝，右式＝1－＝.
因为＜，所以不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时，不等式成立．
即＋＋＋…＋＜1－，
则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＜1－＋＝1－＜1－＝1－，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立.
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归纳——猜想——证明
[例3] (12分)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N＋)，其中λ>0.
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜想{an}的通项公式并加以证明．
[精解详析] (1)由an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n，
将a1＝2代入，得a2＝λa1＋λ2＋(2－λ)×2＝λ2＋4，?(1分)
将a2＝λ2＋4代入，
得a3＝λa2＋λ3＋(2－λ)×22＝2λ3＋8，?(2分)
将a3＝2λ3＋8代入，
得a4＝λa3＋λ4＋(2－λ)×23＝3λ4＋16.?(3分)
(2)由a2，a3，a4，对{an}的通项公式作出猜想：
an＝(n－1)λn＋2n.证明如下：?(5分)
①当n＝1时，a1＝2＝(1－1)λ1＋21成立．?(6分)
②假设当n＝k时，ak＝(k－1)λk＋2k，?(7分)
则当n＝k＋1时，
ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k
＝(k－1)λk＋1＋λ2k＋λk＋1＋(2－λ)2k
＝kλk＋1＋2k＋1
＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1.?(10分)
由此可知，当n＝k＋1时，ak＋1＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1也成立．?(11分)
综上可知，an＝(n－1)λn＋2n对任意n∈N＋都成立．?(12分)
[一点通]
(1)“归纳—猜想—证明”的一般环节
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(2)“归纳—猜想—证明”的主要题型
①已知数列的递推公式，求通项或前n项和；
②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在；
③给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．
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5．已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝且a1＝；
(1)求a2，a3；(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
解：(1)a2＝＝，a1＝，则a2＝，类似地求得a3＝.
(2)由a1＝，a2＝，a3＝…猜得：an＝.
证明：①当n＝1时，由(1)可知等式成立；
②假设当n＝k时猜想成立，即ak＝，那么，当n＝k＋1时，由题设an＝得ak＝，ak＋1＝，
所以Sk＝k(2k－1)ak＝k(2k－1)＝，
Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－.
因此，k(2k＋3)ak＋1＝，
所以ak＋1＝
＝.
这就证明了当n＝k＋1时命题成立．
由①②可知命题对任何n∈N＋都成立．
6．平面内有n(n≥2，n∈N＋)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点．这n条直线相互分割出多少条线段或射线？证明你的结论．
解：设n条直线相互分割出f(n)条线段或射线，则f(2)＝4，f(3)＝9，f(4)＝16，猜想f(n)＝n2.
下面用数学归纳法证明
(1)当n＝2时，两条直线相交得到4条射线，命题成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时，k条直线相交可得到k2条线段或射线，则当n＝k＋1时，记这k＋1条直线中的一条为l，则其余k条直线相交可得到k2条线段或射线，直线l与这k条直线相交可新增加k个不同的交点，这k个点把直线l分成k＋1段，又各自把它们所在线段或射线分成两部分，即又增加了k条线段或射线，那么新增加的线段或射线的条数为k＋1＋k＝2k＋1条，从而k＋1条直线相交，得到的线段或射线的条数为：k2＋2k＋1＝(k＋1)2条．所以n＝k＋1时命题成立．
由(1)(2)可知猜想成立，
即这n条直线相互分割成n2条线段或射线．
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运用数学归纳法时易犯的错误：
(1)对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错．
(2)没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的．假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了．
(3)关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性．
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1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N＋，a≠1)，在验证n＝1成立时，左边所得的项为( )
A．1 B．1＋a＋a2
C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3
答案：B
2．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )
A. B.＋
C.＋ D.＋＋
解析：f(n＋1)－f(n)＝＋＋.
答案：D
3．设f(n)＝5n＋2×3n－1＋1(n∈N＋)，若f(n)能被m(m∈N＋)整除，则m的最大值为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：f(1)＝8，f(2)＝32，f(3)＝144＝8×18，猜想m的最大值为8.
答案：C
4．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋对一切n∈N＋都成立，那么a，b的值为( )
A．a＝，b＝ B．a＝b＝
C．a＝0，b＝ D．a＝，b＝
解析：法一：特值验证法，将各选项中a，b的值代入原式，令n＝1,2验证易知选A.
法二：∵1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋对一切n∈N＋都成立，
∴当n＝1,2时有
?
解得
答案：A
5．用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为________．
解析：(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5
＝k3＋5k＋3k2＋3k＋6
＝k3＋5k＋3k(k＋1)＋6.
答案：k3＋5k＋3k(k＋1)＋6
6．用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．
解析：观察不等式中各项的分母变化知，n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋>－.
答案：＋＋…＋＋＋>－
7．用数字归纳法证明：
＋＋＋…＋＝.
证明：(1)当n＝1时，
左边＝＝，右边＝，等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋)时，等式成立，
即＋＋＋…＋＝成立．
则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋
＝＋
＝
＝＝.
所以n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)和(2)可知，对一切n∈N＋，等式都成立．
8．已知数列{an}中a1＝－，其前n项和Sn满足an＝Sn＋＋2(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明．
解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋＋2.
∴Sn＝－(n≥2)．
则有：S1＝a1＝－，
S2＝－＝－，
S3＝－＝－，
S4＝－＝－，由此猜想：Sn＝－(n∈N＋)．
用数学归纳法证明：
①当n＝1时，S1＝－＝a1，猜想成立．
②假设n＝k(k∈N＋)时猜想成立即Sk＝－成立，
那么n＝k＋1时，Sk＋1＝－＝－
＝－＝－，
即n＝k＋1时猜想成立．
由①②可知，对任意正整数n，猜想结论均成立．
课件29张PPT。第二章把握热点考向理解教材新知应用创新演练2.3
数学归纳法考点一考点二考点三应用创新演练见课时跟踪训练(十六)课时跟踪训练(十六) 数学归纳法
1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N＋，a≠1)，在验证n＝1成立时，左边所得的项为( )
A．1 B．1＋a＋a2
C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3
2．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )
A. B.＋
C.＋ D.＋＋
3．设f(n)＝5n＋2×3n－1＋1(n∈N＋)，若f(n)能被m(m∈N＋)整除，则m的最大值为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
4．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋对一切n∈N＋都成立，那么a，b的值为( )
A．a＝，b＝ B．a＝b＝
C．a＝0，b＝ D．a＝，b＝
5．用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为________．
6．用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是_____________．
7．用数字归纳法证明：
＋＋＋…＋＝.
8．已知数列{an}中a1＝－，其前n项和Sn满足an＝Sn＋＋2(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明．
答案
1．B
2．选D f(n＋1)－f(n)＝＋＋.
3．选C f(1)＝8，f(2)＝32，f(3)＝144＝8×18，猜想m的最大值为8.
4．选A 法一：特值验证法，将各选项中a，b的值代入原式，令n＝1,2验证易知选A.
法二：∵1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋对一切n∈N＋都成立，
∴当n＝1,2时有
?
解得
5．解析：(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5
＝k3＋5k＋3k2＋3k＋6
＝k3＋5k＋3k(k＋1)＋6.
答案：k3＋5k＋3k(k＋1)＋6
6．解析：观察不等式中各项的分母变化知，n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋>－.
答案：＋＋…＋＋＋>－
7．证明：(1)当n＝1时，
左边＝＝，右边＝，等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋)时，等式成立，
即＋＋＋…＋＝成立．
则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋
＝＋
＝
＝＝.
所以n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)和(2)可知，对一切n∈N＋，等式都成立．
8．解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋＋2.
∴Sn＝－(n≥2)．
则有：S1＝a1＝－，
S2＝－＝－，
S3＝－＝－，
S4＝－＝－，由此猜想：Sn＝－(n∈N＋)．
用数学归纳法证明：
①当n＝1时，S1＝－＝a1，猜想成立．
②假设n＝k(k∈N＋)时猜想成立即Sk＝－成立，
那么n＝k＋1时，Sk＋1＝－＝－
＝－＝－，
即n＝k＋1时猜想成立．
由①②可知，对任意正整数n，猜想结论均成立．
