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3.1/数系的扩充与复数的概念
3．1.1 & 3.1.2 实数系 复数的概念
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复数的概念及代数表示
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问题1：方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？
提示：没有．
问题2：若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？
提示：有解(x＝i)，但不在实数范围内．
问题3：设想新数i和实数b相乘后再与a相加，且满足加法和乘法的运算律，则运算的结果可以写成什么形式？
提示：a＋bi(a，b∈R)的形式．
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1．复数的概念
设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫做复数．
2．复数的表示：
复数通常用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部，i称作虚数单位.
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复数的分类与相等
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问题1：复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时，z是什么数？
提示：b＝0时，z＝a为实数．
问题2：复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，z是什么数？
提示：当a＝0，b≠0时，z＝bi，这样的数我们称为纯虚数．
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1．复数的分类
(1)复数a＋bi(a，b∈R)
(2)集合表示：
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2．复数相等的充要条件
如果a，b，c，d都是实数，那么
a＋bi＝c＋di?a＝c，且b＝d；
a＋bi＝0?a＝0，且b＝0.
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1．对复数z＝a＋bi只有在a、b∈R时，a和b才分别是复数的实部和虚部，并注意：虚部是实数b而非bi.
2．当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．
3．利用复数相等，可以把复数问题转化成实数问题进行解决，并且一个复数等式可得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件．
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复数相等的充要条件
[例1] 已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x，y∈R，i为虚数单位．求实数x，y的值．
[思路点拨] 先利用复数相等的充要条件列出关于x，y的方程，然后解出x，y的值．
[精解详析] 根据复数相等的充要条件，
由(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，
得
解得
∴x＝，y＝4.
[一点通] 复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化的体现．
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1．若5－12i＝xi＋y(x，y∈R)，则x＝______，y＝________.
答案：－12 5
2．已知复数z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.
解析：根据两个复数相等的充要条件得
解得：或
答案：2 ±2
3．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
解：∵M∪P＝P，∴M?P，
即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1
或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
得解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，
得解得m＝2.
综上可知m＝1或m＝2.
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复数的概念与分类
[例2] (12分)当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为
(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？
[精解详析] (1)当即m＝2时，复数z是实数；?(4分)
(2)当m2－2m≠0，且m≠0，
即m≠0且m≠2时，
复数z是虚数；?(8分)
(3)当
即m＝－3时，复数z是纯虚数．?(12分)
[一点通]
利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组))，求解参数时，注意参数本身的取值范围，如分母不能为0.
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4．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－1或1
解析：由复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数得
解得x＝－1.
答案：A
5．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时，
(1)z是实数？(2)z是纯虚数？
解：(1)要使复数z为实数，需满足
解得m＝－2或－1.
即当m＝－2或－1时，z是实数．
(2)要使复数z为纯虚数，需满足
解得m＝3.
即当m＝3时，z是纯虚数．
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1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数bi(b≠0，b∈R)不要只记形式，要注意b≠0.
2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解．
3．若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数．
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1．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( )
A．－2 B.
C．－ D．2
解析：复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，∴b＝2.
答案：D
2．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为( )
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
解析：易知解得a＝－4.
答案：C
3．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A．1 B．2
C．1或2 D．－1
解析：根据复数的分类知，需满足
解得即a＝2.
答案：B
4．下列命题中，正确命题的个数是( )
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：对①由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋yi的实部和虚部，故①是假命题；
对②由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；
③是假命题，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0.
答案：A
5．下列复数：2＋，0.618，i2,5i＋4，i，其中为实数的是________．
解析：2＋，0.618，i2＝－1均为实数，而5i＋4，i均为虚数．
答案：2＋，0.618，i2
6．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为________．
解析：由z1>z2，
得即
解得a＝0.
答案：0
7．实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)零？
解：(1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，z为实数．
(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，z是虚数．
(3)当即k＝4时，z为纯虚数．
(4)当即k＝－1时，z是零．
8．已知关于x的方程x2＋kx＋2＋(2x0＋k)i＝0有实根x0，求x0以及实数k的值．
解：由x＝x0是方程的实根，代入方程，得
(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0，
由复数相等的充要条件，得
解得或
∴x0＝或x0＝－，相应的k值为k＝－2或k＝2.
课件22张PPT。第三章把握热点考向理解教材新知应用创新演练3.1
数系的扩充与复数的概念3.1.1 & 3.1.2 实
数
系 复
数
的
概
念考点一考点二知识点一知识点二应用创新演练见课时跟踪训练(十七)课时跟踪训练(十七) 实数系 复数的概念
1．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( )
A．－2 B.
C．－ D．2
2．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为( )
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
3．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A．1 B．2
C．1或2 D．－1
4．下列命题中，正确命题的个数是( )
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0 B．1
C．2 D．3
5．下列复数：2＋，0.618，i2,5i＋4，i，其中为实数的是________________．
6．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为________．
7．实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)零？
8．已知关于x的方程x2＋kx＋2＋(2x0＋k)i＝0有实根x0，求x0以及实数k的值．
答案
1．选D 复数2－bi的实部为2，虚部为－b，
由题意知2＝－(－b)，∴b＝2.
2．选C 易知解得a＝－4.
3．选B 根据复数的分类知，需满足
解得即a＝2.
4．选A 对①由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋yi的实部和虚部，故①是假命题；
对②由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；
③是假命题，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0.
5．解析：2＋，0.618，i2＝－1均为实数，而5i＋4，i均为虚数．
答案：2＋，0.618，i2
6．解析：由z1>z2，
得即
解得a＝0.
答案：0
7．解：(1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，z为实数．
(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，z是虚数．
(3)当即k＝4时，z为纯虚数．
(4)当即k＝－1时，z是零．
8．解：由x＝x0是方程的实根，代入方程，得
(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0，
由复数相等的充要条件，得
解得 或
∴x0＝或x0＝－，相应的k值为k＝－2或k＝2.
